Se poi ci ragioniamo ancora un poco arriviamo alla conclusione che il raggio e la circonferenza sono in rapporto costante legato da pi-greco. Allora noi non potremo mai conoscere esattamente contemporanemente il raggio e la circoferenza di un cerchio. O l'una o l'altra! Ragion per cui non è possibile disegnarle entrambe con esattezza...

Ho letto l'articolo, ma credo che "qui", per rettificazione, venga intesa la costruzione di un quadrato di area equivalente "a partire" da riga e compasso.
Mi spiego meglio: credo che gli autori citati intendessero "riportare la circonferenza su di una retta", costruendola "a distanza" dal cerchio stesso.
Non mi spiego altrimenti il problema, perchè, ripeto, la circonferenza può essere riportata, ma, evidentemente, non "direttamente" e "a distanza", semplicemente facendo rotolare il cerchio lungo il piano e fissando il segmento che si interpone tra due successivi passaggi di uno stesso punto della circonferenza sul piano stesso.
L'approssimazione sarà quella legata all'errore umano, entro certi limiti, ed a problemi quantistici nell'ultrapiccolo.

Credo che il problema venisse inteso come "riporto" indiretto di una "misura": la qual cosa, con riga e compasso è impossibile, ma, col calcolo, è possibile solo per approssimazione.

Faccio un esempio.
Il quadrato che si ottiene con la costruzione che ho riportato, può essere misurato come si vuole, ma dalla misura del suo lato, qualsiasi unità di misura si utilizzi, sarà "impossibile2 procedere al calcolo del raggio del cerchio di area equivalente.
Tuttavia, operando in contiguità del quadrato stesso e mediante il procedimento inverso, sarà possibile costruire il cerchio.
Una volta che il cerchio sia stato disegnato, tuttavia, sebbene la sua area sia perfettamente identica a quella del quadrato, non sarà possibile trovare alcuna unità numerica di misura nell'ambito della quale possano essere espressi sia il lato del quadrato, sia il raggio del cerchio.

Il paradosso vale anche per il ben più semplice e banale rapporto tra circonferenza e raggio: e la questione, se ci riflettete, vale anche per la circonferenza ed il raggio, quando essi si trovano "ancora" nell'ambito del cerchio stesso.
Ipotizziamo, infatti, di costruire il cerchio, anzichè mediante un semoplice compasso, attraverso la costruzione della sua curva sul diagramma cartesiano.
L'equazione che caratterizza la circonferenza, infatti, è piuttosto semplice ed intuitiva.
Noi sappiamo, infatti, che essa può essere descritta come "quell'insieme di punti su di un piano i quali sono equidistanti da un unico punto dello stesso al quale diamo il nome di centro".
Quindi, se noi diciamo che ciascuno di questi punti (i quali sono tutti definiti da due semplici coordinate, "x" e "y") ha la caratteristica di avere la distanza "d" dal centro come una costante, sarà semplicemente il teorema di pitagora a consentirci di scrivere immediatamente l'equazione:
x^2 + y^2 = d^2.
Infatti, puntando il centro del cerchio nel punto di intersezione dei due assi cartesiani, sarà evidente che, per ciascun punto della circonferenza, varrà il fatto che la sua distanza "x" dall'asse delle ascisse e quella "y" dall'asse delle ordinate, non sono altro che i cateti di un triangolo rettangolo il quale ha per ipotenusa proprio il raggio del cerchio.
Giusto?
Dunque, semplicemente svolgendo l'equazione, noi potremo tracciare sul piano la circonferenza: sarà un lavoro da certosini, ma alla fine, avremo ottenuto tutto ciò che vogliamo del cerchio, pur senza l'uso del compasso. Ma, pur così facendo, nessuno dei valori numerici che noi avremo utilizzato per definire le coordinate di ogni singolo punto potrà servire per definire "contemporaneamente" la misura del raggio e quella della circonferenza.

Tuttavia, il problema che pongo io è ancora più paradossale: perchè, mentre nel caso del rapporto raggio/circonferenza noi potremo, col calcolo, "approssimarci" quanto più vogliamo, nel caso del lato del quadrato l'operazione è, semplicemente, impraticabile.

I passaggi successivi, precedentemente omessi, della dimostrazione, sono i seguenti.
1) Si consideri il triangolo rettangolo inscritto nella semicirconferenza avente per diametro il lato più lungo del poligono che abbiamo costruito.
2) Si costruisca il quadrato di quel diametro, ora divenuto l'ipotenusa del triangolo rettangolo di cui all'1).
3) Ora, all'interno di tale quadrato, si disponga il quadrato della semirconferenza originaria (che, ora, è il quadrato della proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa).
4) Quindi, si costruisca, sempre all'interno di quel quadrato "maggiore", il quadrato del raggio originario (ora divenuto la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa).
5) Ora, si vedrà subito che, nell'area rimasta libera dentro il quadrato dell'ipotenusa, sono contenuti esattamente due rettangoli come quelli originari: ricordiamo che ciascuno di quei rettangoli è stato costruito dal cerchio originario e, quindi, gli equivale.
6) Ma, considerando il triangolo rettangolo costituito dalla semicirconferenza del cerchio originario e dal lato del quadrato che supponiamo equivalente al cerchio (in esso divenuti rispettivamente, cateto maggiore e minore)e, infine dal cateto maggiore del triangolo rettangolo di cui all'1) (qui, esso è, ora, l'ipotenusa: per il teorema di pitagora diremo che la somma del 3) più il quadrato che supponiamo equivalente al cerchio equivale al 2) meno il quadrato del cateto maggiore del triangolo rettangolo di cui all'1.
7) Con uguale procedimento, applicato al triangolo rettangolo più piccolo interno all'1) : la somma del 4) più il quadrato che supponiamo equivalente al cerchio equivarrà al 2) meno il quadrato del cateto minore del triangolo rettangolo di cui all'uno.
8) Ma, per il teorema di pitagora, noi sappiamo che il 2) è equivalente alla somma dei quadrati dei due cateti, citati in 6) e 7).
9) Conseguentemente, i due rettangoli di cui al 5) sono necessariamente equivalenti ai due quadrati che noi supponiamo equivalenti al cerchio.
Come volevasi dimostrare.

...ok...la domanda sara' come procedere,se procedere, una volta trovandosi davanti ad un paradosso?...era questa, in verita',la natura della domanda?...


,klara

Vediamo di fare un punto della situazione. Tu semplicemente dici che disegni ciò che non si può misurare. In effetti abbiamo un cerchio, la cui area può essere solo approssimata e da lì ricavi un quadrato la cui area è approssimata. Tu dici: freghiamocene della misurabilità, ma geometricamente si può disegnare! In effetti avremo un quadrato nella cui area è "contenuto" un pi-greco.
A questo punto però il dubbio diventa: è un quadrato o sembra un quadrato?
Secondo me lo sembra solo...

Sulla quale sto riflettendo.
Ma credo che la spiegazione potrebbe essere la seguente: naturalmente, la espongo al vostro giudizio e vi chiedo cosa ne pensiate.
Dunque: l'impalcatura citoarchitettonica della nostra corteccia visiva rende evidenti alcune "elaborazioni" che quella parte della nostra corteccia cerebrale opera sui dati sensoriali, peraltro già in parte formattati, che la raggiungono.
Vi sono interrelazioni anatomiche tra le cellule le quali "producono" automaticamente la comparsa di angoli, di inclinazioni, di segmenti rettilinei, di curve costanti, etc.
Insomma, il modo in cui il nostro pensiero si rappresenta le immagini è "forzato" in qualche modo alle leggi euclidee.
Le procedure del calcolo, invece, occupano aree corticali più prossime e frammiste a quelle che organizzano i suoni: forse non per caso, infatti, la maggior parte dei matematici posseggono anche un certo intuito musicale.
Ora, la mia supposizione è la seguente: forse questi paradossi mettono in evidenza due "modalità" distinte e soprattutto "formalmente equivalenti" (ciò significa: poste sullo stesso piano dell'organizzazione della coscienza) di organizzare secondo le più sofisticate astrazioni i dati sensoriali.
Queste due modalità, essendo diverse, ma ugualmente sofisticate, laddove mostrano intraducibilità reciproche, rendono evidenti delle "differenze" che non sono riducibili.

Nella mia dimostrazione ho volutamente evitato di introdurre i teoremi di Euclide: l'ho fatto perchè questi ultimi comportano l'introduzione di rapporti "proporzionali", i quali costituiscono di già delle procedure di "calcolo".
Invece il teorema di Pitagora è puramente "visivo" e può essere impiegato senza l'uso di calcoli.

Non te la prendere a male, caro Weyl, per ciò che sto per dirti, ma se ti leggesse un professore universitario che conosco io, si butterebbe a terra dalle risate . Ti dico già in partenza che non ho nemmeno letto tutto il tuo post nè ciò che ti hanno scritto gli altri, mi permetto di criticare l'approccio, dal vangelo di questo prof.

Per lui era sbagliato ogni tentativo di capire qualcosa, anche legato alla geometria, con disegnini e figure. Era convinto, a questo proposito, che era meglio iscriversi ad esempio in matematica uscendo dal classico anzichè dallo scientifico, con la logica che se esci dal classico non sai niente di matematica quindi non hai la mente sporcata di sciocchezze, come quelli dello scientifico, diceva lui. E fioccavano battutine di sfottimento a tutto spiano di fronte a ogni definizione o a ogni tentativo di risolvere qualche problema con disegnini e figurine e non con MADRE MATEMATICA.
Rette parallele: due rette che non si incontrano mai, due rette che non hanno punti in comune, ecc...

DEf da ridere per lui, che ti chiedeva intanto: " mi definisca che cosa è un punto ", tanto per cominciare.
Ammesso che tu riuscivi a trovarla una qualche def, lui ti replicava: " e come facciamo a vedere tutti i punti di due rette per vedere quanti punti hanno in comune?
E tu restavi come un idiota.

Lui invece " le rette parallele " te le definiva usando la matematica e ti diceva: " considera le equazioni delle singole rette, fai un bel sistema e analizzi la soluzione del sistema: se il sistema non ha soluzione nel campo dei reali allora le rette sono parallele", e così via.

Tornando al cerchio e alla circonferenza, sai cosa è che non va? Il modo in cui ci hanno spiegato cosa è la circonferenza e l'aria del cerchio.

Circonferenza: luogo dei punti che soddisfa la seguente equazione

x^2 + y ^ 2 = r ^ 2

Cerchio, ossia quella che comunemente chiamiamo area :

luogo dei punti che soddisfano la seguente dis- equazione

x^2 + y ^ 2 < r ^ 2

Se parti da questo approccio, il problema che ti poni non ha neanche motivo di esistere.

Spero di essermi spiegata abbastanza. Secondo il prof ogni problema va risolto con una def di tipo matematico, se fai ragionamenti con disegnini, aree, e cose varie arrivi a cose o inspiegabili o irrisolvibili, invece con la matematica tutto ha una spiegazione e una soluzione.

Se avrai la compiacenza di leggere anche gli altri "post" da me inviati, capirai perchè ho inserito l'argomento in "Filosofia" e non in "Scienze".
Al tuo professore ribatterei che, se Riemann avesse analizzato le questioni geometriche con criteri rigorosamente analitici, non esisterebbero i fondamenti matematici che resero possibile l'impalcatura teorica della relatività generale.
Il mondo è pieno di personaggi di questo genere, i quali pretendono di fare di una prospettiva sul mondo la vsione complessiva ed esaustiva del mondo stesso.
Si tratta di un punto di vista rigorosamente "ideologico", certamente rispettabile, ma alquanto superato dai tempi.
Leggendo tutto, vedrai che le equazioni analitiche del cerchio le avevamo già considerate e che la "questione", che è filosofica e non matematica, verte proprio sulla intraducibilità di una metodologia conoscitiva sull'altra: ossia sullo scandalo di non poter fare, in alcun modo, "precedere", sotto il piano ontologico, due approcci gnoseologicamente equivalenti.

Sul tentativo, inoltre, di cercare una spiegazione in termini neurofisiologici, della questione.
Ipotesi che, naturalmente, ne apre molte altre di questioni: perchè c'è da chiedersi "perchè" l'impalcatura citoarchitettonica della nostra corteccia occipitale visiva sia organizzata in modo da formattare in un modo rigorosamente euclideo i dati sensoriali immediati visivi che le afferiscono.
Ed entro che limiti, naturalmente, questo funzionamento sia evoluzionisticamente "efficace".

Lascerei, dunque, con sua buona pace, a scompisciarsi dalle risate codesto "professore": buon pro gli farebbe.
Infine, se c'è la salute, c'è tutto.

Comunque, per chiarezza, Weyl, guarda che il professore in questione non è un professorino da due soldi, è uno che ha scritto libri adottati in tutta Italia. Lo dico per chiarezza, perchè tu non pensi che sia una mezza calzetta, è una specie di luminare della matematica. Poi tu sei libero di contestare il suo modo di pensare quanto vuoi e argomentare di ciò che vuoi, ti ripeto lo dico per essere chiari.

Mi è venuto spontaneo scrivere quanto detto perchè tu mi hai proprio fatto venire in mente questo professore.

Penso che non andrò a leggere tutti gli altri post in questione perchè non ho voglia in questo momento di barcamenarmi anche su internet in cose troppo impegnative, di cui è piena la vita reale.

Buona conversazione, senza di me

A me interessa di più questo argomento, però senza troppi termini di specialità perché ….mi fa girare la testa. (tonda )
I suoni e la matematica.
Visto che si vive in illusione che cosa induce la mente a trovare tante forme diverse dalla perfezione, cioè diverse dal cerchio? ...frammenti di verità ...
Interessante potrebbe essere l’analisi in frequenza dei diversi tipi di segnali, ma alla fine sempre si fa riferimenti al nostro caro pi greco

Io leggo con molto interesse i vostri post e come abbondo di pensieri sinusoidali non posso fare delle affermazioni categoriche…

E' come dire: andiamo oltre alla rappresentazione grafica, essa non rappresenta l'immagine esatta, è solo l'approssimazione di quel che NOI potremmo vedere se solo lo volessimo.

Grazie Edali

Mi sono divertita a seguire i disegni esposti da weyl.
La questione filosofica? bho! già espressa