La domanda potrà apparire bislacca... Non è così. Due insiemi vuoti, infatti, possono corrispondere a definizioni differenti. Per esempio: "l'insieme di tutte le parole di origine cinese mandarina nel latino del I secolo" e "l'insieme di tutti gli uomini viventi nati nell'anno 1863".
Ora, supponiamo che codesto insieme di tutti gli insiemi vuoti contenga un numero infinito di elementi. Possiamo dimostrarlo? Vediamo... Innanzitutto valutiamo se ciò è possibile. Come possiamo enumerare gli insiemi vuoti, se non per ciò che li definisce? Se lo osserviamo per la sua struttura, infatti, ogni insieme vuoto è identico a se stesso, dunque indistinguibile in ogni sua replica. Potrebbe essere distinto per la sua collocazione spazio-temporale, ma un insieme vuoto, in quanto privo di elementi, non può collocarsi con precisione in alcun punto del diagramma spazio-tempo.
Dunque, pare che solo le definizioni che lo individuano possano differenziare un insieme vuoto da un altro insieme vuoto.
Ma ogni definizione è costituita da parole, simboli e relazioni tra queste. Possiamo ritenere che l'insieme di tutte le parole di tutte le lingue, presenti, passate e future sia infinito? Direi di no: occorrerebbe, infatti, un tempo infinito per elaborarle. Lo stesso vale per l'insieme dei simboli e per quello delle relazioni. Dunque il prodotto di questi tre insiemi, per quanto contenente un numero immenso di elementi, non potrà mai essere infinito: nessuno dei suoi costituenti lo è.
Se ne deduce che le definizioni passate, presenti e future di tutti gli insiemi vuoti non possono essere infinite: e, quindi, anche questi non saranno infiniti.
Ora, tuttavia, supponiamo che gli elementi di questo insieme di tutti gli insiemi vuoti contenga un numero definito di elementi e che questo numero sia N. Esisterà, allora, necessariamente, l'insieme di tutti gli insiemi che contengono N elementi, insieme di cui il nostro sarà uno degli elementi. A questo punto prendiamo uno qualsiasi degli altri elementi di tale insieme. Esso, per definizione, conterrà un numero N di elementi. Giusto? Certo, inevitabile. Chiamiamo questo altro insieme "Alfa". Ora sappiamo che Alfa contiene tanti elementi quanti ne contiene il nostro insieme di tutti gli insiemi vuoti. Sappiamo anche che gli elementi contenuti in Alfa rispondono, neessariamente, ad una definizione (es. "tutti gli esseri viventi mai comparsi nell'universo", oppure "tutti i protoni di Andromeda", etc.).
Sappiamo, infine che tutti gli insiemi vuoti del nostro insieme rispondono ad una definizione possibile. Dunque ne risulta che, per ogni altro insieme di N elementi, esiste, nel nostro, un insieme vuoto che corrisponde alla negazione della definizione di quello, per esempio: "tutti gli esseri viventi mai comparsi nell'universo, se nell'universo non vi fosse mai stata vita", "tutti i protoni di Andromeda dopo aver interagito con lo stesso numero di antiprotoni".
Risultato: il nostro insieme "deve" contenere, tra i suoi N elementi, l'antitesi inevitabile di tutti gli altri insiemi di N elementi. Ne consegue, quindi, che esso o contiene lo stesso numero di elementi dell'insieme di tutti gli insiemi di N elementi, oppure ne ha di più.
Supponiamo che Alfa possieda (N-1) elementi: esso apparterrà, allora, all'insieme di tutti gli insiemi che contengono (N-1) elementi. Tale insieme, chiamiamolo Beta, conterrà dunque Alfa che contiene il nostro. Poichè possiamo ripetere lo stesso ragionamento appena fatto, allora dovremo necessariamente individuare un successivo insieme Gamma, insieme di tutti gli insiemi di (N-2) elementi, che contiene Beta che contiene Alfa che contiene il nostro. Procedendo per un numero N di volte, quindi troveremo un insieme vuoto che dovrebbe contenere la serie completa che conduce ad Alfa che contiene il nostro: tale insieme vuoto, infine dovrebbe contenere se stesso; tutti gli altri dovrebbero, infine, ugualmente annullarsi, coincidendo, in ultima analisi, con gli elementi in essi contenuti... Ma se un insieme è vuoto non può contenere se stesso, in quanto, in tal caso, conterrebbe almeno un elemento.
Supponiamo, allora, che Alfa contenga esattamente N elementi: in tal caso conterrebbe se stesso e il nostro conterrebbe un elemento che lo annulla. Ma se lo annullasse annullerebbe anche se stesso, in quanto contenuto in Alfa, e dunque coinciderebbe con uno dei suoi elementi, poichè sarebbe un insieme vuoto. Ma, per essere vuoto, conterrebbe almeno l'elemento con cui coincide.
Insomma... Mi fermo qui. Lascio alla buona volontà ed alla fantasia di tutti di procedere oltre...!

commetti un errore di fondo..
2 insiemi sono considerati lo stesso quando hanno gli stessi elementi, indipendentemente dalla definizione.
Dunque la risposta alla tua domanda iniziale è 1, ovvero l' insieme vuoto.

Sono d'accordo con il post precedente. Chiacchierando di più: considerando che accettiamo ZFC, in tali assiomi vi è l'assioma dell'insieme vuoto, definito come insieme di nessun elemento, e l'assioma di estenzionalità, ovvero due insiemi sono uguali se e solo se contengono gli stessi elementi (corrispondenza biunivoca fra gli elementi degli insiemi).
Supponiamo di avere due insiemi vuoti: per l'assioma di estenzionalità, vi è corrispondenza totale per via della loro assenza di elementi. E poichè non vi è alcuna differenza fra i due insiemi, questi insiemi sono lo stesso insieme. Per induzione, qualsiasi insieme vuoto è uguale a qualsiasi insieme vuoto, il che significa che c'è solo un insieme vuoto. Perciò non si può parlare di "insieme di tutti gli insiemi vuoti", visto che non c'è più di un insieme vuoto. La domanda è sintatticamente scorretta.

@ Daniele Florian & Alexis Honlon:

Potremmo restringere l'ambito del topic ai soli sistemi privi dell'assioma di estensionalità. Perché no? Diremmo semplicemente che quanto descritto da leibnick1 si verifica solo in assenza di tale assioma e potremmo quindi proseguire la discussione.

Complimenti, Aristippo. Grazie. L'assioma di estensionalità tornerà paradigma, se porteremo avanti la discussione. Come ognuno sa il paradigma è una convenzione logica, l'assioma una evidenza incontrovertibile. Io penso che: se qualcuno ritiene che l'"estensionabilità" è un assioma e non un paradigma, potrà dimostrarlo per assurdo in qualsiasi modo lo ritenga logico, seguendo questa discussione. Ma dovrà accettare il nostro giudizio, critico e uniforme, per quanto benevolo.

Con la parola Insieme si intende in matematica un qualunque gruppo (o collezione) di oggetti per cui sia sempre possibile conoscere se un qualsiasi oggetto appartiene oppure no al quello stesso gruppo.
Ora, tutto e' logicamente condivisibile nella teoria degli insiemi fuorche' la proposizione che definisce l'insieme vuoto come quel solo insieme che non contiene elementi; visto che un insieme e' per definizione una collezione di oggetti, non si capisce come si possa definire una collezione come una non collezione...un insieme come un non insieme...come il sapone-non sapone, il gel-non gel,...

Ed effettivamente lo è!
Ed anche non vedo perchè in questi tempi di crisi e di decrescita del PIL,ecc... dovremmo sprecare le nostre energie, intelligenze e capacità creative in problemi a tal punto inconcludenti: è immorale!


P.S.:
Del resto la soluzione è anche molto facile: non capico perchè l'hai fatta tanto lunga: dev'essere un vizio dei filososfi o dei matematici puri.
Comunque Di insiemi di elementi privi di elementi non ce ne sono!
Infatti: se sono insiemi devono essere insiemi di qualcosa...non di niente!
Lapalissiano no?

@Aristippo di Cirene:

certamente si può pensare di farlo, ovvero pensare un sistema di assiomi per la teoria degli insiemi senza l' assioma dell' estenzionalità, ma bisogna definire cosa intendiamo dire. Due insiemi, se hanno gli stessi elementi, non sono uguali? Oppure, per essere uguali, avere gli stessi elementi non sufficiente per parlare di identità? Oppure qualcos'altro? Senza poi considerare che dobbiamo dimostrare che un sistema senza assioma di estenzionalità non sia contraddittorio.

@and1972rea:

Sì, posso essere d'accordo con la sua definizione di insieme. Va però ricordato che il concetto di insieme è considerato primitivo e semplice, nell' ambito matematico: primitivo, perchè teoricamente non suscettibile di una definizione vera e propria; semplice, perchè non composto da altre parti. Quindi quando parliamo di insieme è come se dicessimo sempre "ma lo sai cos'è" - al massimo cambiamo quello che diciamo per farci capire. Comunque, personalmente proporrei una cosa del genere, per poter capire cosa sia un' insieme: un' insieme è una intenzionalità di una serie estenzionale di elementi.

Genericamente, l' insieme vuoto viene inserito come insieme senza elementi, ovviamente non è un insieme non insieme. Ciò non di meno, l' insieme vuoto è un' estenzionalità "senza alcun elemento" cui segue un intenzionalità di nessun elemento. In tal senso, non vi è alcuna contraddizione nel concetto di insieme vuoto. (In genere l' insieme vuoto lo usiamo nella vita quotidiana quando diciamo cose tipo "non c'è nessuna papera" - l' insieme delle papere non ha alcun elemento; oppure, se pensate che i numeri siano insiemi, l' insieme vuoto è lo zero).

@ Ulysse:

Stessa cosa di commento scritta sopra.

In senso lato, mi dovreste dire, quando non accettate l' assioma di estenzionalità, cosa avete in mente di fare. In pratica: in quale sintassi ritenete che la domanda ad inizio post sia derivabile e che sia una fbf?

In senso lato, comunque:

Supponiamo una versione forte della proposta, ovvero due insieme non sono uguali se hanno gli stessi elementi. Prendiamo l' insieme x, composto da elmenti k,z,q... se accettiamo l' ipotesi, allora l'insieme x non è uguale all' insieme x, il che significherebbe che ogni insieme è diverso da se stesso, cosa che passa agli elementi dell' insieme: ogni elemento non è uguale a se stesso. Quindi un insieme non è uguale sè stesso - anzi: ci sono infiniti insiemi che hanno stessa estenzionalità ed intenzionalità che sono diversi fra di loro.

Appurato che non potete dimostrare che un' insieme è uguale a sè stesso vi chiedo: cosa pensate significhi che due insiemi sono uguali?

L'insieme di tutte le braccia sinistre di tutti i piloti di formula 1 e l'insieme di tutte le braccia destre di tutti i piloti di formula 1 contengono, probabilmente, lo stesso numero di elementi, Possiamo affermare che siano uguali e, dunque, che siano lo stesso" insieme?

L'assioma d'estenzionalità pone due insiemi equivalenti (sono lo stesso insieme) se e solo se hanno gli stessi elementi - non lo stesso numero di elementi. L' insieme dei bracci destri dei piloti della formula 1 e quello dei bracci sinistri, pur avendo lo stesso numero di elementi, come dice lei, non hanno gli elementi uguali. Un braccio destro non è un braccio sinistro, e viceversa. Quindi si tratta di due insiemi distinti.