Considerazioni sul pensiero scientifico

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Conoscenza matematica e conoscenza empirica
L'indagine sui fondamenti della conoscenza scientifica vanta una vasta letteratura. In un certo senso, già nell'antichità classica furono elaborate le fondamenta dell'epistemologia, attraverso lo sviluppo della logica e della geometria; ma la scienza antica non riuscì a procedere oltre a un certo segno, vuoi per ragioni strutturali, vuoi per la mancata saldatura tra il pensiero geometrico e l'indagine fisica.
Bisogna rendersi conto di quanto l'immagine scientifica del mondo dipenda dallo sviluppo matematico. E' vero che buona parte di ciò che noi indichiamo con "scienza" non dipende direttamente da strumenti matematici: ma il mondo fisico, così come viene oggi concepito, è semplicemente impensabile senza la matematica.
Questo pone alcuni problemi. Benché si possa, a mio avviso, sostenere che tra la geometria degli antichi pitagorici e l'attuale formulazione del pensiero matematico vi sia una sostanziale continuità, vi sono tuttavia indizi che il carattere specifico della matematica, in generale, non sia stato in passato inteso come attualmente. In particolare, è il ruolo della dimostrazione che sembra nettamente dividere le matematiche attuali da quelle antiche fino a circa la metà del XIX secolo.
Una dimostrazione deve avere carattere oggettivo. Portare alle estreme conseguenze questo principio implica alcune condizioni: essa non deve dipendere essenzialmente dall'interpretazione che viene data ai singoli termini e deve soddisfare certe regole di derivazione, che sono fondamentalmente regole di concatenazione delle proposizioni. Queste regole devono essere espresse in funzione di un certo numero di connettivi e devono collegare proposizioni. Insomma, la dimostrazione è oggi concepita come una sintassi che, date certe premesse, conduce necessariamente a certe conseguenze.
La dimostrazione geometrica classica non soddisfa esattamente questi requisiti. La sua necessità e universalità non venivano giustificate da una sintassi operante su formule ben formate, perché implica operazioni su figure. E' vero che ogni figura può essere identificata da un insieme di proprietà che svolgono il ruolo di premesse sufficienti a garantire la correttezza logica del procedimento deduttivo: e infatti, la geometria euclidea è logicamente corretta. Ma queste proprietà non sono esplicitate in una forma proposizionale; restano implicite nella costruzione geometrica. Questa svolge il ruolo della sintassi, anzi è essa stessa una sintassi, solo che non opera su un numero finito di simboli astratti, ma su un modello ideale. Ciò pone in primo piano la rappresentazione e induce a pensare che le dimostrazioni siano necessariamente legate all'universalità di tali rappresentazioni, che peraltro non sono mai identificate in una particolare figura o oggetto concreto, perché fungono da campioni ideali di un insieme di oggetti. Tali rappresentazioni fanno da ponte tra la figura disegnata e l'idea sottostante e inducono a pensare che la verità sia raggiungibile solo attraverso la capacità di intuire i rapporti tra le idee. Questo modo di pensare probabilmente non è caratteristico solo dei neoplatonici o dei neopitagorici, ma probabilmente anche di Aristotele[1] e sopravvive, credo, fino ad oggi.

[1] Il fatto è che la logica di Aristotele non si adatta affatto al ragionamento matematico. Questo non ha, generalmente, carattere sillogistico, cioè non è riducibile a operazioni di inclusione/esclusione, appartenenza di un elemento ad un insieme ecc. che possono raffigurare lo schema sillogistico. Può essere che A. non abbia sviluppato una logica matematica perché il pensiero greco non giunge ad elaborare il concetto di una sintassi come garante della necessità logica, autosufficiente nel condurre alla verità?

A questo proposito, si consideri il ben noto passo del Menone, nel quale Socrate, porgendo una serie opportuna di domande a un servitore privo di qualsiasi "conoscenza  matematica" , conduce l'interlocutore alla tesi di un teorema: secondo Platone, questo esempio di maieutica dimostrerebbe che la "conoscenza" acquisita deriverebbe da un ricordo. Questo ragionamento - che P. presenta come quasi ovvio - richiede che, in qualche modo, la dimostrazione matematica non fosse considerata di per sé del tutto sufficiente a provare la tesi di un teorema? Ma in cosa dovrebbe consistere l'insufficienza presunta della dimostrazione? La risposta migliore è che il punto di vista greco (molto vicino peraltro a quello del senso comune) è fondato su un concetto della "verità" come adesione ad una realtà che, pur non potendo essere percepita (perché le figure geometriche non sono in sé oggetti sensibili) viene intuita, e in questa intuizione, e non nei passaggi logici, starebbe la "verità". La "dimostrazione" quindi sarebbe semplicemente il processo che guida l'intuizione, anzi è lo stesso mani fe starsi dell'intuizione; ma poiché nella matematica  questa non può fondarsi sull'esperienza (in quanto i Greci riconoscono il suo fondamento non-empirico), il suo contenuto deve trovarsi su un piano "altro" dal sensibile. Si potrebbe quindi asserire che la dimostrazione è sufficiente per giungere alla tesi, ma che il fondamento della "verità" di ogni tesi o proposizione geometrica non sia nella dimostrazione, ma nella corrispondenza - che può essere solo intuita - tra l'enunciato della tesi e un "ente ideale". Questo punto di vista non è in completa opposizione a quello contemporaneo; solo che, in quest'ultimo, il rapporto tra da una parte, il sistema formale (gli assiomi della Geometria, ma non quelli di Euclide, bensì p.es. quelli di Hilbert) e le dimostrazioni che manipolano i suoi termini e, dall'altra parte, il modello del sistema (cioè, il piano euclideo e la totalità delle figure geometriche) deve essere invertito: la "verità" delle proposizioni della geometria è tutta contenuta nell'insieme degli assiomi ed è conservata applicando le regole di in fe renza, e gli assiomi sono "veri" perchè il loro modello è una loro possibile interpretazione - esattamente come l'aritmetica è una interpretazione degli assiomi di Peano - e quindi ogni proposizione che contraddica le proprietà del modello contraddirebbe pure gli assiomi.  Poiché ogni sistema coerente di assiomi ammette almeno un modello, ogni sistema di assiomi è vero in un modello, e la verità è ricondotta alla non-contraddittorietà del sistema, che è una proprietà sintattica, in quanto esprimibile mediante connettivi logici e simboli astratti. Il "mistero" semmai è perché l'in fe renza conservi la verità. La risposta è estremamente semplice: perché le regole di in fe renza sono state costruite proprio a questo scopo, e questo si ottiene evitando le contraddizioni essendo super-ovviamente il falso uguale al contraddittorio del vero... evitando la contraddizione eviti di giungere al falso partendo dal vero.

 

Comunque sia, questo modo di intendere la dimostrazione separa in modo netto l'osservazione empirica e la logica matematica. La verità matematica appare autosufficiente e indipendente dai fenomeni; essa si irrigidisce in una struttura il cui fondamento non è il mondo fisico, ma un mondo ideale, che è possibile intuire attraverso la geometria.
Perciò la "nascita" del pensiero scientifico moderno deve superare questa distanza tra il mondo fenomenico e quello ideale dei matematici. Questo fu ottenuto estendendo il ragionamento matematico alla "filosofia naturale" [si pensi p.es. alle definizioni e agli assiomi del moto di Newton, e all'assetto deduttivo che impresse alla meccanica], che da allora ha assunto il carattere della "scienza moderna". Già Galilei pone con chiarezza la questione, quando afferma esplicitamente che la struttura dell'Universo è di tipo matematico e insiste sulla necessità di osservare come avvengono i fenomeni (mediante misure), prima ancora di indagarne le cause. Nel pensiero di Newton, la contrapposizione tra geometria e realtà fenomenica è chiaramente evidenziata, quando si confronta lo spazio assoluto, vero, matematico, con lo spazio empirico, relativo, nel quale i fenomeni avvengono e al quale i fenomeni vanno riferiti, e la sintesi tra i due concetti è realizzata mediante l'esperienza del secchio d'acqua rotante; il cielo delle stelle fisse diviene la migliore scelta possibile come riferimento dei moti. Questa sintesi, tuttavia, non tocca ancora la nozione tradizionale della verità matematica; lo spazio resta lo sfondo nel quale avvengono i fenomeni, incondizionato dalla presenza della materia.

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