Ok allora provo così:

Ci sono 2 sistemi di riferimento uno con centro in A e uno in B con A e B distanti 1 minuto luce ed inizialmente fermi tra di loro.

se il sistema A si mette a ruotare con la frequenza di 1Hz in questo sistema il punto B avrà una traiettoria circolare di raggio 1 minuto luce. Per cui la sua velocità tangenziale di B sarà 2*pi*c*60 (con pi = pigreco e c = velocità della luce), che è maggiore di c.

Non conosco molto bene la relatività generale, quindi potrebbe esserci un errore di fondo, ma vorrei appunto che qualcuno mi dica dove sta.

Il limite c come massima velocità misurabile in qualsiasi sistema inerziale è un limite "fisico"; nell'esempio che tu hai portato un sistema che orbita attorno ad un altro non potrebbe andare a quella velocità > c.
Il limite quindi non rappresenta l'osservabilità, ma è un preciso limite fisico che non può essere raggiunto da corpi con massa a riposo > 0.

Vorrei aggiungere a cio' che e' stato scritto giustamente da Eretiko che per rendere piu' intuitivo il tuo "esperimento" dovremo considerare un disco rotante con lo stesso raggio che hai riportato e con una velocita' tangenziale come da te descritta.
Se mi posiziono al centro e non solidale con il disco (quindi immagina un foro centrale e l'osservatore con i piedi ancorati a terra mentre intorno a lui ruota il disco)e osservo un punto sulla circonferenza piu' esterna del disco l'osservazione che posso fare e' che posso tranquillamente applicare le contrazioni di Lorentz in quanto il modulo velocita' e' costante.
Ecco allora che la velocita' rimane relativizzata e tale da non superare c.

Mi affaccio a questo "sportello della relatività" con l'intento di esporre un possibile paradosso relativistico, ossia un'apparente incongruenza (da verificare e discutere) a cui la teoria della relatività da luogo, qualora si accettino i suoi principi: qualcosa di simile al ben noto paradosso dei due gemelli, ma - credo - più solido.
 Il paradosso è di mia ideazione, ed eccone l'esposizione.


Il paradosso dell’orologiaio spaziale

Un costruttore di orologi allestisce il proprio laboratorio all’interno di un’astronave spaziale di forma cilindrica, molto allungata. Le operazioni che seguono vengono effettuate mentre l’astronave-laboratorio si trova ferma a Terra, allineata orizzontalmente rispetto al suolo.
 Alle due estremità A e B del cilindro vengono sistemate due postazioni, e una terza M esattamente a metà.
 Tre orologi dello stesso tipo vengono portati in M e sincronizzati sulla medesima ora, dopodiché due di essi vengono trasferiti, l’uno in A e l’altro in B.
 In M viene installato un dispositivo in grado di emettere un raggio laser che, indirizzato verso gli orologi, fa in modo di arrestarli sull’istante di ricezione del segnale. Inoltre, gli orologi sono in grado di emettere un segnale radio che comunica, al momento dell’arresto, l’ora segnata.
 Dopo aver compiuto le operazioni sopra descritte (che sono tutte perfettamente definite, inequivocabili e esenti da effetti relativistici poiché tutte svolte nel sistema di riferimento solidale con la Terra), l’orologiaio parte con la propria astronave-laboratorio, intenzionato a effettuare nello spazio degli esperimenti di sincronizzazione “a distanza” degli orologi. Un osservatore resta sulla Terra con il compito di registrare a sua volta le operazioni effettuate nello spazio.
 Mentre l’astronave si allontana dalla Terra a velocità relativistica costante (con B rivolta verso la Terra), all’ora T1 prestabilita (nel sistema di riferimento dell’astronave stessa) viene effettuata il primo esperimento: il dispositivo laser invia il segnale ad entrambi gli orologi; gli orologi si arrestano e inviano nello spazio il segnale radio che comunica l’ora dell’arresto; il segnale viene ricevuto dall’osservatore a Terra, il quale prende nota dei dati. Intanto, nello spazio, l’orologiaio ha fermato l’astronave rispetto al sistema di riferimento sulla Terra; ha riportato in M i due orologi posizionati in A e B; ha preso nota dell’ora registrata rispettivamente dai due orologi; ha effettuato nuovamente l’operazione di sincronizzazione dei tre orologi; ha ricollocato due orologi nelle postazioni A e B. Dopodiché l’astronave riparte e si dirige verso la Terra alla medesima velocità dell’andata (anche questa volta con B rivolta verso la Terra). All’ora T2 prestabilita viene ripetuto l’esperimento, con le medesime modalità: l’osservatore sulla Terra annota nuovamente l’esito e così pure l’orologiaio, dopo l’atterraggio dell’astronave e dopo aver recuperato gli orologi in A e in B.

 Ora si mettono a confronto i dati raccolti, sintetizzati come segue.
 1) L’orologiaio ha rilevato che i due orologi in A e in B si sono fermati esattamente alla stessa ora sia nel primo che nel secondo esperimento, con un piccolo ritardo rispetto agli orari T1 e T2 prestabiliti (segnati dall’orologio posizionato in M) perfettamente giustificato dal fatto che il segnale laser impiega un certo tempo a percorrere i tratti che separano M da A e B; e poiché dal proprio punto di vista (ossia secondo il sistema di riferimento dell’astronave) la luce viaggia alla stessa velocità nelle due direzioni, la sincronicità degli orologi estremi è teoricamente ineccepibile.
 2) Per l’osservatore a Terra le cose sono andate diversamente: nel primo esperimento l’orologio in A si è fermato dopo di quello in B, perché anche nel sistema di riferimento della Terra la luce viaggia sempre alla stessa velocità in tutte le direzioni; ma poiché l’astronave si stava allontanando con B all’inseguimento di A, il raggio laser partito da M ha raggiunto B prima di quanto abbia fatto l’altro diretto verso A. Nel secondo esperimento (effettuato quando l’astronave stava tornando verso la Terra, questa volta con A all’inseguimento di B) l’osservatore ha rilevato il caso opposto, ossia che l’orologio in B si è fermato dopo di quello in A.
 L’orologiaio e l’osservatore sono perplessi: i risultati che hanno rispettivamente annotato sono perfettamente congruenti con le previsioni teoriche formulabili nei rispettivi sistemi di riferimento; tuttavia, sono fisicamente incompatibili l’uno con l’altro in quanto due orologi non possono segnare contemporaneamente la stessa ora e ore diverse! Si dà il caso però che essi possano controllare di persona, insieme, come stanno le cose, perché i tre orologi si trovano ancora in M, fermi dal momento dell’esecuzione del secondo esperimento. L’orologiaio e l’osservatore salgono sull’astronave, vanno in M e guardano gli orologi: uno (quello che è sempre rimasto in M) segna esattamente l’ora T2; gli altri due segnano un’ora diversa da T2 (che debba essere diversa l’orologiaio e l’osservatore sono perfettamente d’accordo: la luce inevitabilmente impiega tempo a raggiungere A e B da M, a prescindere dal fatto che l’astronave sia ferma o in movimento), ma fra di loro? Segnano la stessa ora oppure ore diverse?…

 La storia dell’orologiaio si ferma necessariamente qui: non è possibile raccontarne il finale, svelare chi abbia ragione, se l’orologiaio oppure l’osservatore. Secondo la teoria della relatività, dal proprio punto di vista hanno entrambi ragione, ma come si è detto è fisicamente impossibile che ciò accada, perché i due orologi o segnano la stessa ora oppure no: tertium non datur.
 Comunque sia, questo paradosso sembrerebbe dimostrare che la teoria della relatività è errata: sia che abbia ragione l’orologiaio, sia che abbia ragione l’osservatore, ne risulta che non può essere vero che la luce viaggia sempre alla stessa velocità in tutte le direzioni, qualunque sia il moto del corpo da cui viene emessa, giacché questo implica, come si è visto, scenari incompatibili l’uno con l’altro.
 Mi riprometto di esporre una formulazione matematica di questo paradosso, che comunque dovrebbe essere qualitativamente ben comprensibile anche con questa esposizione puramente discorsiva.

 Invito tutti a esprimere giudizi, innanzitutto sulla chiarezza dell'esposizione, e poi sulla fondatezza dell'apparente paradosso.

L'esperimento ideale proposto da Loris mi sembra contenga un errore logico: implicitamente si è assunto che per il raggio laser emesso da M verso A e B, visto da terra, valga la regola di composizione galileiana delle velocità. Assumendo validi i principi della relatività ristretta, il raggio laser emesso da M avrà sempre la stessa velocità (c) misurata sull'astronave o dall'osservatore a terra, in conseguenza i tratti MA e MB saranno coperti dal raggio laser in tempi identici, sia se misurati sull'astronave sia se misurati a terra (e la misura a terra sarà diversa dalla misura sull'astronave, in virtù del moto uniforme relativo). Quindi il paradosso è tale se si applica la meccanica pre-relativistica.

Infine una nota sul paradosso dei gemelli: esso fu ideato per contestare la relatività ristretta; lo stesso Einstein dimostrò che non esisteva alcun paradosso perchè l'esperimento ideale dei 2 gemelli ricadeva nella relatività generale (e non in quella ristretta). Anche il caso proposto da Loris ricade nella relatività generale (l'astronave subisce accelerazioni).

Grazie Eretiko, ma non c'è nessun errore logico, o perlomeno non c'è quell'errore logico che tu segnali. Proprio perché la velocità della luce non si compone (principio basilare della relatività) i raggi laser emessi da M raggiungono A e B in tempi diversi (visto da terra): infatti, se l'astronave viaggia alla velocità v (rispetto alla Terra), e il raggio laser viaggia alla velocità c (sempre e comunque, in qualunque sistema), allora avremo, visto da Terra, che un raggio laser si avvicina ad un estremo alla velocità apparente c-v, mentre l'altro raggio si avvicina a quell'altro estremo alla velocità apparente c+v. Capisci? Visto da Terra (lo ripeto ancora) un estremo corre incontro al raggio, mentre l'altro 'cerca' di sfuggirvi. Al contrario, se la velocità della luce si componesse con quella dell'astronave, non ci sarebbe alcun problema (ma saremmo al di fuori della relatività).

Per quanto riguarda il paradosso dei due gemelli, devo dire che le spiegazioni fornite sono tutt'altro che soddisfacenti, almeno quelle a me note. Ne cito una tratta dall'Enciclopedia Europea: “[…] Infatti tutti i moti sono relativi ma nella relatività ristretta l’accelerazione è assoluta, esattamente come nella meccanica di Newton. Una particella libera non andrebbe mai spontaneamente da P a Q e poi di nuovo a Q. Di fatto, dunque, il secondo gemello risulta, alla fine, più giovane del primo perché i suoi processi biologici sono stati rallentati dalle forze di inerzia […]”. Sembra una spiegazione sensata, ma a ben vedere non lo è. Introduciamo un terzo gemello; immaginiamo che egli lasci la Terra nello stesso momento del secondo gemello, ma su un’altra astronave, e che i due viaggino appaiati finché il secondo non inverte la rotta per tornare alla Terra; immaginiamo che il terzo gemello prosegua il suo viaggio alla stessa velocità, finché anch’egli non decide di fare ritorno. Tornato anch’egli sulla Terra, scoprirà di essere ora il più giovane dei tre: infatti, su di lui l’effetto relativistico della contrazione temporale si è applicato per un periodo di tempo più lungo, poiché il suo viaggio è stato più lungo di quello del secondo (nel sistema di riferimento del primo gemello, ossia della Terra). Ebbene questo è ciò che afferma la teoria, ma se tentiamo di darne conto utilizzando la medesima ’spiegazione’ avanzata sopra si giunge a conclusioni imbarazzanti per il buon senso: infatti, possiamo tranquillamente immaginare che i viaggi del secondo e del terzo gemello siano stati, a parte la lunghezza, perfettamente identici nelle manovre necessarie per partire, invertire la rotta e ridiscendere sulla terra; di conseguenza, pure identiche saranno state le forze di inerzia subìte dai due viaggiatori. Ora, la conclusione imbarazzante è questa: i due gemelli viaggiatori, pur avendo subìto le stesse identiche forze inerziali (giudicate come la causa della contrazione temporale, vedi sopra), riscontrano una diversa contrazione temporale, che a questo punto non potrà che essere imputata (a parità di tutte le altre condizioni) proprio alla durata della fase stazionaria dei viaggi. Per essere chiari, il non senso della ’spiegazione’ del paradosso si rivela il seguente: partiti con l’attribuire alle forze inerziali la causa della contrazione temporale, si finisce con lo scoprire che l’entità della contrazione stessa è determinata non dalle forze inerziali subìte dai viaggiatori, bensì dalle differenti durate delle fasi stazionarie dei rispettivi viaggi, fasi in cui – non manifestandosi forze inerziali – i due sistemi di riferimento (le astronavi dei due gemelli) possono considerarsi sistemi inerziali! Il paradosso, ben lungi dal risolversi, si complica…

Concludo con una precisazione importante sull'esposizione del 'mio' paradosso: quando scrivo "...gli orologi si arrestano e inviano nello spazio il segnale radio che comunica l’ora dell’arresto..." intendo dire che tale segnale comunica la lettura dell'ora di arresto, cioè comunica un'informazione che come tale è esente da effetti relativistici (ossia, se la lettura è ad esempio "arresto ore 4", l'informazione resterà sempre tale qualunque effetto relativistico possa poi subire il segnale radio che la veicola).

Ciao
Purtroppo ho qualche perplessita' in merito.
In un primo momento ero convinto anch'io che bisognasse ricercarne la soluzione nella relativita' generale e quindi fare riferimento alle accelerazioni
poi pero' riflettendoci meglio mi sono convinto che la soluzione era da ricondursi in relativita' ristretta.
Il gemello che parte accellera e siamo daccordo.
Ma cosa vuol dire accellerare?
Vuol dire passare attraverso velocita' crescenti e quindi il gemello astronauta quando si porta in un sistema inerziale e quindi a v costante avra' maturato
un ritardo ,non cumulabile,dovuto alla permanenza nell'ultima velocita' raggiunta. Il suo orologio andra' piu' lentamente rispetto a quello del fratello rimasto.
Possiamo benissimo pensare ad effetti gravitazionali e giustificare il ritardo in Relativita' generale.
Ma quando permane nel sistema stazionario inerziale il suo orologio battera'
il tempo esattamente alla velocita' del gemello rimasto anche se piu' indietro come orario.
Questo ritardo viene amplificato dalla permanenza in questo stato.
Es: se il gemello sulla terra guarda l'orologio e vede la lancetta spostarsi dallo zero a 1 secondo il fratello astronauta vedra' la sua lancetta spostarsi di 0.8 secondi con una perdita di 0.2 secondi.
Dopo es: 1 ora il ritardo dell'orologio sara' di 720 secondi.
Questo vuol dire che gli orologi amplificano il ritardo quanto piu' il gemello partito permane nel suo stato stazionario a velocita' costante.
In fase di decellerazione per ritornare sulla terra l'astronauta perde il ritardo accumulato in fase di partenza accelerata in quanto il suo orologio passando attraverso velocita' inferiori accellera progressivamente portando il suo orologio a battere esattamente come se fosse in un sistema inerziale
come l'orologio del fratello rimasto.
Cio' che rimane e' solo l'amplificazione del ritardo quando si e' a v costante.
Ed e' qui che si giustifica lo scarto temporale.
Almeno questa e' la mia interpretazione.
Al limite se il viaggio si potesse fare solo in accelerazione e decellerazione
non verrebbe misurato nessun ritardo dell'orologio e una volta a terra i due orologi sarebbero ancora sincronizzati.
E questo si avrebbe qualunque cammino in accelerazione e decellerazione scelto.
Qualche perplessita' anche sulla prima obiezione.
Prova ad immaginare un vagone ferroviario dove nel mezzo e' possibile lanciare verso le estremita' un raggio di luce.
Se lo stesso passa davanti ad un osservatore egli vedra' cose diverse rispetto ad un osservatore solidale con il vagone.
Prova pensarci.

Ok, Loris, nel tuo esperimento abbiamo il problema della "simultaneità"; ma dove nasce il paradosso continuo a non capirlo. Se A e B inviano a terra 2 segnali che indicano la lettura degli orologi, non vedo perchè dovrebbero essere diverse (le letture). Potremmo affermare che i 2 segnali da A e B arrivano a terra temporalmente sfalsati, ma non che sia alterata l'informazione.
Insomma, alla fine l'osservatore a terra non compie "misure", ma si limita a registrare le misure effettuate a bordo dell'astronave. Perchè i valori dovrebbero essere diversi ?

Torno ancora sul paradosso dei gemelli: A rimane a terra, B parte, raggiunge una stella lontana, inverte la rotta e ritorna a terra: per la relatività, A è più vecchio di B. Però dato che anche in relatività ristretta vale il principio di reciprocità, è come se B rimanesse fermo, e sia A a fare il viaggio, con la conseguenza che questa volta è B ad essere più vecchio di A. Da qui nasce il paradosso che intendeva invalidare la relatività ristretta. In realtà abbiamo solo 2 tratti del viaggio che possiamo inquadrare nella relatività ristretta, quelli percorsi a velocità costante, un tratto dalla terra alla stella ed un tratto dalla stella alla terra. Poi abbiamo tratti accelerati (partenza da fermo sulla terra, circumnavigazione della stella ed inversione della rotta, rientro a terra) che non possono avere durata nulla. Lo studio dinamico deve quindi essere effettuato nell'ambito della relatività generale, per cui non si genera alcun paradosso. Peraltro ci è stato anche chi si è divertito a fare la trattazione analitica (mediante le equazioni della relatività generale) per dimostrare che effettivamente A è più vecchio di B.

Infine sulla costanza della velocità della luce nel vuoto: a distanza di 100 anni mi sembra che non si sia ancora riusciti a trovare "prove negative", mentre gli esperimenti effettuati (come la ricerca del "vento di etere") e le osservazioni astronomiche (sistemi binari di stelle di neutroni con elevata velocità orbitale) sembrano confermare la costanza di "c".

Eretiko, è proprio lì il paradosso, come fai a non vederlo? Per l'osservatore che sta a bordo dell'astronave i due orologi devono arrestarsi simultaneamente (e l'informazione inviata all'osservatore a Terra deve confermare tale simultaneità). Tuttavia, la simultaneità NON è ciò che si deve aspettare l'osservatore a Terra (in virtù dei principi della relatività): se l'osservatore a Terra ignorasse l'informazione che gli giunge dall'astronave e potesse vedere direttamente ciò che accade, ad esempio con un potente telescopio, egli dovrebbe vedere (per i principi della relatività) che un orologio si arresta prima dell'altro (nel senso che egli dovrebbe leggere, attraverso il suo telescopio, due orari di arresto differenti sui quadranti degli orologi). Come ho detto si tratta di due scenari incompatibili: o è vero l'uno o è vero l'altro, ma in entrambi casi ne risulterebbero invalidati i principi fondamentali della relatività.
(Per inciso, mi sembra di capire che il particolare della "trasmissione a terra dell'informazione" può ingenerare confusione, e quindi farei meglio a toglierlo dall'esposizione: non cambia nulla, si può semplicemente immaginare, come ho detto poc'anzi, che l'osservatore a Terra osservi direttamente ciò che accade sull'astronave).

Per quanto riguarda ancora il paradosso dei due gemelli, quello che tu dici non contribuisce affatto a chiarire i dubbi che agitano me e Simmetria (il cui ultimo post è, mi pare, del tutto in linea con il mio pensiero), e inoltre non tiene conto del terzo gemello che io suggerivo di introdurre: il problema è: come la spieghi la differenza di età, alla fine dei rispettivi viaggi, fra il secondo e il terzo gemello? Tieni presente che su di essi hanno agito esattamente le stesse forze inerziali (ambito della relatività generale), e ciò che cambia è solo la durata delle fasi stazionarie del viaggio (ambito della relatività ristretta). Se vuoi risolvere il paradosso dei tre gemelli, devi restare all'interno della relatività ristretta, perché per la relatività generale i viaggi del secondo e terzo gemello debbono essere considerati identici. Ma se devi restare all'interno della relatività ristretta, allora restano valide tutte le perplessità che ho espresso nel mio primo post.

Infine, non discuto certamente la validità degli esperimenti che dimostrano la costanza di c: quel che si discute è se la costruzione matematica che discende dal postulare quel dato come principio (perché tale diventa nella teoria della relatività: un postulato che si assume valido senza tentare di spiegarlo) sia in sé coerente.

Ciao

Sono daccordo con te sull'interpretazione che bisogna dare al paradosso dei gemelli ma qui non ti capisco.
E' proprio questa asimmetria di valutazioni che convalida la relativita'.
Noi siamo in presenza di due sistemi di riferimento assolutamente differenti.
Non dobbiamo "sovrapporli". La valutazione che viene fatta da terra deve essere differente dalla valutazione fatta sull'astronave.
Proviamo a pensare ad una contrazione dell'astronave quando passa davanti all'osservatore terrestre a velocita' relativistica.
Dal suo riferimento questa si contrae secondo Lorentz ma non c'e' nessun paradosso perche' i due riferimenti terra e astronave sono differenti.
Il paradosso potrebbe nascere se vogliamo portarci in un unico sistema di riferimento dal quale fare una valutazione dei due fenomeni insieme.
Allora le due valutazioni sarebbero inconcilianti.
Mi ricorda per un attimo le strutture mesomere in chimica....
Sono daccordo anche sulla obiezione che hai portato all'obiezione di Eretiko
circa la"composizione delle velocita'" ed era per questo che avevo invitato Eretiko a fare una valutazione sull'esperimento del vagone ferroviario.
Mi sembra che il mistero piu' importante sia una corretta valutazione del perche' l'onda elettromagnetica non compone la propria velocita'.
Einstein ha dovuto modificare l'idea del tempo e dello spazio per spiegarlo.
E francamente e' difficile trovare altre spiegazioni.
Forse si poteva ammettere l'esistenza di un substrato sul quale lo spazio poggerebbe e nel quale l'onda elettromagnetica sarebbe "solubile".
Se pensiamo ad un vagone ferroviario che ci passa davanti a velocita' costante e dal quale un osservatore lancia un raggio di luce nella sua lunghezza questo risulterebbe insensibile allo spazio del vagone in movimento ma sembrerebbe ancorato ad una struttura che permea lo spazio stesso
e sulla quale lo spazio stesso si muove.
Ma l'osservatore sul treno trascinerebbe il raggio con il suo spazio.
Per cui cadrebbe anche questa ipotesi.
Cio' che mette daccordo tutti e' considerare una velocita' limite in natura con le conseguenze relativistiche....