Dato per scontato che in un insieme di elementi gli elementi siano distinti fra loro, perchè lo sono in effetti per definizione, diamo anche per scontato di solito che questa condizione sia sufficiente per contarne il numero.
In effetti per contarli secondo me occorre una condizione aggiuntiva.
Posto che possiamo nominarli in quanto distinti, possiamo contarli solo dopo averli nominati, perchè questo è l'unico modo per garantire che non conteremo più volte lo stesso elemento, e nessuno ci impedisce di dare un nome nel mentre li contiamo; un nome che vale una spunta che ci garantisce di non ricontare lo stesso elemento.
Quindi se vogliamo contare gli elementi di un insieme infinito di elementi dovremo fare qualcosa del genere.
Ma come possiamo farlo se non possediamo già in partenza un numero infinito di diversi nomi?
Come si risolve questo problema secondo voi?

la soluzione secondo me è che l'infinito della nostra intuizione, di cui nulla riusciamo a dire, ha poco a che fare con l'infinito di cui riusciamo a dire, e di cui riusciamo a dire fino al punto di dare un nome a tutti i suoi infiniti elementi, senza inventare un nome per ogni elemento al momento di contarlo, anche se nel contare potrebbe succedere di nominare un elemento per la prima volta in assoluto, perchè siamo arrivati a contare dove prima nessuno era arrivato.

Conoscevamo già quel nome mai prima pronunciato.

Non riesco a pensare a un insieme infinito di elementi dei quali conosca il nome, anche senza averlo mai pronunciato, come a un insieme non ordinato.
E' un insieme ordinato perchè il nome vale come un segnaposto.
L'infinito della nostra intuizione può anche essere caotico, ma l'infinito di cui possiamo dire non ha nulla di caotico, ed anzi è ordinato non meno di qualunque insieme finito col quale possiamo entrare in tal confidenza da dare del tu ad ogni suo elemento chiamandolo per nome.
Se riusciamo a fare lo stesso con un insieme infinito, ed in effetti ci riusciamo, allora vuol dire che con esso intratteniamo la stessa confidenza.
Chi grida al nichilismo temendo per l'introduzione del concetto di infinito in una scienza dalla quale dipendono le nostre sorti, è rimasto all'infinito della sua intuizione, unico e solo.
Chi nel caos dell'infinito ha provato mettere ordine, riuscendovi, ha constatato che non c'è un modo unico e solo di farlo, come l'intuizione di infinito ci suggeriva, ma diversi e fra loro non necessariamente equivalenti, di modo che ha ritenuto poter distinguere un infinito da un altro e di poterli perciò confrontare, e per quello che ne sò, al momento almeno il numero di tutti questi insiemi infiniti è...finito.
Almeno quello... no?

Citazione di: Eutidemo il 25 Settembre 2023, 06:43:14 AM

Ciao a tutti gli intervenuti.

Le vostre considerazioni sono tutte interessantissime, in buona parte condivisibili e degne di pregio; però, per lo più, a me sembrano non rispondere direttamente al quesito iniziale di Iano: "Qual'è quell'insieme che è finito ma non limitato?"

L'unica risposta diretta a tale quesito, a me sembra che la fornisca solo Iano, quando scrive: "Io propongo l'insieme di tutti gli insiemi finiti pensati."; però, secondo me, alla stessa stregua si potrebbe proporre anche: "l'insieme di tutti gli insiemi limitati pensati".

Non vedo gran differenza!

***

Vediamo se troviamo differenze.
L'insieme di tutti gli insiemi finiti pensati è esso stesso un elemento dell'insieme, perchè è un insieme pensato.
Quanti elementi possiede l'insieme?
Dobbiamo contare l'insieme stesso oppure no?
Di un insieme finito presumiamo, in quanto finito, di poterne ben contare il numero di elementi, ma non è così a quanto pare.
Direi che da questa discussione è venuto fuori che la difficoltà nel contare gli elementi di un insieme non è necessariamente legata all'infinità dei suoi elementi.

Ma,l'insieme di tutti gli insiemi limitati pensati, fà parte esso stesso dell'insieme come elemento?
L'insieme di tutti gli insiemi limitati pensati è limitato?
Cosa significa esattamente pensare un insieme limitato?

Al concetto di ordine che ci ha fatto vedere quello di infinito da un particolare punto di vista, affiancherei quello di generalizzazione che è il pane quotidiano della matematica, la quale appunto procede per generalizzazioni.

Se io dico che una proprietà vale per ogni numero naturale N, non posso indicare ogni numero per cui vale la proprietà essendo infiniti.
Risolvo la questione generalizzando.
Adesso per dimostrare che una proprietà vale per ogni numero naturale mi basta dimostrare che vale ''per un solo numero'' N.
Mi sono espresso in un modo massimamente rozzo.
Ma espressa in termini più corretti quella che ho rozzamente illustrato viene detta ''induzione matematica''.
La sostanza però non cambia molto, perchè nell'induzione matematica i casi in cui occorre dimostrare che la proprietà vale non è 1, ma sono 2, o forse 3, non ricordo, ma comunque in un numero finito di casi.

(induzione matematica, principio di procedimento che permette di inferire che una certa proprietà P vale per ogni numero naturale una volta che sia stato dimostrato che a) essa vale per 0 o per 1, intesi come elementi iniziali e che, b) se essa vale per n, allora vale anche per il successore di n, cioè per n + 1, qualunque sia n ∈ N.)

Ma insomma non ci sono particolari problemi , per quanto l'induzione matematica rimanga oggetto di discussione, ad operare con insiemi infiniti, sia per effettuare conteggi sui suoi elementi che per dimostrare proprietà su di essi.

Certo tutto è discutibile (per fortuna aggiungo io), ma mi sembra che ad abortire l'idea di infinito si perda tanta ricchezza di pensiero.
Liberi di accettarla o meno, ma una volta accettatala si vede che poi anche l'idea di finito non è così scontata come sembra, e non basta la condizione di finitezza per poter contare, come non è sufficiente quella di infinitezza per impedirlo.

Citazione di: iano il 25 Settembre 2023, 14:14:20 PMSarebbe come dire che lo zero non è un numero perchè con lo zero non si conta nulla.
Che tu abbia difficoltà ad accettare lo zero come numero lo sanno anche i muri di questo forum ormai , ma come ho già scritto altrove il tuo è un ripercorrere in modo indipendente la storia della matematica, dove ci sono voluti millenni per accettare lo zero come numero.

Ti sbagli alla grande; ed infatti io ho sempre considerato lo zero come un numero!
Dove diamine hai trovato scritto che io non lo considero un numero?

Citazione di: iano il 25 Settembre 2023, 16:54:00 PMVediamo se troviamo differenze.
L'insieme di tutti gli insiemi finiti pensati è esso stesso un elemento dell'insieme, perchè è un insieme pensato.
Quanti elementi possiede l'insieme?
Dobbiamo contare l'insieme stesso oppure no?
Di un insieme finito presumiamo, in quanto finito, di poterne ben contare il numero di elementi, ma non è così a quanto pare.
Direi che da questa discussione è venuto fuori che la difficoltà nel contare gli elementi di un insieme non è necessariamente legata all'infinità dei suoi elementi.

Ma,l'insieme di tutti gli insiemi limitati pensati, fà parte esso stesso dell'insieme come elemento?
L'insieme di tutti gli insiemi limitati pensati è limitato?
Cosa significa esattamente pensare un insieme limitato?

Hai ragione!
Questo ci riporta, in un certo senso, al famoso paradosso di Russel!

Citazione di: iano il 25 Settembre 2023, 17:22:03 PMAl concetto di ordine che ci ha fatto vedere quello di infinito da un particolare punto di vista, affiancherei quello di generalizzazione che è il pane quotidiano della matematica, la quale appunto procede per generalizzazioni.

Se io dico che una proprietà vale per ogni numero naturale N, non posso indicare ogni numero per cui vale la proprietà essendo infiniti.
Risolvo la questione generalizzando.
Adesso per dimostrare che una proprietà vale per ogni numero naturale mi basta dimostrare che vale ''per un solo numero'' N.
Mi sono espresso in un modo massimamente rozzo.
Ma espressa in termini più corretti quella che ho rozzamente illustrato viene detta ''induzione matematica''.
La sostanza però non cambia molto, perchè nell'induzione matematica i casi in cui occorre dimostrare che la proprietà vale non è 1, ma sono 2, o forse 3, non ricordo, ma comunque in un numero finito di casi.

(induzione matematica, principio di procedimento che permette di inferire che una certa proprietà P vale per ogni numero naturale una volta che sia stato dimostrato che a) essa vale per 0 o per 1, intesi come elementi iniziali e che, b) se essa vale per n, allora vale anche per il successore di n, cioè per n + 1, qualunque sia n ∈ N.)

Ma insomma non ci sono particolari problemi , per quanto l'induzione matematica rimanga oggetto di discussione, ad operare con insiemi infiniti, sia per effettuare conteggi sui suoi elementi che per dimostrare proprietà su di essi.

Certo tutto è discutibile (per fortuna aggiungo io), ma mi sembra che ad abortire l'idea di infinito si perda tanta ricchezza di pensiero.
Liberi di accettarla o meno, ma una volta accettatala si vede che poi anche l'idea di finito non è così scontata come sembra, e non basta la condizione di finitezza per poter contare, come non è sufficiente quella di infinitezza per impedirlo.

Hai ragione!
Ma il tuo quesito riguarda gli insiemi finiti, non quelli infiniti.
Lo zero esiste senz'altro come numero; ma un "insieme finito vuoto", non ha limiti perchè non contiene alcun elemento da delimitare.
 

Citazione di: Eutidemo il 26 Settembre 2023, 07:31:53 AMHai ragione!
Ma il tuo quesito riguarda gli insiemi finiti, non quelli infiniti.
Lo zero esiste senz'altro come numero; ma un "insieme finito vuoto", non ha limiti perchè non contiene alcun elemento da delimitare.
 

Se vedi il limite come un contenitore, il contenitore esiste anche quando non ha nulla da contenere.
Il concetto non sembra molto diverso da quello dello zero.
Ad esempio nel numero 103 lo zero indica il posto dove vanno ''riposte'' le decine, come la borsa della spesa vuota indica il posto dove vanno riposte le mele.
Il paradosso di Russell nasce quando al posto di mele abbiamo contenitori.
In questo caso qualcuno dirà che il contenitore contiene se stesso, ed altri diranno che non contiene se stesso, ed hanno tutti ragione.
Possiamo fare una analogia fra un limite e un contenitore?
Avremmo allora un limite che supera se stesso.

Cioè, possiamo avere un limite che si supera  al modo di un contenitore che si contiene?   
Non ho la risposta, ma seppure contenitori e limiti si somigliino molto, un contenitore non sembra però indicare una impossibilità, mentre un limite si.
Ad esempio un insieme è finito perchè l'operazione del contare i suoi elementi ad un certo punto si arresta,  e non E' POSSIBILE contare oltre, e non perchè i suoi elementi sono contenuti in qualcosa oltre cui non è possibile andare.

Citazione di: Eutidemo il 27 Settembre 2023, 06:31:11 AM

Ciao Iano.

A livello "fisico" un "contenitore" può esistere senz'altro anche quando non ha niente da contenere (tipo una bottiglia vuota, che, però, contiene aria); ma, a livello "concettuale", un "contenitore", cioè un "contenente", che non "contiene" niente è una contraddizione in termini!

Sempre a livello "concettuale", un "contenitore", cioè un "contenente", non è in sè un "limite"; però pone dei "limiti" all'insieme di elementi che esso  "concettualmente" contiene o limita; ma, se l'insieme è vuoto, cioè senza nessun elemento, non c'è niente nè da contenere nè da limitare.

***

Quanto al fatto che nel numero 103 lo zero indica il posto dove vanno ''riposte'' le decine, secondo me tu confondi due tipi di "insieme":

- l'insieme delle singole cifre, considerate in modo autonomo dal punto di vista "grafico";

- l'insieme delle cifre, considerate unitariamente come un numero dal punto di vista "concettuale".

***

Per cui l'insieme di 103 elementi, ha come limite inferiore (o iniziale) il primo e come limite superiore (o finale) l'ultimo.

Lo 0 non ha alcuna valenza autonoma in tale insieme!

***

.

***

Un cordiale saluto!

***

Il punto concettuale è che un insieme di elementi è esso stesso un elemento se consideri un insieme di insiemi.
Un insieme di insiemi di elementi contiene quindi un diverso numero di elementi secondo come li raggruppi.
Quindi possiamo dire che un insieme contiene 103 elementi che sono 103 unità, oppure 13 elementi che sono 10 decine e 3 unità, oppure 4 elementi che sono un centinaio 3 unità, ma se non tieni conto delle decine, perchè in effetti nell'insieme di 4 elementi le decine non ci sono, dovresti scrivere 13 per indicare un centinaio 3 unità.
Questo in qualche modo è quello che facevano i romani con la loro numerazione, che non avevano un simbolo per indicare ''nessuna decina''.
Per loro 103 era (C)(III) e più crescevano i numeri sempre nuovi simboli dovevano inventarsi, per indicare le migliaia etc...
Quindi quantomeno si comprende l'utilità del simbolo zero che ha permesso di usare un numero limitato di simboli (cifre), o meglio di decidere a priori di limitare il numero di cifre, e scegliendo quel numero ad hoc.
Sembra starno che ci abbiano messo così tanto tempo a giungere a questa soluzione tecnica che ci permette di fare le somme in colonna già in tenera età alle elementari, mentre al tempo dei romani nera un lavoro che impegnava un adulto per tutta la vita.
La soluzione la si è trovata importando lo zero dagli arabi che lo avevano importato dagli indiani, per i quali indiani lo zero era un vero nulla, e non un espediente tecnico.
Era cioè un contenitore del nulla.
Si può dire che non c'è nulla che unisce la cultura occidentale e quella orientale, oppure, a scelta, che un nulla le abbia riunite.
Lo zero poi, essendo un nulla, ci mette anche niente a sparire con un operazione magica

10 unità= 1 decina

e lo zero non c'è più, ma al suo posto appare un scomodo insieme infinito di simboli, uno per le centinaia, uno per le migliaia etc...
Se non è zuppa è pan bagnato, se non è zero è infinito.
Dalla padella nella brace.
O accettiamo lo zero come elemento di un insieme finito di cifre, o accettiamo un insieme infinito di cifre che non contiene lo zero come cifra.
Quantomeno che si tratti di una grande invenzione tecnica non si può non convenire, e per i matematici occidentali questo è.
Poi ci si può fare su filosofia sbandando un pò verso oriente od occidente.