“Per esempio non è possibile costruire un algoritmo che prende in input una proposizione aritmetica, e l'output dice se tale proposizione è un teorema (è vera), oppure no. Non esiste e non può esistere un algoritmo del genere, per Tarski, ma sopratutto per Goedel.

L'essere umano, invece, può con ingegno e fatica comprendere il significato delle proposizioni (cosa che un calcolatore non può fare, dato che esso calcola ciecamente senza considerare la semantica, e concentrandosi solamente sulla sintassi) e capire se sono vere o false. [qui ci si collega con l'esperimento della stanza cinese di Searle]”

Il fatto che un essere umano riesce a “calcolare” alcuni valori di una funzione che non è Turing computabile non dimostra che può “calcolare” ogni valore di questa funzione. Data una funzione che non è Turing computabile (per semplicità parliamo di funzioni unarie tra naturali) in corrispondenza di un qualsiasi numero naturale non nullo n esiste una macchina di Turing che riesce a calcolare i primi n valori valori della funzione sbagliando alcuni dei successivi. Gli esseri umani, anche se riescono a “calcolare” alcuni valori di una di queste funzioni, non fanno niente di più di quello che può fare anche una certa macchina di Turing. Il tuo è un argomento debole, io ti ho chiesto perché noi dovremmo riuscire a “calcolare” ogni valore della funzione non calcolabile (prendiamo come esempio la funzione che decide se una proposizione che verte sull’aritmetica elementare sia vera o falsa, come hai suggerito tu) ma non mi hai dato alcuna risposta convincente, affermi semplicemente che noi esseri umani riusciamo ad “eseguire questi calcoli” grazie al nostro ingegno, ma che significa? E’ come dire che siccome con l’ingegno e la fatica siamo riusciti a risolvere svariati dilemmi di un certo tipo, allora grazie all’ingegno ed alla fatica è sicuramente possibile per l’uomo risolvere ogni problema di questo tipo. Questo argomento secondo me non regge. Non sappiamo affatto bene come funziona la nostra mente e per riempire questo buco di ignoranza introduciamo una fantomatica facoltà di cui saremmo dotati, cioè l’"ingegno” che, ripeto, dovrebbe permetterci di risolvere magicamente ogni sorta di problema aritmetico elementare. Ma cos’è questo “ingegno”? E soprattutto perché dovrebbe permetterci di risolvere ogni problema aritmetico elementare?
Potrebbe ragionare allo stesso modo anche una scimmia che, dopo essere stata capace di dimostrare che la somma “1 banana + 1 banana” è uguale a “2 banane”, si convince che grazie al proprio ingegno può risolvere ogni sorta di problema aritmetico senza mai considerare la possibilità che la propria mente possa risultare estremamente limitata.
In conclusione non basta mostrare che un essere umano riesce a “calcolare” qualche valore di questa o quella funzione non calcolabile, bisogna mostrare che la sua mente per come è strutturata gli permette di “calcolare” ogni valore di qualche funzione che non è Turing computabile: alcuni valori corretti di una funzione che non è Turing computabile li può esibire anche una macchina di Turing, non è difficile mostrarlo.

“Ma prima, quando il matematico sta tentando di vedere se T è un teorema oppure no, non sta seguendo nessun algoritmo. La ricerca di una dimostrazione di T non è algoritmica!”

Questa è di nuovo un’affermazione che non è giustificata da nulla. Come fai a sapere che la mente del matematico non sta eseguendo alcun algoritmo anche quando tenta di vedere se T è un teorema? Se la mente del matematico potesse essere rappresentata perfettamente da una macchina programmata, il matematico andrebbe avanti e basta nella sua ricerca usando i dati a disposizione in modo equivalente al comportamento di questa macchina.

“Non è che i teoremi limitativi valgono sugli esseri umani, la strategia eventualmente è: dimostro che le macchine hanno un limite, e poi mostro come le persone possano superarli banalmente.”

Il problema è che, di questa strategia, è stata portata a termine sempre soltanto la prima parte: sono stati dimostrati solo i limiti di alcune macchine astratte ma non è stato mostrato mai perché la mente umana non dovrebbe avere questi stessi limiti. Possiamo inventarci ogni sorta di macchina astratta ed individuarne i limiti, ma poi non vedo questo che centri col funzionamento effettivo della mente: ogniqualvolta individuiamo dei limiti in certi sistemi meccanici di calcolo dovremmo affermare che la mente umana sicuramente può oltrepassarli?
Così come è sbagliato inferire che la mente umana necessariamente debba avere questi limiti (come hai fatto notare giustamente tu inizialmente), è sbagliato allo stesso modo inferire che necessariamente non debba averli.

“Be', se per prove/confutazioni porti l'esibizione o meno di un algoritmo che simuli qualcosa di umano, è ovvio che non potrai mai smentire la tesi che l'uomo non è un computer: o simuli tutto e arrivi a dire "l'uomo è un computer!", oppure rimani in alto mare e dici "non sappiamo nulla!".”

Quando non si conosce la soluzione di un problema si cerca di avvicinarsi a questa. L’avvicinamento non promette il successo, è soltanto un indizio. Certo potrebbe anche non portare a nulla ma è proprio per questo che ho detto alla fine che “la partita è ancora aperta”. Mi sembra azzardato dire "non sappiamo nulla" ogniqualvolta non conosciamo la soluzione esatta di un problema ma abbiamo raccolto molte informazioni ed abbiamo avuto successo nel risolvere svariati sotto problemi.

Io ho posto inizialmente soltanto due domande per avere dei chiarimenti:

1) Quale funzione possiamo calcolare che una macchina di Turing non può calcolare?

2) Concretamente cosa fa un essere umano quando ragiona attorno all’insieme delle parti per poter affermare che tutto questo non lo può fare (o simulare adeguatamente) anche un calcolatore?

Alla seconda domanda non hai risposto, per quanto riguarda la prima hai esibito soltanto un esempio di funzione non calcolabile ma non hai spiegato perché la mente di un essere umano dovrebbe riuscire a “calcolare” ogni suo singolo valore (hai detto soltanto che noi esseri umani ci riusciamo grazie all’ingegno ed alla fatica): di funzioni non calcolabili ce ne sono tante, ogni essere umano dovrebbe essere capace di “calcolare” ogni valore di ognuna di queste funzioni? Ma perché? E’ questo il punto che non è stato chiarito. Non puoi mostrare effettivamente che un essere umano “calcola” una funzione non calcolabile, perché dovresti mostrare un essere umano che produce un’infinità di singoli risultati esibendo per ognuno di questi una dimostrazione di correttezza, d’altronde alcuni valori “calcolati” correttamente da qualche essere umano non bastano a dimostrare una cosa del genere: l’unica cosa che puoi fare è elaborare un modello astratto di mente umana, metterlo alla prova sperimentalmente (non sarebbe necessario in linea teorica costruire qualche meccanismo fisico. anche se questo sicuramente semplificherebbe praticamente la sperimentazione), mostrare che è abbastanza simile a quello reale e poi infine dimostrare che questo tipo di sistema può riuscire a “calcolare” anche qualche funzione non calcolabile (non Turing computabile). Tutto questo non è affatto qualcosa di così semplice da poter essere esposto in un forum in poche parole, anche perché i vari passaggi sono tutt’altro che banali (cito quello che hai scritto "dimostro che le macchine hanno un limite, e poi mostro come le persone possano superarli banalmente").

Io onestamente credo che per rispondere a queste due domande bisogna cercare di comprendere come funziona il cervello e quindi la mente umana (cosa alquanto complicata) e non basta far ricorso all’informatica teorica oppure a qualche nostra vaga intuizione riguardo a dei concetti usati comunemente (ingegno, ragionamento...) che non appena vengano analizzati meglio finiscono col mostrare la loro inadeguatezza teorica. In conclusione se vogliamo sapere davvero come stanno le cose non possiamo far ricorso soltanto a delle conoscenze informatiche astratte perché non possiamo dedurre soltanto da queste come funziona la mente umana.

Epicurus io non sono né a favore e né contro l'idea che la mente umana possa essere rappresentata adeguatamente da dei modelli simili ad un calcolatore digitale, sto soltanto mettendo in discussione alcuni argomenti che hai usato inizialmente e che mi hanno lasciato perplesso. In fin dei conti sono d’accordo con te riguardo alla prima parte delle tue riflessioni, non è corretto usare la tesi di Church per mostrare che la mente umana funziona in modo analogo ad un calcolatore.

Ciao a tutti

Riguardo alla completezza della nostra mente, ti risponderò più sotto. Per quanto riguarda la tua critica sul mio “ingegno”, essa mi sembra troppo severa: non ho solamente detto “l’uomo ha l’ingegno e la macchina no”, senza spiegare nulla a riguardo. Ho parlato di come ragioni sul contenuto degli enunciati e non sulla sola sintassi, e ho richiamato l’esperimento di Searle. Questo mi sembra un qualcosa, sicuramente andrà sviluppato ulteriormente, ma mi sembra più del niente che mi mettevi in bocca


Stavo pensando una cosa, e vorrei sapere cosa ne pensi.
Prendiamo il primo teorema di incompletezza di Goedel. Esso ci dice che sotto determinate condizioni (la teoria T deve essere consistente, assiomatizzabile e contenente l’aritmetica di Peano Pi-greco), sia p che non-p non appartengono a T. Dove p è, a parole, “p non è dimostrabile”. Quindi noi sappiamo che p è vera (p appunto non è dimostrabile, e neppure non-p), ma non è dimostrabile in T. Ma noi esseri umani riusciamo a trovare sempre (sotto tali condizioni) una p tale che noi sappiamo che è vera e il sistema non riesce a dimostrare. Che dici?


Il problema, come avevo già accennato, è che “insieme delle parti dei naturali”, come “insieme dei naturali” (e come “insieme infinito”), non è formalizzabile, cioè non ci sono assiomi che permettono di cogliere tali concetti. Ma noi esseri umani tali concetti li abbiamo, quindi noi possiamo ragionarci su mentre le macchine no.


Ed ecco in fondo la parte principale…

Grazie Bub per le tue preziose rispose, ora mi rendo perfettamente conto quanto i soli teoremi limitativi di Goedel non possano dirci nulla sulla computabilità o meno del mentale. Continuo a credere che il mentale non sia algoritmico (o meglio: che credere che il mentale è algoritmico sia irragionevole) per le molte altre osservazioni che ho fatto nel forum, ma riconosco che Goedel centra ben poco.

Le motivazioni? Una è quella che tu hai affermato: dovremmo mostrare che noi sappiamo dimostrare tutte le affermazioni aritmetiche (completezza), ma probabilmente ciò non è vero, anzi forse ciò non ha neppure del tutto senso.
Inoltre c’è un altro problema: non saprei neppure che significato avrebbe la domanda “la mente umana è consistente?”. Quindi addio Goedel

Ciao e grazie ancora,
epicurus

“Stavo pensando una cosa, e vorrei sapere cosa ne pensi.
Prendiamo il primo teorema di incompletezza di Goedel. Esso ci dice che sotto determinate condizioni (la teoria T deve essere consistente, assiomatizzabile e contenente l’aritmetica di Peano Pi-greco), sia p che non-p non appartengono a T. Dove p è, a parole, “p non è dimostrabile”. Quindi noi sappiamo che p è vera (p appunto non è dimostrabile, e neppure non-p), ma non è dimostrabile in T. Ma noi esseri umani riusciamo a trovare sempre (sotto tali condizioni) una p tale che noi sappiamo che è vera e il sistema non riesce a dimostrare. Che dici?”

Epicurus questo argomento è davvero interessante, adesso riesco a comprendere meglio quello che volevi dire. Lo “traduco” a modo mio, poi mi dici se ho inteso bene. Supponiamo che l’insieme di formule vere che è capace di conoscere con certezza un qualsiasi essere umano contenga almeno tutte le formule che fanno parte dell’aritmetica di Peano.

Assumiamo che sia possibile associare ad ogni essere umano un sistema formale T assiomatizzabile i cui teoremi siano tutte e sole le formule che la persona in questione è capace potenzialmente di “dimostrare” (insomma le formule vere che può conoscere con certezza). Se una persona riuscisse a conoscere con certezza ed in modo evidente quale teoria T rappresenta le formule che può “dimostrare” (nel senso che arriva a conoscere con certezza quale formula aritmetica con una variabile libera “genera” la teoria T in esame tramite la Goedelizzazione), applicando il teorema di Goedel grazie pochi passaggi formali potrebbe conoscere con certezza la verità di una formula che per definizione cade al di fuori dell’insieme di tutte le formule che può conoscere con certezza generando una contraddizione.

Qualcuna delle ipotesi quindi deve essere negata, ci sono due possibilità (se non si vogliono negare le altre ipotesi che sembrano più evidenti):

1) Una delle possibilità è quella di negare il fatto che una persona possa conoscere con certezza quale sia il sistema formale T che genera le proposizioni che può “dimostrare”.
2) L’altra possibilità è quella di negare il fatto che, dato un essere umano, esiste un sistema T assiomatizzabile i cui teoremi coincidono con le formule che questo essere umano può dimostrare con certezza. In questo ultimo caso quindi l’insieme delle formule che può riescire a dimostrare una persona non è assiomatizzabile.

Questo argomento lo trovo abbastanza convincente e l’unico punto critico che ho individuato è questo: è possibile per qualcuno conoscere con certezza quale teoria T rappresenti le formule che è capace di “dimostrare”? Magari ogni essere umano può anche arrivare a conoscere il suo funzionamento (nel senso che ha una serie di prove empiriche a favore di una qualche teoria T), ma non può mai essere certo che le cose stiano effettivamente così, e perciò l’argomento verrebbe “disinnescato” perché la formula che viene determinata in corrispondenza della teoria T non ricadrà nell’insieme delle formule vere e certe ma in quello delle formule che possono essere, dal punto di vista conoscitivo, anche false, non provocando più alcun paradosso.

Epicurus comunque le tue osservazioni mi hanno fatto riflettere di nuovo sul senso da dare ad affermazioni come “io non sono un computer”. I robot più indipendenti che costruiscono attualmente non sono comunque macchine di Turing, hanno sensori con i quali acquisiscono informazioni discrete, elaborano queste ultime in modo digitale usando i propri "stati mentali", ed agiscono di conseguenza usando dei dispositivi che vengono detti attuatori. La differenza più evidente che separa questi automi dalle macchine di Turing è che sono immersi, per così dire, in un ambiente e perciò possono acquisire informazioni da qualcosa che può variare nei più svariati modi. All’inizio mi sembrava evidente cosa significasse “io non sono un computer”, adesso mi rendo conto che questa affermazione va chiarita meglio perché (al di là degli schemi abbastanza rozzi che ho usato io stesso) può essere interpretata in svariati modi. Epicurus ti farebbe piacere provare a chiarire meglio il problema? Cosa ne pensi? Cosa dovrebbe accadere, secondo te, affinché sia vero che la mente umana (o la mente in generale) funzioni in modo analogo ad un calcolatore digitale?

Ciao Epicurus,

ciao a tutti

Esatto! Alla mia mente corrisponde una teoria assiomatizzabile T (e consistente e contenente l’aritmetica di Peano), grazie ad un passaggio banale potrebbe arrivare alla conclusione che una formula non appartenente a T è vera. Ma questo è assurdo. Quindi, dato una qualsiasi T, essa non potrà essere la teoria che corrisponde alla mia mente. Cioè tale teoria non è assiomatizzabile.


Questo non dovrebbe risolvere il precedente problema, infatti a noi non interessa che si sappia o meno quale sia la teoria T che corrisponde ad una data persona. A noi interessa solamente che esista.


Come ho scritto sopra, non è necessario che la persona conosca la teoria che le corrisponde. Se accettiamo che l’uomo è algoritmico allora deve esserci una teoria T che gli corrisponde, anche se non la sappiamo esibire. Ma tale teoria T può essere estesa dalla persona stessa (primo teorema di Goedel), quindi T non è la teoria che corrisponde a quella persona, contro le ipotesi fatte.


Non vedo sostanziali differenze tra i due calcolatori. Una macchina di Turing è un modello matematico, e quindi astratto. Esso prevedeva un modo per acquisire dati (nastro di input) e un modo per restituire all’esterno altri dati (nastro di output; i due nastri possono anche essere lo stesso, ciò non è importante). Ma che il mio nastro di ingresso sia implementato con un nastro vero e proprio, una tastiera, un mouse, un joystick, o una telecamera, questo non cambia nulla (come non cambia nulla, naturalmente, anche per quanto riguarda il nastro d’uscita). Non è che se i numeri da elaborare arrivano da una telecamera o da un mouse, per il computer cambia molto, anzi, non cambia proprio niente. Sono solo numeri. Quindi mi sembra un po’ forzato dire che tali computer sono immersi nell’ambiente.


Hai ragione, cerchiamo di chiarire meglio questo concetto, perché altrimenti si fa solamente confusione. Molte volte si legge in giro che l’uomo è un computer, “cioè il suo cervello è l’hardware e la sua mente è il software”. Ma detta così non si capisce bene cosa si stia dicendo: certo, l’analogia uomo-computer può funzionare (se a livello superficiale) vogliamo mettere in risalto che l’uomo può esser studiato dal punto di vista fisico-chimico (fisiologico/neurologico) e anche da un punto di vista psicologico. Ma se questa analogia vuole aspirare a qualcosa di più di una semplice analogica superficiale, allora bisogna chiarire meglio le cose.

Verso metà del ‘900, grazie a Hilary Putnam, si fece strada con gran forza la teoria della mente chiamata “funzionalismo”. Secondo tale posizione è che uno stato mentale è tale per il suo svolgere una certa funzione, ovvero ha un ruolo. Così Putnam scardina l’idea che gli stati mentali siano stati cerebrali e propone la fortunatissima equivalenza: stato mentale = stato funzionale.


Come si vede in questo stralcio il passaggio da funzionalismo a teoria computazionale della mente è lievissimo, anzi è proprio il modello della macchina di Turing che ci fornisce più chiaramente il concetto di “funzionale”. Questo passaggio è sempre dovuto a Putnam: la descrizione software è proprio quella descrizione funzionale che si stava cercando!

Per precisare ulteriormente tale posizione, riassumerò la teoria computazional-rappresentazionale della mente di Fodor, riconosciuta come il paradigma di funzionalismo computazionele. Lasciando da parte tutto il discorso sull’architettura della mente proposta da Fodor (essa dovrebbe essere divisa in moduli), concentriamoci su aspetti più importanti per questa discussione. Secondo la TCRM tutti i processi cognitivi sono computazioni su rappresentazioni mentali. Cosa sono le rappresentazioni mentali? Fodor afferma che un sistema di rappresentazioni mentali è sostanzialmente un linguaggio naturale, detto linguaggio del pensiero (o mentalese). Le caratteristiche delle rappresentazioni mentali: 1) hanno parti costituenti che si combinano fra loro in base a regole sintattiche; 2) le loro parti atomiche (i costituenti ultimi, strutturalmente semplici) hanno un significato [innato], che può essere un individuo o una proprietà del mondo; 3) sono composizionali (il loro significato è determinato dal significato dei loro costituenti e dalla loro struttura sintattica); 4) le espressioni di tipo enunciativo hanno un valore di verità e intrattengono tra loro relazioni logiche di implicazione.

Ecco che, avendo la nostra struttura dati, la macchina-mente può elaborare informazioni, naturalmente in modo del tutto sintattico (cecità rispetto al significato). Questo è il punto centrale del TCRM.
Certo, una teoria computazionale della mente non deve necessariamente postulare il mentalese (si potrebbero postulare immagini mentali, oppure non postulare nessuna struttura dati esplicita, come avviene nel connessionismo): il concetto chiave è che ogni processo cognitivo sia una computazione su dati interni. Comunque sembra che il TCRM sia la teoria più accreditata, e presa a modello ortodosso nelle scienze cognitive (anche se inizia a farsi strada anche il connessionismo).

Mi sembra che ora la faccenda sia definita abbastanza nel dettaglio. Che dici?

Ciao
epicurus

“Esatto! Alla mia mente corrisponde una teoria assiomatizzabile T”

Io ho cercato di chiarire bene quello che volevo dire e non ho usato un generico “Alla mia mente corrisponde una teoria assiomatizzabile T”. Io ho detto che, dato un qualsiasi essere umano, l’insieme V delle formule aritmetiche "dimostrabili" da questo, ossia delle formule aritmetiche vere che può conoscere con certezza (non ho chiarito in che modo, in generale, possa una persona riuscire ad acquisire delle verità certe perché non lo so, se non in qualche caso), coincide con una teoria assiomatizzabile T. E’ importante notare che nella proprietà caratteristica dell'insieme V è presente anche la certezza della conoscenza delle formule, questo punto è importante altrimenti poi non si capisce più bene nulla. Dire soltanto che una teoria T corrisponde ad una mente secondo me è troppo generico. T è un insieme di formule, la mente è tutt’altra cosa, come dovrebbe essere definita questa corrispondenza? Se sei in disaccordo riguardo a quello che ho scritto più sopra chiarisci tu in che modo far corrispondere ad una mente una teoria assiomatizzabile T, può darsi che qui c’è stata una incomprensione.

“Come ho scritto sopra, non è necessario che la persona conosca la teoria che le corrisponde. Se accettiamo che l’uomo è algoritmico allora deve esserci una teoria T che gli corrisponde, anche se non la sappiamo esibire. Ma tale teoria T può essere estesa dalla persona stessa (primo teorema di Goedel), quindi T non è la teoria che corrisponde a quella persona, contro le ipotesi fatte.”

Devi spiegare meglio anche qui cosa vuoi dire quando affermi “Ma tale teoria T può essere estesa dalla persona stessa”, io ho chiarito bene cosa intendevo dire ed in che modo veniva dedotta una contraddizione:

“Se una persona riuscisse a conoscere con certezza ed in modo evidente quale teoria T rappresenta le formule che può “dimostrare” (nel senso che arriva a conoscere con certezza quale formula aritmetica con una variabile libera “genera” la teoria T in esame tramite la Goedelizzazione), applicando il teorema di Goedel grazie a pochi passaggi formali potrebbe conoscere con certezza la verità di una formula che per definizione cade al di fuori dell’insieme di tutte le formule che può conoscere con certezza generando una contraddizione.”

Per chiarire meglio quello che voglio dire faccio un esempio.

Se io prendo a caso una teoria assiomatizzabile T, e fortunatamente individuo proprio quella che indica quali sono le mie conoscenze aritmetiche certe (senza però che io sappia con certezza di aver individuato proprio questa teoria), anche se applico meccanicamente l’algoritmo indicato dal teorema di Goedel non individuo un’altra formula da me "dimostrabile", ossia una formula vera che conosco con certezza, ma genero soltanto una formula vera (senza sapere con certezza che sia vera) ed il paradosso su esposto svanisce perché ci possono tranquillamente essere delle formule vere che io non riesco a “dimostrare” ossia quello che voglio dire è che possono esistere delle formule vere di cui non conosco la verità con certezza. Se osserviamo attentamente quello che ho fatto è facile notare che io ho soltanto applicato un algoritmo in corrispondenza di un sistema formale (indicato tramite una formula come ho spiegato nell’altro messaggio) ma non ho acquisito nuove conoscenze aritmetiche certe e vere che cadono al di fuori di T: questo lo potrei fare solo se disponessi di una serie di informazioni aggiuntive e certe rispetto a T. Ad esempio se sapessi con certezza che T è la teoria che rappresenta le formule vere che posso conoscere con certezza, applicando il teorema di Goedel posso “dedurre” da queste conoscenze certe una formula vera e certa che cade al di fuori di T generando il paradosso che ho esposto più sopra.
Spero di essere riuscito a spiegarmi bene e soprattutto di non aver frainteso quello che volevi dirmi.

Epicurus è stimolante discutere con te, però è anche un po' stancante .
Nei prossimi giorni invierò qualche altro commento, prima voglio leggere con attenzione la seconda parte del tuo messaggio.

Ciao Epicurus!

Come avevo scritto concordo con te. Avevo scritto "alla mente di Tizio corrisponde la teoria T" come modo di abbreviare la più lunga formulazione "Tizio può dimostrare sintatticamente, cioè usando assiomi e regole d'inferenza, un insieme V di formule aritmetiche coincide con una teoria assiomatizzabile e consistente T". Quindi, per comodità, userò la ben più sintetica "a quella mente corrisponde T"


Forse ti sto capendo ma non ne sono sicuro al 101%

Poniamo, per ipotesi, che Goedel sia in grado di dimostrare l'insieme di formule T. Dico "sia in grado di dimostrare" perché non è richiesto che le dimostri effettivamente. Cioè lui può utilizzare un dato insieme di regole e assiomi. [Credo sia sufficiente dire questo, invece di parlare in termini di "conoscenza certa".]
Quindi ciò significa che per ogni formula t_i di T, Goedel può esibire (in tempo finito) una serie di formule che rappresentano la dimostrazione di t_i. Oppure, alla rovescia, tutte le formule che Goedel è in grado di dimostrare (in tempo finito) formano proprio l'insieme T.

Quindi, se esiste T siffatta (e lo stiamo assumendo per ipotesi), allora, sfruttando un passaggio banale del primo teorema di incompletezza, Goedel può dimostrare la verità di una formula che non sta in T. Perciò Goedel può dimostrare ciò che non può dimostrare. E' questa è banalmente falso.

Spiegami dove zoppica questo argomento.


E' molto stimolante anche per me, grazie
Attenderò con ansia le tue osservazioni sulla seconda parte

Secondo me l’argomento seguente

“Poniamo, per ipotesi, che Goedel sia in grado di dimostrare l'insieme di formule T. Dico "sia in grado di dimostrare" perché non è richiesto che le dimostri effettivamente. Cioè lui può utilizzare un dato insieme di regole e assiomi. [Credo sia sufficiente dire questo, invece di parlare in termini di "conoscenza certa".]
Quindi ciò significa che per ogni formula t_i di T, Goedel può esibire (in tempo finito) una serie di formule che rappresentano la dimostrazione di t_i. Oppure, alla rovescia, tutte le formule che Goedel è in grado di dimostrare (in tempo finito) formano proprio l'insieme T.

Quindi, se esiste T siffatta (e lo stiamo assumendo per ipotesi), allora, sfruttando un passaggio banale del primo teorema di incompletezza, Goedel può dimostrare la verità di una formula che non sta in T. Perciò Goedel può dimostrare ciò che non può dimostrare. E' questa è banalmente falso.

Spiegami dove zoppica questo argomento.”

zoppica nel punto in cui affermi che

“Goedel può dimostrare la verità di una formula che non sta in T”

perché anche supponendo che Goedel sappia con certezza (o sia capace di “dimostrare”) che “esiste una teoria T assiomatizzabile e contenente PA che lo rappresenta” (ma questo comunque non è stato assunto nell’argomento che hai riportato), da questo fatto Goedel può dedurre soltanto, applicando il suo teorema, che “Esiste una formula vera che non sta in T”, ossia che è vero

“Goedel può dimostrare che esiste una formula vera che non sta in T”.

Goedel insomma arriva a “dimostrare” sicuramente (assumendo che egli sappia che possa essere rappresentato da un sistema T) soltanto che esiste una tale formula F ma non è detto che riesca a sapere esattamente quale sia questa formula F, a meno che non possa disporre di informazioni più dettagliate rispetto a T, ma questo non è affatto ovvio e dobbiamo assumerlo esplicitamente. Credo comunque di essermi confuso anche io inizialmente: non è proprio semplice (soprattutto per me che sono un po’ distratto) tener conto di queste complicazioni. Questo è un argomento in cui discutiamo di quello che può “dimostrare” un’altra persona ed è facile scambiare dei dati di fatto con quello che la persona conosce con certezza e che può quindi usare effettivamente nelle sue “dimostrazioni”. In pratica se noi argomentando assumiamo che qualcosa sia vero per ipotesi (supponiamo che la realtà sia fatta quindi in un certo modo), non è detto che per la persona in questione questo fatto faccia parte della sua base di conoscenze certe e perciò dobbiamo assumerlo esplicitamente che ne è al corrente se vogliamo che lo possa usare come premessa certa per le sue deduzioni.
Non so se sono riuscito a convincerti, ma in alcuni punti dell’argomento che hai esposto, secondo me, è necessario usare ulteriori assunzioni riguardo a quello che può conoscere con certezza (o "dimostrare") Goedel stesso, altrimenti questo non può applicare in nessun modo il suo teorema . Se le cose stanno in un certo modo e lui non può "dimostrare" che le cose stanno così non può dedurre nulla di certo usando questi fatti come ipotesi.

Ciao Epicurus

Scusa per il ritardo nella risposta, ma ero in vacanza, lontano da un pc .


Capisco cosa intendi dire: un conto è parlare di cosa è dimostrabile all’interno di T, e tutt’altro è parlare di cosa è dimostrabile in generale. Comunque ci sono delle cose che non riesco ancora a capire della tua osservazione che ti spiegherò strada facendo.


Per ovviare a questo problema non basta trovare una persona che ha tra i propri assiomi questa idea? Cioè basta che convinciamo Goedel che esso è rappresentato da T assiomatizzabile, coerente e contenente PA, e il gioco è fatto… anche se mi pare un passaggio un po’ bizzarro. Ma forse non volevi dire semplicemente che Goedel deve sapere che esiste una teoria T assiomatizzabile e contenente PA che lo rappresentata, bensì che Goedel deve conoscere nel dettaglio la teoria T che lo rappresenta.

Comunque non ho ancora capito bene perché l’ipotesi “Goedel sa che è rappresentato da T” deve essere vera, ai fini della nostra discussione.



Quel che ci interessa di Goedel, in questa discussione, è il sistema T che lo rappresenta: naturalmente questa è un’astrazione, ma anche un macchina di turing lo è. Quindi prendiamo quel che ci serve, cioè T, e dimentichiamoci un attimo Goedel, altrimenti ci perdiamo entrambi.

Ora mi chiedo: “T dispone di sufficienti informazioni su se stesso?” A che mi serve questa domanda? Che senso ha? Il logico Goedel (non quello dell’esempio sopra) ci ha già fornito una risposta?
Credo che una prima risposta sia: “Non serve che T disponga di sufficienti informazioni su se stesso, bensì è sufficiente che T sia sufficientemente ricco per parlare di se stesso”. Ed in effetti è questo quello che intendiamo proprio quando diciamo che T deve contenere PA, quindi per ipotesi T dispone di una sufficiente potenza espressiva per parlare di se stesso, e T è consistente e assiomatizzabile (sempre per ipotesi). E queste sono le uniche ipotesi che ci servono, io credo. Il tuo ragionamento vorrebbe distinguere nettamente la mente di Goedel da T, e questo è giusto in un certo contesto, ma sbagliato in un altro. Se vogliamo discutere se Goedel è un computer, stiamo discutendo anche (e qui siamo entrambi d’accordo) se tutte le dimostrazioni corrette che Goedel può eseguire sono contenute esattamente in un insieme di formule T, che è una teoria assiomatizzabile e contenente PA (e consistente).
Quello che vorrei dire è che qui non siamo interessati a Goedel nella sua interezza, cioè incorporando la forma del suo naso, la bellezza o meno del suo volto, etc…. qui siamo interessati a ciò che Goedel può conoscere, e ciò che Goedel conosce è rappresentato da T. Quindi abbandoniamo il “Goedel conosce…” e iniziamo a parlare solamente di T.

Non son sicuro di esser stato chiarissimo, ma spero di averti fatto capire dove e come la confusione esca, e come si debba superare.

Ciao,
epicurus

Ancora non ho compreso come debbano svolgersi i passaggi dell’argomento esposto sopra in cui ad un certo punto viene raggiunta un’incongruenza. Insomma sei d’accordo con me che è necessario aggiungere altre assunzioni per poter dedurre una contraddizione? Si o No? Se No vorrei un chiarimento riguardo all'affermazione “sfruttando un passaggio banale del primo teorema di incompletezza, Goedel può dimostrare la verità di una formula che non sta in T”: sviluppa tutti i passaggi intermedi, cioè chiarisci in cosa consista questo “passaggio banale”, io sinceramente non ho capito come sia possibile applicare il teorema di Goedel per dedurre che “Goedel può dimostrare la verità di una formula che non sta in T” partendo soltanto dalle assunzioni fatte. Affermi che Goedel dimostra una formula specifica che non sta in T, e qui è Goedel a dimostrare qualcosa di vero, non il sistema T, perciò non puoi parlare soltanto del sistema T per spiegare questo passaggio. Per favore non usare metafore come “il sistema parla di se stesso” altrimenti i fraintendimenti aumentano. Questo è l’unico chiarimento che desidero avere riguardo all’argomento che hai esposto sopra.

ciao

Chiedo scusa se non sono chiaro, il problema è che la questione non è facilissima (molte confusioni sono dovute al continuo cambiamento di livelli) e non mi è del tutto chiara nemmeno a me

C'è un sistema fisico che si comporta in un determinato modo. Mi accorgo che -- ritenendo rilevanti solo alcuni aspetti -- posso vederlo come un'implementazione concreta di una macchina di Turing. Bene, ora mi concentrerò sulla teoria della computabilità e riuscirò a raggiungere molti risultati sul sistema fisico. La cosa vale anche per il nostro amico Goedel! Ci focalizziamo su ciò che riesce a dimostrare, e nel far questo consideriamo Goedel come un sistema assiomatico (finezza: meglio considerare Goedel come sistema assiomatico che come teoria).

Bene. Ora abbiamo la teoria del prim'ordine per raggiungere dei risultati su Goedel (cioè sugli aspetti per noi rilevanti di Goedel, cioè sulle sue capacità dimostrative). Non vedo che altre assunzioni siano necessaire: indicamele e motivamele.
Tu dici che un'altra assunzione è che Goedel sappia che è un sistema assiomatico (e io ti avevo chiesto se in realtà tu richiedessi che Goedel sapesse esattamente che sistema assiomatico fosse, cioè conoscesse esattamente i suoi assiomi e le sue regole d'inferenza; ma tu non hai ancora risposto, mi sembra). Ma non capisco il motivo.

Vuoi sapere i passaggi? Dando per scontato l'aritmetizzazione (che è possibile per ipotesi), Goedel si ritrova a non saper dimostrare né p né non-p (per il primo teorema), dove p rappresenta "p non è dimostrabile". Ma Goedel può dimostrare p (p è per l'appunto vera, proprio perché p non è dimostrabile). E questo va contro le premesse iniziali. Quindi ritenere Goedel un sistema assiomatico è un errore.

Che ne dici?