ciao antares
io credo, leggendovi, che il problema sia nella definizione di "ente matematico".
Io ho cercato di capirci qualcosa ma senza l'ausilio della matematica stessa credo sia una impresa quasi impossibile.
R. Penrose (matematico) divide il mondo in tre settori distinti: "mondo matematico platonico" - "mondo mentale" - "mondo fisico".

Ora, qualora tu volessi semplicemente descrivere un ente matematico ad un profano senza ricorrere alla matematica stessa, e conseguentemente la sua relazione con il mondo fisico e mentale (ammesso che tu sia d'accordo con Penrose) come lo rappresenteresti?

Sperando, chiaramente, che sia una domanda abbordabile per un forum.

ciao

Per chi fosse interessato questa è la costruzione che, a partie da un insieme, genera la “struttura” algebrica che permette di definire una retta.
Dapprima in un insieme si inserisce una legge di composizione t associativa a dx e a sn, ottenendo un monoide o semigruppo.
Qualora t possegga elemento neutro si ottiene un gruppo.
Se t è commutativa si ottiene un gruppo abeliano e se t è + il gruppo abeliano si definisce gruppo abeliano additivo.
Qualora su questo gruppo abeliano additivo esista la topologia compatibile con le operazioni di gruppo, ciò che si ottiene è un GUPPO TOPOLOGICO, primo elemento del nostro costrutto, contenente i cosiddetti “vettori”.
Ora nel monoide si definisca un operazione di prodotto, ottenedo un anello.
Qualora l’anello, privato dell’elemento 0 (zero) è sottogruppo del semigruppo moltiplicativo dell’anello, si parla di corpo, e se il corpo privato dello zero è abeliano si parla di CAMPO.
Infine un insieme che abbia come modulo un gruppo topologico e come prodotto esterno continuo un campo, si definisce Spazio Lineare Topologico.
Questa è una struttura del tutto generica (ad es lo spazio euclideo n-dimensionale è uno spazio lineare topologico), in cui una retta non è altro che l'insieme dei punti rappresentati dal prodotto scalare tra un elemento dello spazio lineare topologico (ovvero un vettore) ed tutti gli scalari appartenenti al campo.
Se vogliamo essere rigorosi, questa è la definizione più banale di retta…
Un caro saluto.

Il_Dubbio, stante l'orrore (peraltro rigorosissimo) che ho appena esposto, se dovessi descrivere ad un bimbo una retta gli direi di tracciare una linea e di immaginare di continuarla all'infinito...
Credo che sia inutile cercare di introdurre il concetto da un punto di vista rigoroso, proprio perchè il punto di vista rigoroso comporta conoscenze profonde incomprensibili ai più.
Ricordo un vecchio insegnante di analisi che, ad uno studente che non si era dimostrato sufficientemente abile chiese di traccira una retta.
Quello studente tracciò una linea sulla lavagna, al che il professore affermò che quella non era una retta.
Lo studente uscì dalla lavagna e, sempre più perplesso, disegnò la linea avanti ed avanti fino a giungere alla porta.
A quel punto l'insegnante affermà che quella che aveva disegnato non era una retta e che quindi poteva anche prendere le sue cose ed andarsene via...
Credo che ognuno di noi debba riconoscere i suoi limiti...
La retta è un concetto semplice da immaginare, cercare di introdurla a partire da ragionamenti assurdi è tempo sprecato...
Sempre secondo me...

Caro Antares,

suppongo che il maestro siasi indignato, perché la line retta definita dalla geometria non ha principio né fine, ché se li avesse non sarebbe una linea retta, ma un segmento di linea retta.

Per altro, anch'egli errò, chiedendo che fosse disegnata una linea retta, perché il discepolo avrebbe ben potuto intendere che la linea retta da disegnare non fosse quella perfetta definita dalla scienza, ma un esempio che le si approssimasse in qualche modo.

D'altronde, se quel maestro avesse voluto essere rigoroso, non avrebbe dovuto né scrivere né disegnare alcunché né sulla lavagna né sui libri, considerando che non si dica un cerchio, un angolo od un triangolo, ma neppure un numero scritto, corrisponde perfettamente agli enti pensati, oggetto delle scienze matematiche:
"privilegia ne inroganto" ammonivano gli antichi.

Perché dovremmo concedere privilegio a numeri, cerchi, angoli, triangoli, negando il medesimo diritto alle linee rette ?.

Anakreon.

Caro Sumina,

annoti:

"dire che un punto è un punto, "non ci dice molto" , ma ci dice pero' che A=A, e se non ci fosse questo concetto auto-referente di base (che possiamo considerare come la piu' semplice delle definizioni ricorsive/autoreferenti), non potrebbe esistere nessuna scienza "esatta" (matematica,geometria, logica, etc.)".
Come si fa dunque a dire che è inutile?"

Ma questa non è una definizione d'alcunché:
è semplicemente il principio d'identità, che non sta solo, come Tu stesso noti, a fondamento delle scienze, ma anche d'ogni conoscenza, anzi, d'ogni dizione umana.

E veramente, se negassimo quel principio, per cui una cosa è sé stessa, e gli altri principii supremi della ragione, neppure potremmo proferir verbo significante, anzi, forse neppur potremmo pensare qualche cosa di certo:
i nostri pensieri sarebbero solo un sogno fumoso ed evanescente.

Ma definire qualche cosa, non è affermare che quella cosa è quella cosa:
per far questo è sufficiente indicarla col dito.

Definire una cosa significa penetrarne l'essenza, separandola dagli accidenti, e dichiararla altrui, affinché possano intendere di che trattiamo.

Anakreon.

[/quote]

Non hai risposto alla mia domanda,perciò te ne faccio un'altra:
Cosa intendi per comprensibile? Una retta è comprensibile in che senso?

ciao

Eh,eh, Anakreon, e proprio questo il "punto"....e la ragione per cui Antares non mi capisce.

Per me definire non vuol dire costruire, ma semplicemente dichiarare, quindi quando definisco una retta, non mi interesa affato che non stia dicendo anche quali sono tutti i punti la formano, (o come dice Antares, "genera dei punti (che appartengono alla curva) .... ma non non genera la curva", cioe' tutti i punti).

E perchè dovrei generare qualcosa?
Non mi interessa, penetrarne l'essenza, poi....

Generare, penetrare......
Non è forse per questo che le definizioni autoreferenti incutono tanto timore? (naturalmente sapientemente nascosto)

E non e forse per la stessa ragione, che una geometria in cui le curva sia definite solo in base a se stesse, sia oscena il solo pensarla possibile?


Se si leggesse tra le righe di cio' che è stato scritto, si capirebbe come la matematica è piu' (molto piu' di quanto non si sospetti) figlia della natura umana, e della sua condizione, tesi che del resto è espressa in Da dove viene la matematica?, che non una scienza veramente astratta, come si continua a sostenere.

Ci pensarenno le donne a fare cio' che agli uomini incute tanto timore.

Saluti

Non hai risposto alla mia domanda,perciò te ne faccio un'altra:
Cosa intendi per comprensibile? Una retta è comprensibile in che senso?

ciao[/quote]

Il Dubbio, se devo spiegare una retta ad un bambino gli dirò di considerare una sua matita, di pensarla sottile sottile e di prolungarla all'inifinito in ambedue le direzioni.

Se devo spiegare una retta ad uno studente liceale gli dirò di considerare come cosa già definita il piano cartesiano con i suoi begli assi e quindi gli dirò che ogni retta è definita da un'equazioned del tipo ax+by+c=0.

Se debbo parlare ad uno studente universitario dovrò partire dal banale concetto di insieme e costruirò il contesto mediante assiomi come riportato nella mia di ieri alle 15.57.54.
Quella costruzione permette di definire una retta semplicemente come il prodotto tra un vettore ed un insieme di moduli...

Spero di averti risposto.

Gentile Sùmina, ho grande considerazione delle donne e delle loro capacità e sono assolutamente convinto che la nostra società, oggi, le valorizzi troppo poco...
Ma se un uomo o una donna mi mostra due serie una di tutti 1 ed una di tutti 2 ed afferma: " questa è una retta" (ed insiste anche di aver ragione...), ahimè...
Di più se questo uomo o questa donna prima afferma che il suo ragionamento non può essere compreso senza un grafico, poi quando gli si fa notare che il grafico disegna una serie di punti scollegato e non una curva od una retta, afferma che non è il grafico che conta, ma la serie numerica, poi quando gli fai notare che la serie numerica è una serioe numerica identica e quindi non non ha senso sorride nervosamente...

Circa l'astrattezza o meno della matematica ti considero di andare a leggere qualcosina sullo thread zero ed infinito...

Non da ultimo, ti consiglierei, se vuoi davvero imparare qualcosa, di rifuggire wikipedia. Sopratttutto la versione italiana è zeppa di errori ed imprecisioni.
Comprati piuttosto un buon libro sull'argomento ce ne sono tanti...

Infine ti invito a considerare il fatto che, per crescere, è buona cosa partire dalla banale considerazione della nostra ignoranza. Quando c'è qualcuno che affronta la matematica in chiave filosofica (e lo sa fare) non contrasto con lui, ma chiedo, ascolto, taccio, imparo... una buona sequenza per chi voglia crescere davvero... Non trovi?

Un caro saluto.

Ciao antares, il punto che mi preme forse è troppo sottile, nella prima pagina nexus6 ha espresso così il suo concetto:

<<Insomma un punto, così come una retta non li puoi “disegnare” e definire tramite altri concetti più semplici, ma solo immaginarli intuitivamente, comprenderli visceralmente, creando solo dei modelli per rappresentarteli nella mente (che ne so, un filo monodimensionale esteso all’infinito, per esempio); sono poi questi concetti primitivi che ti permetteranno di definire tutti gli altri enti più “complessi”.>>

Ora la mia domanda non so se è pertinente per un matematico, ma consiste in questo (ammesso che nexus6 avesse ragione, ma il tuo esempio del docente con l'alunno non molto sveglio mi fa capire come siano vicini i due approcci): quale differenza potrebbe esserci nella "conoscenza" di una retta se essa è solo intuizione? Chiunque potrebbe intuire una retta (anche un bambino con l'esempio della matita prolungata in ambe le parti all'infinito),se è quella l'essenza della retta, oppure la "definizione" (che tu puoi dare come matematico) rende il concetto di retta qualcosa di ancora piu intuibile?

Io credo che l'uomo sia capace di queste intuizioni, astrazioni, poi può passare anche nella maggiore definizione di una astrazione, ma sempre astrazioni sono, non hanno nulla a che vedere col mondo fisico, per cui dice bene Anakreon(secondo me): <<Ma definire qualche cosa, non è affermare che quella cosa è quella cosa:
per far questo è sufficiente indicarla col dito.>>

Indicare con il dito può anche significare "intuirla con la mente".
Quindi la matematica, che pur si basa su dimostrazioni con il compasso, altro non è (secondo me, ma giustamente tu puoi non essere d'accordo) che il prolungamento della mente umana, essa stessa autoreferenziale come tutti i concetti che non possono essere spiegati se no riferendosi a se stessi.
ciao