Per capire cosa c'è di delicato dovresti leggere la sterminata letteratura e i numerosissimi fraintendimenti a cui questi teoremi hanno dato luogo.

Ad ogni modo già solo esaminando l'enunciato che hai dato ti puoi rendere conto di quanto la faccenda sia sottile:
1) "sistema formale": cosa dobbiamo intendere per sistema formale?
2) "contenente la teoria dei numeri": cioè? Cos'è la "teoria dei numeri"? E in che senso questa è "contenuta"?
3) ok il sistema non decide tutto, ma altri sistemi possono colmare le lacune? Esiste un modo per estendere la conoscenza "oltre" il sistema?
4) esiste davvero un unico enunciato che esprime la non contraddittorietà della teoria in termini numerici? Se ne esistono molti sono tutti indimostrabili nel sistema?


Ecco un fraintendimento!
"Indecidibile in una teoria" non significa "nè vero nè falso". Una teoria formale assiomatica non rappresenta "la verità", è solo un timido tentativo di "mettere i puntini sulle i", stabilire dei punti fermi e dare trasparenza ai ragionamenti. Un tentativo che, stando ai teoremi di Godel, non potrà mai essere portato a compimento in modo esaustivo per quanto riguarda la teoria dei numeri (visto che rimarranno sempre enunciati numerici al di fuori delle possibilità dimostrative della teoria). Questi teoremi individuano un limite dei "sistemi formali", non della conoscenza matematica o delle capacità umane di raggiungerla.

Ciao!!

Prima due parole su Goedel e i suoi teoremi, anche se spirito!libero ha già spiegato quasi tutto.

I due sopracitati teoremi funzionano "sotto certe ipotesi", una di queste, la più rilevante qui, è che la teoria debba essere assiomatica (o assiomatizzabile). Queste teorie sono l'aritmetica di Peano, e altre estensioni. Ma queste NON sono la matematica! Infatti, Goedel ci mostra come la matematica (aritmetica) in realtà non sia assiomatizzabile, e che quindi non sia "meccanizzabile", con buona pace di David Hilbert e dei formalisti.


Questi due teoremi sono delicati perché presuppongono molte altre informazioni. Infatti qui, se vogliamo essere rigorosi, non si è parlato dei veri teoremi, ma solo di loro traduzioni in italiano approssimative. Infatti i due teoremi presuppongono la codifica (goedelizzazione o aritmetizzazione) dell'intera matematica, e poi si procede parlando di queste codifiche e non di proposizioni matematiche. Questo ci evita di cadere in paradossi (simil-mentitore), mantedendo tutto il lavoro informativo.

Io prima di enunciare i due teoremi di Goedel ho dovuto seguire una trentina di ore di lezione, specifiche per introdurre Goedel. E già prima di queste ore sapevo un bel po' di logica matematica!


Come ho detto sopra, i teoremi di Goedel non parlano della matematica in generale, ma solo di teorie specifiche che NON sono l'intera matematica.

Quindi il tuo voler collegare tali teoremi con la tesi "la matematica è opinabile" [proposizione, del resto, troppo generica!], risulta essere una mossa scorretta. D'altra parte, come ha detto giustamente emmeci, i teoremi limitativi di Goedel sono comunque imprese all'interno della matematica (logica matematica), e quindi sono sempre e comunque un inno alla matematica.

Tutto questo discorso, però, ci sta portando ancora una volta paurosamente fuori tema, quindi non discuterò se la matematica è opinabile e in che misura eventualmente lo sia. Giorgiosan, ti chiedo se puoi commentare il mio ultimo post: https://www.riflessioni.it/forum/show...ostcou nt=149

Sì, spirito!libero: è proprio quello che volevo suggerire distinguendo fede da fede nelle ultime righe del mio blog (si chiama così?). Alle quali vorrei ora aggiungere una distinzione ancora più radicale e cioè che le ragioni della scienza (e della filosofia) possono essere oltrepassate dalle esigenze di fede solo se se si intende per fede non quella programmata e relativizzata da una o da un’altra chiesa, ma fede in qualcosa che le sovrasta tutte e che a me pare di poter indicare solo col termine assoluto, spoglio di ogni qualifica che, per quanto eccelsa, lo trasforma in un idolo se non un prodotto dei desideri dell’uomo, dunque un concetto di dio che, forse con un pizzico di libertina spudoratezza, ho osato privare anche dell’attributo dell’esistenza, visto che anche questo è un termine relativo ed umano: ma che pure mi sembra che sia ciò che alita come un fantasma nella mente di chi si stringe a cercare conforto nei momenti di disperazione.
E qui mi scuso se, almeno per questa volta, sono andato io fuori tema.

Riferendosi ai sistemi assiomatici formali dice Russel:
"La matematica è quella disciplina in cui non si sa mai di che cosa si stia parlando, né se ciò che si dice sia vero"

.
Nell’assiomatica antica in ogni teoria che partiva dagli assiomi o postulati ogni proposizione vera della teoria era ottenuta mediante argomentazione dagli assiomi stessi. Gli assiomi poi erano fondati sull’evidenza.
Venivano fissati anche alcuni concetti, riconosciuti come immediatamente intelligibili, detti concetti basilari. Di questi l’immediata intelligibilità era frutto dell’intuizione.
Dunque le teorie basavano la loro verità sull’evidenza e sull’intuizione.

Gli assiomi nella concezione moderna non fanno ricorso né all’evidenza né all’intuizione.

L’assiomatica moderna, quella formale, assegna agli assiomi quella di esonerare la mente dall’intuizione e all’evidenza, per la evidente precarietà e soggettività di questi fondamenti.
Gli assiomi devono includere tutte le possibili ipotesi concernenti i concetti basilari, danno di questi una definizione che è implicita. Cioè, tutte le proposizioni della teoria devono essere ottenute a partire dagli assiomi per pura dimostrazione logica.
Quindi la fondazione di teorie assiomatiche è data da argomenti a favore della non contraddittorietà
degli assiomi da cui si è partiti.

Il che non dice niente sul rapporto teoria-realtà ma solo che quella data teoria è coerente ( nel senso di non-contradditoria) con gli assiomi. In questo senso l’assiomatica antica ( e le teorie che ne dipendevano) riteneva di avere un rapporto col reale in forza di una presunta evidenza e del valore della intuizione….ma oggi siamo meno ingenui e quel rapporto è evaporato

Un sistema formale è quel sistema i cui assiomi e le regole di inferenza ( cioè di deduzione) costituiscono una esplicita e rigorosa formulazione di tutte le ipotesi e procedure di prova della corrispondente teoria intuitiva.

La teoria dei numeri? Puoi trovarne facilmente una definizione in rete…. comunque la teoria dei numeri è quella parte della matematica che si occupa dei numeri interi.

Ciao

P.S Alle altre domande non ho risposto perché non mi sembrano formulate in modo da avere una risposta non equivoca ...o forse non ho capito quello che chiedevi.

Io credo che tutta la fede delle scienze fisiche ,naturali e matematiche risieda essenzialmente nel credere alle apparenze del razionale scambiando queste ultime per evidenze del reale.
Tutta la scienza si occupa di studiare i fenomeni, tutta la mole del suo lavoro d'indagine si sviluppa intorno allo studio di cio' che e' fenomenico,e soltanto fenomenico, in definitiva, letteralmente, essa studia le cose che appaiono, che mutano, studia relative relazioni effimere ed evanescenti prive di qualsiasi fondamento di assolutezza ed universalita' , studia le apparenze con lo strumento altrettanto relativo e contraddittorio della logica razionale; nulla a che vedere, quindi, con cio' che invece e' reale e sostanziale, eccettuata la fede che la scienza usa per poter credere alle proprie fantasie.
L'espressione di questa fede e' massima quando lo scienziato crede al suo modello a tal punto da pensare che in esso vi sia una traccia di realta' , vi sia una sorta di progressione verso una verita' sostanziale, e crede a questa corrispondenza fra modello e realta' adducendo come testimoni affidabili le stesse apparenze che egli studia come tali; qui sta il grande inganno, il giudice-scienziato giudica l'imputato-fenomeno sulla base delle sue stesse apparenti-testimonianze e finisce spesso per confondere la verita' processuale con la verita' sostanziale, ricalcando un po' quel tipo di logica che Russel descrive in tono canzonatorio con la famosa favoletta del tacchino di Natale.
In conclusione ritengo che alla base di ogni teoria scientifica vi sia l'irrinunciabile presupposto della fede, la quale fornisce alla scienza quelle immagini apparenti che ci aiutano concretamente a vivere meglio ( il tacchino di Russel vive felice prevedendo il suo domani grazie alle proprie fantasie fino al giorno infausto del Natale, in cui scopre la verita' vera), ma che nulla ci dicono in merito a cio' che piu' conta per la nostra vita e cioe' in merito alla verita' vera e sostanziale.

Saluti

Se il rapporto con la realtà fosse davvero evaporato non avremmo motivo di studiare le conseguenze di un sistema assiomatico piuttosto che di un altro e la derivazione di teoremi in una teoria sarebbe una attività puramente ludica e del tutto insensata da un punto di vista "conoscitivo".

Lo stesso teorema di Godel sarebbe privo di contenuto: ci direbbe solo che Godel giocando con alcuni assiomi privi di alcun riferimento con la realtà è giunto ad una conclusione che ovviamente è completamente irrilevante rispetto alla realtà dei fatti (e allora che ne discuitiamo a fare?)


Dire che un sistema formale è una traduzione formale di una teoria intuitiva non è dire tutto: il fatto importante di un sistema formale è la sua "calcolabilità": devono esistere procedure algoritmiche che permettono di verificare se un enunciato è sintatticamente corretto, se è un assioma, se è deducibile da un altro... un sistema formale è una traduzione completamente meccanizzata di una teoria matematica e proprio da questo deriva i suoi limiti.

I sistemi formali sono per certi versi una cosa "anomala" rispetto alla pratica dei matematici: nessun matematico lavora all'interno di sistemi formali e nessuno è realmente preoccupato della completa formalizzabilità delle proprie dimostrazioni.


Sì, so cos'è la teoria dei nuemeri ed il ruolo che gioca nei teoremi di Godel, e per quanto riguarda le altre domande so più o meno come si può rispondere e le risposte sono tutt'altro che banali da dare. Ho posto tali domande soltanto per mettere in luce le sottigliezze che stanno dietro alla questione.

Ciao!!
Marco

Credo che questo sia il più grande travisamento dell’avventura scientifica che si possa fare e purtroppo tra i post-modernisti o relativisti cognitivi, antirealisti, idealisti, e “fedeli” raligiosi di ogni estrazione, tale inganno ha preso sempre più piede. Non entro nel merito perché siamo alla 17° pagina ed ho già risposto praticamente a tutte queste pretese decostruzioniste che si infrangono sulla realtà fattuale. In questo ragionamento ci sono delle contraddizioni e incoerenze abbastanza evidenti ed alcune più sottili, tutte si possono semplicemente riassumere dicendo che il ragionamento stesso che porta alle conclusioni del suddetto post è il medesimo che soggiace all’agire scientifico cioè il ragionamento razionale, dunque se la scienza si inganna anche questo ragionamento non ha alcun fondamento per essere ritenuto vero, se la scienza invece non si inganna, il ragionamento suddetto è falso. Ergo in ogni caso il suddetto ragionamento non ha alcun senso.


Saluti
Andrea

Quanto detto non riguarda l'attività pratica di un matematico, riguarda la "filosofia" della matematica e la meta-matematica. Per capire meglio bisognerebbe partire da Frege, logico e filosofo della matematica che cercò di dare una risposta definitiva al problema dello status che le "verità" matematiche avevano nell'economia generale della conoscenza.
E' un argomento complesso e in cui bisognerebbe possedere molte più nozioni di quelle che ho.

Quello che ha detto Russel riguardo ai sistemi formali è un paradosso ma un paradosso significativo:

"La matematica è quella disciplina in cui non si sa mai di che cosa si stia parlando, né se ciò che si dice sia vero"


Ciao

Non vorrei che il 3d si trasformasse in una discussione sulla matematica, abbiamo stabilito che i teoremi di Godel hanno un preciso ambito di applicazione e nulla ci dicono sulla fede della scienza, dunque torniamo in tema, grazie.

Andrea

Quando parli di fede irrazionale in realtà parli di fideismo non della fede rivelata come è stata recepita dalla cattolicità. Se poi ogni fede religiosa per te è fideismo allora è chiaro che non c'è argomento che tenga.

Ti invito a leggere un articolo di Strumia che ho trovato in rete, il cui titolo è: "Fede nella scienza e ragioni della fede" che è molto in topic

http://mondodomani.org/pers/salmeri/... ella_fede.pdf

Ciao