Originalmente inviato da Giorgiosan
Il “Teorema di Gödel” definisce l’impossibilità di garantire la non contraddittorietà della matematica all’interno della matematica stessa.



Tu provaci cosi si può imparare qualcosa.

Ciao

Il teorema di Godel è un argomento molto delicato e nessuna trattazione breve può presentare il discorso in modo appropriato.

Il secondo teorema di Godel considera una teoria T completamente formalizzata e meccanizzata in cui ogni enunciato obbedisce ad una sintassi codificata in modo preciso ed ogni inferenza logica obbedisce a precise regole "meccaniche". Il problema di stabilire se T permette di dimostrare una contraddizione è un problema matematico che può essere affrontato con gli strumenti della matematica. Godel considera un modo "naturale" di tradurre questo problema nella forma di un enunciato formulato all'interno della teoria T stessa e si chiede se T può dimostrarlo (ciè se T può dimostrare la sua stessa coerenza). Il secondo teorema di Godel dimostra che sotto alcune condizioni ragionevoli la teoria T, se è effettivamente coerente, non può dimostrare l'enunciato che afferma la coerenza della stessa teoria T.

Ciao!!

Scusa, ma non vedo cosa ci sia di delicato in un teorema.

Teorema di Incompletezza di Godel

"Per ogni sistema formale di regole ed assiomi è possibile arrivare a proposizioni indecidibili, usando gli assiomi dello stesso sistema formale"

Vale a dire: all'interno di un sistema formale, contenente la teoria dei numeri, esistono proposizioni che il sistema non riesce a decidere , non riesce cioè a dare una dimostrazione né di esse né della loro negazione ( sono indecidibili). Godel scoprì inoltre che tra le proposizioni che un sistema formale contenente l'aritmetica non riusciva a decidere c'era anche quella che, in termini numerici, esprimeva la non contradditorietà del sistema stesso,


Termino con questo commento di C.Consoli:

La scienza opinabile ? Sicuro come 2+2 = 4 !

Non solo la matematica è un’opinione: è il più grande ed articolato, ma molto ben fondato, sistema di opinioni che l’uomo abbia mai prodotto e, come è tale, è discutibile, opinabile, modificabile e adattabile. Altrettanto vale per le scienze in generale.
Lo straordinario risultato di Godel dimostra addirittura che a dispetto di tutti gli sforzi possibili, qualsiasi sistema formale può produrre teoremi indecidibili (ovvero né veri, né falsi): l’uomo non è quindi in grado di produrre sistemi di rappresentazione, o modelli, “perfetti”.



Ciao!!

Premessa

Per tagliare la testa al toro, ho deciso di scrivere, come da manuale, cosa siano questi stra-citati, spesso a sporoposito, e spessisimo mal compresi teoremi di Godel.
Le implicazioni di tali teoremi si applicano unicamente all’universo matematico e solo a certi sistemi assiomatici, ogni altra inferenza in altri ambiti è del tutto arbitraria.


Primo e secondo teorema di incompletezza di Godel (come da manuale)

Si riferiscono ai sistemi matematici possidenti le quattro proprietà matematiche fondamentali:

correttezza semantica: il sistema dimostra soltanto verità
completezza semantica: il sistema dimostra tutte le verità

correttezza sintattica: il sistema non dimostra una formula e la sua negazione
completezza sintattica: il sistema dimostra una formula o la sua negazione

Dimostrazione dei teoremi:

F = sistema corretto

G(F) = formula che dice di se stessa di non essere dimostrabile in F (la segnatura corretta di G(F) vorrebbe la F in pedice di G senza parentesi ma il forum non lo permette):

G(F) <---> G(F) non dimostrabile in F

quindi:

se G(F) fosse dimostrabile in F allora sarebbe vera per la correttezza del sistema. Ma essendo vera e dicendo contemporaneamente di non essere dimostrabile non sarebbe dimostrabile. Dunque l’ipotesi è assurda e G(F) non è dimostrabile in F. G(F) dice però di non essere dimostrabile in F allora è vera, ergo G(F) è una formula vera e non dimostrabile in F, dunque il sistema è semanticamente incompleto.
G(F) è dunque vera e la sua negazione non-G(F) è falsa. Sappiamo che non può essere dimostrabile in F per la correttezza del sistema, dunque ne G(G) ne non-G(F) sono dimostrabili in F e dunque anche sintatticamente il sistema è incompleto.

Dall’incompletezza semantica e sintattica si deduce niente meno che il primo teorema di Godel di incompletezza per sistemi corretti:

sotto certe ipotesi, un sistema corretto è incompleto.

La notazione del suddetto teorema è in pratica espressa dalla seguente implicazione formale:

F corretto ---> G(F) non dimostrabile in F

Dalla conclusione della suddetta implicazione si deduce semplicemente che:

F corretto ---> G(F)

Ottenendo così il secondo teorema di Godel di incompletezza per sistemi corretti :

sotto certe ipotesi, un sistema corretto non può dimostrare la propria correttezza.


Saluti
Andrea

Ero pronto a scommetterci una mano che sarebbe arrivata la classica obiezione del 2+2= 4 Ho vinto una mano di scorta

Per confutare questa pretesa “opinabilità” della matematica ti faccio rispondere direttamente da Godel.

C’è da dire che non è semplice comprendere fino in fondo i teoremi di Godel, difatti anche il grande logico Russell ebbe non pochi problemi e, guarda caso, pose proprio la stessa obiezione che io chiamo del "2+2=4". In una lettera, credendo a torto, che Godel avesse dimostrato l’opinabilità dell’artitmetica scrisse:

“Sono stato felice di non lavorare più alla logica matematica. Se un insieme di assiomi porta ad una contraddizione, chiaramente almeno uno degli assiomi deve essere falso. Questo si applica all’aritmetica elementare ? E se si, cosa dobbiamo credere di ciò che ci hanno insegnato da giovani ? Dobbiamo forse pensare che 2+2 non fa 4, ma 4,001 ?

Questo brano fu fatto leggere a Godel in persona nel 1973 che così commentò:

”Evidentemente Russell ha frainteso il mio risultato” (Godel’s Theorem in focus, G. Shanker, 1988 pp. 74 e 95)

Quindi, caro Giorgio, è lo stesso Godel che ti smentisce, dicendo che 2+2 farà sempre 4 e che la matematica non è affatto un’opinione. Molti, tra l’altro, dimenticano che Godel formulò anche il teorema di completezza della logica predicativa che ha implicazioni ben più importanti di quelle dei teoremi di incompletezza che si limitano all’aritmetica. Difatti Godel ha dimostrato che la logica predicativa è un sistema completo e la sua consistenza può essere dimostrata con mezzi elementari.

Saluti
Andrea

In cosa non era corretto il mio post?

(Ti dispiacerebbe dirmi di che manuale si tratta...immagino sia reperibile nelle librerie universitarie. Grazie )

Guarda che non hai capito, il commento dice: le scienze sono opinabili e questo è certo ( che le scienze sono opinabili) come è certo che 2+2 fa 4. Rileggilo.
Ciao

Abbiamo scritto il post quasi contemporaneamente, la mia trattazione era generale per spiegare rigorosamente i teoremi, non rivolta specificatamente al tuo post.


La sintesi è mia, riguardo i testi universitari puoi leggere a tua scelta:

Logica da zero a Gödel, Berto, Laterza 2007

La prova di Gödel, NAGEL J.R. NEWMAN, Boringhieri 1992

o altri più divulgativi come i libri del Prof. Odifreddi.



E’ certo che le scienze sono opinabili ? dipende da cosa vuol dire questa frase, giacché si da il caso che le scienze siano nate proprio per andare oltre le opinioni personali.

Inoltre mi riferivo a questa frase: “La scienza opinabile ? Sicuro come 2+2 = 4”

Che è volutamente ironica e ambigua, o almeno io la leggo in questo modo. Perché sebbene parrebbe che dica "2+2 fa certametne 4" “sembra” che in un certo senso dica anche che la scienza è opinabile come è opinabile il fatto che 2+2 faccia 4 !
Ti dico questo perché in altri dibattiti la stessa frase mi è stata riportata per sostenere, ironicamente, proprio che 2+2 non farebbe affatto 4. Comunque se sostieni che 2+2 fa certamente 4 allora sei d’accordo con me e, cosa assai più importante, con Godel che i teoremi li ha formulati.

Saluti
Andrea

Mi guardo bene dall’entrare in competizione con maestri di logica matematica come quelli che si sono avvicendati ultimamente in questa discussione: mi permetto solo di cercare un riferimento definitivo al tema dell'argomento. Mi rifaccio all’ultimo testo di Spirito!libero perché mi pare che sottintenda che, se “le scienze sono opinabili”, ciò non significhi che vivono non di logica ma di fede, visto che sono logici ben collaudati coloro che sono arrivati a pensare, senza affatto indignare il concistoro scientifico, che 2+2 non fa 4. Dunque tutto risolto – la scienza non si arrende alla fede e arriva, con le sole sue forze, a superare ciò che sembrava dotato di adamantina e proverbiale certezza?
Ricordo però che anche la religione era arrivata a un simile exploit quando, nel Seicento, Cartesio sostenne, contro Malebranche, che Dio crea ad arbitrio le verità matematiche, tanto che (sembra affermato esplicitamente) avrebbe potuto far sì che 2+2 non faccia 4. Quindi parrebbe che bastasse la fede religiosa a concepire qualcosa che solo oggi la scienza intravede come possibile, servendosi della ragione. Allora, che cosa vogliamo alla fine rispondere a Giorgiosan che molto prudentemente aveva chiesto “se le scienze sono anche solo in parte dipendenti dalla categoria fede” (io mi ero permesso di distinguere un’accezione psicologica di fede – che può essere estesa alla scienza - da una accezione gnoseologica che la scienza rifiuta).

Caro emmeci,

non è raro che l'uomo ci azzecchi per caso o per intuito. Il problema non è se qualcuno in passato (come la religione nel caso del 2+2) ha formulato qualche proposizione corretta, ma come è possibile verificare che tale enunciato sia vero o falso. Solo oggi tu infatti puoi dire, che quel tale in passato aveva ragione e quell'altro torto, e lo puoi dire solo oggi perché hai un metodo sicuro per capire chi aveva ragione e chi torto.


Rispondo quello che ho già risposto, ovvero che se per fede intendiamo quella religiosa, la scienza non c'entra nulla con la fede, se per fede intendiamo la normale fiducia che tutti gli uomini devono necessariamente porre per esistere, la scienza è basata sulla medesima fiducia che ha l'uomo comune nel credere che il sole esiste realmente.

Saluti
Andrea