certo, non sono d'accordo con i ragionamenti dell'articolo da cui parte la discussione, ma essendo un articolo di 3 anni e 11 pagine fa è un po' faragginoso andare a controllare quelle affermazioni.

adesso proverò a mostrarti dove trovo fallaci i tuoi ragionamenti, per quanto alcune cose siano giuste.


[quote=Cally89]Ho riesumato una discussione di 3 anni fa, il fatto è che l'ho letta appena ora e il concetto di infinito mi interessa moltissimo.


Certo, è assurdo, ma anche la nostra esistenza è assurda. Tutto è assurdo.
Secondo me tu sei troppo legato alla matematica, che non è nient'altro che un'opinione.
Potete dirmi 1 + 1 = 2, poi prendere una penna e un'altra, e mostrarmi che effettivamente una penna più un'altra fa due penne, e quindi dire che la matematica non è un'opinione.
In realtà l'uomo, prima ha preso una penna e poi un'altra e ha visto che erano due. Solo in seguito ha messo ciò su carta e ha inventato i numeri per rappresentare ciò che ha fatto.
Quindi la matematica non è altro che la trasposizione su carta di ciò che noi percepiamo con i nostri sensi.
[quote]
questo è vero, ciò non toglie che la matematica sia un'opinione condivisa, e che 1+1 faccia sempre e comunque 2, cioè che la matematica sia l'estrapolazione e la formalizzazione di un modo di pensare umano condiviso, che ci permette tra l'altro di utilizzare il concetto di assurdo in maniera più puntuale. Una cosa matematicamente assurda è una cosa sbagliata, che invalida un ragionamento. Per questo epicurus parla di assurdo quando si giunge alla conclusione che i numeri non esistono.

Le scienze non si basano solo sui sensi, ma anche sul ragionamento, e su misurazioni. cmq è vero che le scienze sono una rappresentazione della realtà secondo modelli matematici

questa è una affermazione forte. Se la matematica avesse dei controsensi evidenti vorrebbe dire che non funzionerebbe, che non potremmo utilizzarla. Non mi pare sia questo il caso. Ovviamente il concetto di infinito è complesso e difficile da utilizzare, ma la matematica e la fisica lo maneggiano ormai da secoli.
A questo punto dovresti dirmi quale ritieni sia la concezione 'giusta' dell'infinito...

questo è falso. L'utilizzo di funzioni e di successioni permette di mettere in relazione i numeri naturali con un qualunque insieme, e quindi di utilizzarlo come modello di infinito. La cosa interessante è che proprio partendo da questo possiamo capire che esistono diversi tipi di infinito, matematicamente parlando.

anceh questo non è vero, le leggi matematiche prevedono l'esistenza dell'infinito, e non sono piene di controsensi. inoltre nulla è diverso da zero, e se dici che l'infinito è il nulla, allora la definizione di una delle due cose è sbagliata. E' come se dicessi che un melo è un pero.

l'ultima conclusione parte da concetti sbagliati (che l'infinito in matematica non esiste) e quindi è sbagliata. il concetto di approssimazione è ben chiaro in matematica, e per i numeri reali si parla di sezione di Dedekind, cioè di successioni infinite, per descrivere un numero.

come fai a dire questo, la non esistenza della ripetizione infinita di un operazione non implica la non esistenza dell'operazione.

mi basta dimezzare una sola volta il 6 per ottenre il 3

mi fermo qui

Chiarisco, io credo che la sete di conoscenza e l'utilizzo della ragione sia una tra le cose migliori che abbiamo a disposizione. Credo però che in questa ricerca sia necessario approfondire molto le proprie conoscenze prima di giungere a delle conclusioni. La matemazica non è facile da affrontare, perchè richiede estremo rigore, ma quando si fanno delle affermazioni bisogna ragionare bene su quello che si dice.

LOL, ammetto il mio madornale sbaglio, intendevo per ottenere 0.

Sul resto replicherò più avanti, quando avrò tempo.
Per ora ammetto questa gafe. ^^

"le leggi matematiche prevedono l'esistenza dell'infinito, e non sono piene di controsensi"

Posso dire con una certa cognizione di quello che viene fatto, che le leggi matematiche (quelle sistematizzate più recentemente) non sono piene di controsensi perché i sistemi formali (al primo ordine) sono stati costruiti in maniera tale che, anche nel caso in cui esistessero questi controsensi, non potrebbero essere derivati. Dal punto di vista logico-matematico la consistenza del concetto di infinito viene assunta e non dimostrata. La completezza delle regole logiche dei sistemi formali del primo ordine dipende dall’assunzione che esistono dei modelli che contengono un’infinità di elementi (in alcune dimostrazioni viene usato il linguaggio stesso per costruire questi modelli e perciò viene assunto che il linguaggio formale contiene un’infinità di espressioni). In altre parole la dimostrazione consiste nel mostrare che se da una formula non è possibile dedurre formalmente delle contraddizioni allora esiste un modello con infiniti elementi che la verifica. Se formalizzassimo la metateoria risulterebbe chiaro che, affinché questo argomento continui ad essere valido, sarebbe necessario assumere esplicitamente che il linguaggio formale è costituito da una collezione non finita di espressioni. Il modello infinito costruito a partire dal linguaggio non è venuto fuori dal nulla, ma perché avevamo già assunto che un linguaggio del genere (con infinite espressioni) potesse esistere almeno idealmente, non possiamo far finta di niente se lo abbiamo assunto inizialmente senza averlo esplicitato chiaramente. Le altre dimostrazioni che non si "appoggiano" sull’assunzione dell’infinità dei termini linguistici si "appoggiano" comunque ad una qualche forma dell’assioma dell’infinito in cui viene assunto che un dominio del genere (infinito) esiste. La completezza delle regole di deduzione, come ho anticipato, è legata alla consistenza del concetto di infinito generando un circolo vizioso. Se dal sistema di assiomi

Per ogni x Esiste y (xRy)
Per ogni x y z (xRy & yRz -> xRz)
Per ogni x (~xRx)

applicando le regole di deduzione usuali non è possibile derivare alcuna contraddizione, questo non ci assicura che questo sistema di assiomi sia ontologicamente consistente (cioè dotato di un modello), bisogna assumere anche che le regole di deduzione siano complete (capaci cioè di derivare tutte le conseguenze logiche possibili). Ma la nozione di conseguenza logica dipende da che tipo di modelli esistono, se non esistessero modelli infiniti il sistema su esposto risulterebbe inconsistente dal punto di vista ontologico, cioè privo di modelli e se fosse vero che non ha modelli allora le regole, se non ci permettessero di dedurre alcuna contraddizione, non funzionerebbero bene (sarebbero incomplete) ma noi non potremmo saperlo (come facciamo a dire se esiste o meno un modello costituito da un’infinità di elementi? Questo possiamo soltanto assumerlo). La correttezza delle regole (abbastanza semplice da dimostrare) ci assicura che dal vero deduciamo sicuramente il vero, ma dal necessariamente falso (falso in ogni modello) possiamo dedurre sicuramente una contraddizione soltanto se queste regole risultassero complete. Questa completezza, come ho spiegato prima, dipende dalla consistenza ontologica del concetto di infinito (esistenza di un modello non finito) perciò il non poter dimostrare formalmente una contraddizione dagli assiomi su esposti non ci assicura che il concetto di infinito sia consistente ontologicamente, lo abbiamo solo assunto a livello metateorico ed è proprio questa assunzione che ci permette di dimostrare la completezza delle regole di deduzione al primo ordine. L’equivalenza di consistenza formale (impossibilità di dedurre formalmente con le regole classiche usuali una contraddizione) e consistenza ontologica (esistenza di un modello) dipende dall’assunzione metateorica della consistenza del concetto di infinito (cioè dal fatto che abbiamo assunto che esistono domini di enti infiniti). Contesto il fatto che i matematici hanno mostrato che il concetto di infinito è consistente, se osserviamo quello che viene fatto effettivamente da matematici e logici io direi che questa consistenza viene assunta, cioè viene assunto che esistono domini non finiti e non è stato provato ancora da nessuno che il concetto di infinito risulta consistente. Riassumendo, le idee su esposte mostrano che nemmeno il fatto che non sono state riscontrate antinomie formali avvalora la tesi che il concetto di infinito sia consistente, perché affinché questo argomento sia valido dovremmo disporre con certezza di un sistema formale le cui regole di deduzione siano complete: ma le dimostrazioni di completezza delle regole di deduzione dipendono tutte dall’assunzione della consistenza del concetto di infinito facendoci cadere in un circolo vizioso in cui affermiamo semplicemente "se il concetto di infinito è consistente allora il concetto di infinito è consistente".

Ciao a tutti

Appunto, le misurazioni le facciamo grazie a cosa? Al tatto, alla vista, eccetera.

Ma essendo ripetibili hanno un grado di oggettività sufficiente a farci utilizzare il ragionamento matematico in maniera oggettiva.

Complimenti a Bub, hai appena terminato un corso di logica matematica?

Sufficiente. Ma non saremo mai certi che le misurazioni che facciamo nell'Universo siano valide anche oltre, e per oltre intendo anche fenomeni dell'Universo che ancora non conosciamo bene, dove le leggi della fisica potrebbero appunto perdere validità (esempio: buchi neri).

La Teoria degli Insiemi costituisce le basi dell'intera matematica, compresa la logica matematica: in questo vastissimo campo, inoltre, svolgono ruoli centrati tutti i risultati ottenuti sugli insiemi infiniti.

Detto questo è chiaro che la credibilità dell'intera matematica poggia sulla credibilità dell'esistenza degli insiemi infiniti... già in logica del prim'ordine si tratta con strutture che hanno il loro insieme universo infinito, e la logica del prim'ordine è consistente e completa (dimostrato da Goedel).
Ma questo vale anche per l'intera matematica: dobbiamo di ricordare che Goedel è riuscito a dimostrare la consistenza dell'aritmetica usando l'aritmetica stessa (certo, imponendoci di rinunciare alla completezza però)!

Tutto questo per dire che il concetto matematico di "insieme infinito" è consistente.

Non capisco, poi, il tuo discorso sulla consistenza ontologica: non ho mai sentito questo termine in logica matematica, me lo potresti chiarire?
Forse tu intendi dire che l'esistenza di insiemi infiniti è solamente consistente, cioè rappresenta una possibilità, ma non si sa se effettivamente nel nostro mondo vi siano tali insiemi... E' questo che intendevi dire?

Ecco riesumatomi anch'io, assieme a questo vecchio discorso


Se tutto fosse assurdo, allora lo sarebbero anche le tue parole. Quindi non tutto è assurdo. c.v.d


La matematica è stata codificata in modo tale da non essere ambigua: in questo sta il fatto che la matematica non è un'opinione. (Con questo intendo dire che non ogni procedimento è un procedimento corretto in matematica.)


Certo, la matematica sorge come tutte le altre cose da osservazioni, ma poi essa si è distaccata, astraendosi.
Ora la matematica tratta entità che, diciamo così, non puoi trovare per strada: "Toh!, guarda chi si vede da queste parti, la funzione biettiva!".


La matematica non deve descrivere la nostra realtà, ma tutte le realtà possibili... (naturalmente la descrizione sarà meramente matematica).


Questo è un discorso trattato in altri topic, sullo scetticismo totale.
Ma io (e anche odos) più volte ho ribadito l'insensatezza di questa posizione.
Comunque se tutto non esiste, allora non esiste né la realtà né la scienza: quindi non puoi dire che la scienza (di che parli se non esiste?) non rappresenta la realtà (di che parli se non esiste?)


Non basta sostenere che un concetto è difficile, per dire che non è usabile. D'altro canto non è vero che l'infinito porta a controsensi (forse porta a cose strane, non non inconsistenti).


Questa parte citata non ha veramente senso:
1) Che significa che un algoritmo matematico contiene il simbolo dell'infinito?!?!
2) Nessun computer tratta con i numeri reali.


Sia in matematica sia in fisica c'è posto per l'infinito...





No, questo dimostra solamente che i numeri (reali) tra, poniamo, 1 e 0 sono infiniti. Tutto qui


Postuli che l'infinito non abbia senso ("non si può fare in eterno") per giungere alla conclusione che l'infinito non ha senso. Questa è una petizione di principio.


Ma che significato ha questa frase? La sapresti spiegare?


Dire che noi non sappiamo tutto, non significa che noi non sappiamo niente. Se non sapessimo niente, allora anche te non sapresti nulla, quindi quello che hai detto non varrebbe. c.v.d

Sul resto non mi pronuncio, essendo hai confini della fantascienza.


epicurus

Premetto che sono un matematico e non un filosofo, tuttavia per me lo zero (tra i numeri naturali) e l'infinito (nel campo dei reali) sono un bell'esempio di come non esiste una verità vera ed unica.
Una verità come tale deve, secondo me, avere due caratteristiche.
La coerenza.
La completezza.
Deve cioè essere coerente con il contesto in cui si trova e deve completarlo in maniera perfetta.
Prendiamo i numeri naturali. La definizione di numero naturale ci dice che esso è un numero atto a descrivere una quantità di screta di oggetti (1 pere, 2 banane, 3 mele...).
All'interno dei naturali si induce l'operazione di somma, difatti possiamo possedere 3 mele, prendrne altre 2, 3+2=5 ed alla fine abbiamo 5 mele.
Ora introduciamo l'operazione inversa alla somma e la chiamiamo sottrazione, siccome il concetto di numero naturale è strettamente legato al mondo fisico, possiamo dar via tutte e 5 le nostre mele 5-5=0 e questo ci porta a dire che lo 0 è anch'esso un numero naturale.
In altre parole, con l'introduzione dello 0 l'insieme dei naturali diviene completo.
Se però guardfiamo la definizione di numero naturale scopriamo che lo 0 non può essere un numero naturale. Lo 0 non descrive alcuna quantità discreta.
Di più 5 mele non sono lo stesso di 5 pere, ma 0 mele è assolutamente eguale a 0 pere.
Quindi con l'introduzione dello 0 l'insieme dei naturali perde la coerenza.
Lo stesso avviene nel campo reale con l'infinito (che completa nello zero la definizione di divisione).
Questo è un grande limite della scienza.
Ogni sistema che si può congetturare o è completo o è coerente.
La Verità (quella Vera) ci sfuggirà sempre.
Dobbiamo metterci l'animo in pace.
Un caro saluto a tutti.

“già in logica del prim'ordine si tratta con strutture che hanno il loro insieme universo infinito, e la logica del prim'ordine è consistente e completa (dimostrato da Goedel)”

Se affermi questo già sei d’accordo con me sul fatto che viene assunta preliminarmente l’esistenza di strutture con un’infinità di elementi. A questo punto ti chiedo, se per mettere in piedi tutto questo è necessario assumere che esistono strutture con infiniti elementi, a cosa serve ricordare a chi sostiene che le strutture infinite non esistono che il concetto di infinito è consistente? Per arrivare a sostenere che il concetto di infinito è consistente già abbiamo assunto a monte, senza poter esibire ovviamente nulla, che esistono queste strutture con un’infinità di elementi, ed è proprio questo che ci contesta chi nega la consistenza ontologica del concetto di infinito. Era questa la mia, direi banale, osservazione. Con consistenza ontologica riferita ad un sistema di assiomi finito intendevo: esiste un modello che verifica tutti gli assiomi. Con consistenza ontologica riferita al concetto di infinito intendevo che esiste una collezione con un’infinità di elementi o più debolmente esiste un'infinità di elementi. Consitenza formale e consistenza ontologica (riferita a sistemi di assiomi) sono legate dalla dimostrazione di Goedel: se un sistema di assiomi ha un modello allora non è possibile dedurre una contraddizione, se non è possibile dedurre una contraddizione allora ha un modello (in realtà è questa seconda parte che è stata dimostrata da Godel). Questa dimostrazione funziona ed ha senso proprio perché abbiamo già assunto la consistenza ontologica del concetto di infinito (esistenza di strutture con infiniti elementi) ma continuo a ripetere che è proprio questo quello che contestano quelli che negano che l’infinito attuale possa essere dato in qualche forma. Se parliamo di sistemi formali con infinite formule, abbiamo assunto che qualcosa del genere esiste, chi va contro la concezione della consistenza delle infinità dirà che sistemi come questi non esistono proprio, come fai a dimostrare la consistenza formale del concetto di infinito senza assumere da qualche altra parte che esiste un’infinità di enti (sia pure una struttura astratta)? Anche se riuscissi a mostrare che formalmente da parti linguistiche finite non è possibile dedurre alcuna contraddizione (una sorta di consistenza formale più debole), per dedurre poi che le formule che usi parlano effettivamente di qualcosa devi disporre dell’equivalenza tra questa consistenza formale e la consistenza ontologica (cioè il fatto che esiste un modello). Il succo di quello che volevo dire risiede in queste semplici osservazioni, meglio di così non riesco a spiegarmi.

Comunque al primo ordine non si parla di consistenza e completezza, ma di correttezza e completezza delle regole di deduzione. Cioè

1) Che le regole di deduzione formale sono corrette significa che se applicate a formule vere in un modello permettono di dedurre soltanto formule vere in questo modello.

2) Che le regole di deduzione formale sono complete significa che se non è possibile dedurre alcuna contraddizione tramite queste regole da un insieme di formule allora esiste un modello che verifica queste formule.

Infine non va confuso il significato di completezza delle regole di deduzione con quello usato nella dimostrazione più famosa di Goedel riguardo al sistema che cerca di formalizzare l’aritmetica. In questo caso completo significa tutt’altra cosa e cioè che, data una formula A di questo sistema specifico, dagli assiomi del sistema è possibile dedurre A oppure è possibile dedurre ~A.

“Goedel è riuscito a dimostrare la consistenza dell'aritmetica usando l'aritmetica stessa (certo, imponendoci di rinunciare alla completezza però)!”

Goedel non ha dimostrato che l’aritmetica è consistente, ha dimostrato che se il sistema (ed altri affini) usato per formalizzare l’aritmentica è coerente, cioè non è possibile dimostrare ogni formula (originariamente omega-coerente, poi in seguito la dimostrazione è stata semplificata da altri logici), allora risulta incompleto (cioè esiste una formula A indecidibile all’interno del sistema), questo è noto come primo teorema di incompletezza di Goedel. Il secondo teorema di incompletezza mostra che usando il sistema di autoriferimento inventato da Goedel (assumendo sempre che il sistema sia coerente) non è possibile dimostrare la coerenza del sistema usando il sistema stesso. Per dimostrare che il sistema che formalizza l’aritmetica è coerente è necessario usare metodi che non sono formalizzabili nel sistema stesso (una dimostrazione di coerenza è data in Mendelson “Introduzione alla logica matematica”, ma fa uso degli ordinali e quindi si appoggia alla coerenza di un’altra teoria ancora più complicata di quella di cui si voleva dimostrare la coerenza). In tutte queste dimostrazioni è assunto implicitamente che il concetto di infinito è consistente dal punto di vista ontologico (cioè che esistono strutture con infiniti elementi) e perciò consistenza formale e consistenza ontologica (ho spiegato prima cosa intendevo) risultano equivalenti.

“Tutto questo per dire che il concetto matematico di "insieme infinito" è consistente.”

Già ho spiegato abbondantemente perché questa affermazione non dice nulla a chi contesta l’esistenza di insiemi infiniti anche a livello ideale. Se io affermo che le collezioni infinite non esistono né realmente, né idealmente tu non potrai mostrarmi una collezione infinita reale (materiale insomma) o ideale per convincermi che questo concetto è consistente ontologicamente (uso questo termine perché è questo davvero importante, mentre la coerenza formale risulta importante soltanto quando abbiamo già stabilito un ponte tra questa e l’esistenza o meno di certi modelli). Se affermo che non è possibile che ci sia un inizio senza fine, come fai a dimostrarmi che non è vero quello che affermo e che invece questo è possibile? Mi descriverai ad esempio i numeri interi minori o uguali a zero ordinati usualmente, ma resterai sempre ad un livello linguistico senza potermi mostrare che quello di cui parli ha una qualche consistenza, cercherai di convincermi facendomi osservare un numero finito di numerali magari dicendomi poi ad un certo punto “e così via” oppure usando i puntini sospensivi, ma in fin dei conti non riuscirai effettivamente a mostrarmi un esempio di quello di cui stai parlando e perciò esibire un modello. Un inizio con una fine li posso osservare, i vagoni di un treno ad esempio, oppure a livello ideale le lettere dell’alfabeto, e perciò ho buoni motivi per credere che qualcosa del genere sia possibile, ma che sia possibile che ci sia una fine senza un inizio, dopo svariati tentativi di mostrarmelo, non potrai fare altro che farmelo assumere esplicitamente e chiedermi di accettare che esista una tale struttura. In conclusione o assumi che l’insieme dei numeri interi esiste o devi assumere altri principi ancora più forti che già presuppongono l’esistenza di un’infinità di enti (ma era proprio questo che veniva contestato, l’esistenza di un’infinità di oggetti anche ideali) rendendo circolare e quindi inefficace l’argomento. Secondo me non puoi tirarti fuori dall’acqua con tutto il cavallo tenendoti per i capelli: stai assumendo la possibilità dell’esistenza di qualcosa (che matematicamente si traduce nell’esistenza effettiva di certe strutture) e non disponi di prove per sostenerlo. Per qualcuno infinito implica impossibilità (cioè le collezioni infinite non sono date in nessun senso) e secondo me questo dal punto di vista razionale è accettabile: è una diversa teoria del possibile ed è sullo stesso piano delle altre. Certo poi conseguentemente non potranno esistere proprio tipi diversi di infinito visto che non potrà esistere alcun esempio di collezione infinita e nemmeno un’infinità di enti. Secondo me questi due punti di vista metafisici contrapposti finiranno sempre con il coesistere senza che uno dei due possa mai avere definitivamente la meglio sull’altro, io sono arrivato a questa conclusione e resto della mia idea: non mi va di farmi imbrogliare da trucchi linguistici (da puntini sospensivi e stratagemmi del genere). Siccome alcuni utenti hanno parlato di intuizionismo mi farebbe piacere se qualcuno di questi mi consigliasse un buon testo introduttivo in italiano sull’argomento.

Un saluto a tutti