Rastislav e l'enigma del numero magico

Eutidemo · 08 Ottobre 2024, 12:15:10 PM

Rastislav entra nella cella di un suo prigionero, che è un matematico, e gli dice:

- Dati i seguenti numeri 18, 27, 36, 45 54 63 72 81, tu mi devi trovare un numero "moltiplicatore" che dia, come prodotto, per ciascuno di tali numeri:

- la prima e l'ultima cifra uguali alla prima ed alla seconda cifra del numero "moltiplicando";

- le cifre intermedie tutte uguali tra di loro.

Se ci riuscirai ti renderò la libertà; altrimenti morirai.-

- Mi puoi fare un esempio?- chiede timidamente il prigioniero.

- Certo!- risponde compiacente Rastislav.

18 x a = 1bbbbbbbbb8

27 x a = 2ccccccccc7

36 x a = 3ddddddddd6

45 x a = 4eeeeeeeee5

54 x a = 5fffffffff4

63 x a = 6ggggggggg3

72 x a = 7hhhhhhhhh2

81 x a = 8iiiiiiiii1

***

Che cosa risponde il prigioniero?

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UN AIUTINO

Notate che le prime cifre sono tutte ascendenti (12345678), le ultime tutte discendenti (87654321); inoltre tenete presente che a rappresenta un singolo numero composto da più cifre, mentre bcdefghi rappresentano ciascuno un numero composto una singola cifra (ad es. a = 654345432, mentre b = 6, c = 8, d = 3 ecc. ecc.)

Ovviamente i numeri dell'esempio non sono quelli della soluzione!

Scepsis · 09 Ottobre 2024, 21:56:32 PM

a e' qualsiasi numero composto dalla sola cifra 1 (11, 111, 1.111 e cosi' via)

Eutidemo · 10 Ottobre 2024, 06:48:32 AM

Ciao Scepsis.

La tua soluzione si adatta perfettamente al mio precedente enigma "Rastislav e l'enigma dei prodotti con l'ultima cifra in sequenza"; laddove bisognava scegliere liberamente cinque numeri qualsiasi, ciascuno di tre cifre, l'uno diverso dall'altro e in ordine di valore decrescente, ma non consecutivo, tra 750 e 250 (ad es. 735, 537, 328 ecc.), e poi moltiplicali tutti e cinque, uno per volta nell'ordine, per un uno stesso identico numero di tre cifre, di qualsiasi valore a propria scelta, che, però, fosse diverso da ciascuno di tali cinque numeri, ottenendo così cinque prodotti di cinque la cui ultima cifra doveva essere nella sequenza crescente e consecutiva 1,2,3,4,5.
Ad esempio:

641 x 111 = 71.151

522 x 111 = 57.942

413 x 111 = 45.843

384 x 111 = 42.624

295 x 111 = 32.745

Ed infatti, facendo anche altre prove, mi sono accorto che l'ultima cifra del prodotto di un qualsiasi numero moltiplicato per 1 (ovviamente) o per un numero composto da più volte 1 (11,111,1111 ecc.), è sempre uguale all'ultima cifra del numero moltiplicando.

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Però la tua soluzione non si adatta al presente enigma del " Rastislav e l'enigma del numero magico", che è molto diverso, e che consiste nel seguente quesito:

- Dati i seguenti numeri 18, 27, 36, 45 54 63 72 81, tu mi devi trovare un numero "moltiplicatore" che dia, come prodotto, per ciascuno di tali numeri:

- la prima e l'ultima cifra uguali alla prima ed alla seconda cifra del numero "moltiplicando";

- le "cifre intermedie tutte uguali tra di loro".

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Tale "numero magico" è 987.654.321.

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Ed infatti:

18 x 987.654.321 = 17777777778

27 x 987.654.321 = 26666666667

36 x 987.654.321 = 35555555556

45 x 987.654.321 = 44444444445

54 x 987.654.321 = 53333333334

63 x 987.654.321 = 62222222223

72 x 987.654.321 = 71111111112

81 x 987.654.321 = 80000000001

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Un cordiale saluto!

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Scepsis · 10 Ottobre 2024, 15:11:33 PM

Nelle condizioni indicate si dice solo che le cifre intermedie devono essere tutte uguali tra loro ma non si dice che ad ogni numero (18, 27 ecc.) le cifre intermedie tutte uguali devono cambiare e non possono essere uguali tra loro. Solo nell'esempio fornito si utilizzavano poi convenzionalmente lettere diverse ma nulla vieterebbe, date le condizioni indicate, che b=c=d ecc. Io avevo pensato che trattandosi di un enigma, l'utilizzo di lettere diverse fosse un modo legittimo e voluto per rendere la soluzione piu' difficile.
Nella mia soluzione la cifra intermedia per tutti i numeri e' data da 9. Infatti:

18*11=198 18*1.111= 19.998
27*11= 297 27*1.111= 29.997
e cosi' via.

Questo succede perche' i numeri da te indicati (18, 27, 36.....) sono in successione dei multipli di 9 (9*2, 9*3 ecc.) ed i multipli di 9 presentano in sequenza la prima cifra pari ad 1 (18), poi pari a 2 (27) ecc. fino ad arrivare ad 8 (81), mentre l'ultima cifra (che nel caso del 9 e' necessariamente anche la seconda) parte da 8 (18), poi scende a 7 (27) ecc. fino ad arrivare ad 1 (81) (questo del resto e' quello che indicavi anche tu "Notate che le prime cifre sono tutte ascendenti (12345678), le ultime tutte discendenti (87654321)", e questo pensavo fosse un suggerimento a notare che i numeri indicati fossero dei multipli di 9).
Da notare che la prima cifra inizialmente pari ad 1, poi 2 ecc, fino ad arrivare ad 8, e l'ultima cifra (nonche' la seconda nel caso di multipli del 9) inizialmente pari ad 8, poi 7 ecc. fino ad arrivare ad 1, e' una caratteristica non solo dei multipli del 9, ma anche dei multipli del 99, 999, 9.999 ecc. (per il 99: 198, 297, 396 ecc., per 9.999: 19.998, 29.997, 39.996 ecc)
Si trattava quindi di introdurre nelle moltiplicazioni proposte (18*a, 27*a .....) il numero 99, o 999, o 9.999 ecc., ma questo e' facilissimo perche' i numeri iniziali proposti, essendo multipli di 9, contengono gia' il 9, e questo basta moltiplicarlo per 11 (e avremo 99), 111 (999), 1.111 (9.999) ecc. Se prendiamo 99, e quindi poniamo a=11, nella prima moltiplicazione (18*a, cioe' 2*9*a) avremo 2*9*11, cioe' 2*99, che e' pari a 198,
nella seconda moltiplicazione (27*a, cioe' 3*9*a) avremo 3*9*11, cioe' 3*99, che e' pari a 297 e cosi' via. Come si vede avremo in successione tutti i multipli di 99, che in quanto tali rispettano la condizione posta in ordine alla prima e all'ultima cifra delle soluzioni ottenute per le varie moltiplicazioni. Stessa cosa se avessimo preso 999 o 9.999 (con a rispettivamente pari a 111 e 1.111).
La soluzione prospettata implica soltanto che le cifre intermedie siano sempre uguali (pari a 9) per le varie moltiplicazioni, ma questo, ripeto, non era esplicitamente escluso o rifiutato nelle condizioni iniziali poste (nell'esempio fatto si utilizzano convenzionalmente lettere diverse per indicare le cifre intermedie, ma trattasi appunto di un esempio e nulla vieta che le diverse lettere possano poi indicare la stessa cifra, in questo caso 9).
Penso pertanto che la soluzione prospettata (a e' qualsiasi numero composto dalla sola cifra 1 (11, 111, 1.111 e cosi' via)) possa essere considerata altrettanto valida di a=987.654.321

Eutidemo · 10 Ottobre 2024, 17:24:01 PM

Ciao Scepis.

Io avevo chiaramente "scritto" e addirittura "esemplificato", spiegando che si trattava di un "AIUTO" per risolvere l'enigma: "Tenete presente che a rappresenta un singolo numero composto da più cifre, mentre bcdefghi rappresentano ciascuno un numero composto una singola cifra (b = 6, c = 8, d = 3 ecc. ecc.)".

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Per cui ritengo che la tua obiezione sia assolutamente priva di fondamento!

Ed infatti, se io, dichiarando espressamente di voler fornire un AIUTO per la soluzione dell'enigma, avessi invece cercato di "confondere le idee" al lettore, sarei stato davvero un ignobile "ingannatore" un grandissimo "bastardo".

Il che, sinceramente, lo trovo un po' offensivo!

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Ed invero, scrivendo che "bcdefghi rappresentano ciascuno un numero composto una singola cifra, ad esempio b = 6, c = 8, d = 3 ecc. ecc. ", e non certo lo stesso numero, avevo chiaramente fatto capire che a tali lettere dell'alfabeto corrispondevano "numeri diversi"; altrimenti avrei scritto xxxxxxxx.
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Un cordiale saluto!

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Scepsis · 13 Ottobre 2024, 18:25:12 PM

Ciao Eutidemo
Tu hai perfettamente ragione su quanto dici nel presupposto di trovarci di fronte ad un problema esclusivamente matematico, di calcolo numerico, in cui l'attenzione e' concentrata sulla risoluzione matematica del problema e per delineare il quadro complessivo e gli elementi costitutivi del problema stesso, i suoi presupposti, bastano sintetiche e concordanti indicazioni, la cui elaborazione si muove nel campo del presumibile e dell'intuibile.
Ma se lo stesso problema viene trattato da un punto di vista logico formale il "presumibile" non basta piu', le indicazioni fornite per chiarire i presupposti del problema non e' sufficiente che siano concordanti, la loro interpretazione non puo' essere considerata solo come intuibile e scontata, ma deve essere univoca e certa, e qualsiasi possibilita', anche la piu' remota ed improbabile, deve essere considerata al pari di quelle piu' probabili e presumibili.
Nel prospettare ed illustrare l'enigma di cui si discute si e' giustamente privilegiata una visione del problema come principalmente di tipo matematico, di calcolo numerico. Di conseguenza i presupposti e le condizioni iniziali poste al problema stesso sono costituite da concordanti indicazioni ed esempi, assolutamente significative nell'ambito di un problema matematico ed esplicite nel chiarire le intenzioni e la volonta' dell'autore.
Il fatto e' che qualsiasi problema puo' essere trattato da un punto di vista logico formale, e quindi concentrando l'attenzione sui presupposti e sulle condizioni iniziali poste, per verificare che i paletti ed i limiti apparentemente fissati, piu' che validi nell'ambito di un problema matematico, lo siano altrettanto nell'ambito di una trattazione logico formale.
Io, che non conoscevo la soluzione a=987.654.321 (e sinceramente non ci sarei mai arrivato), avevo trovato una possibile soluzione (comportante cifre intermedie tutte uguali tra loro) in contrasto pero' con quanto fissato e posto come condizione mediante indicazioni concordanti ed esempi. Si trattava pertanto di verificare che quanto fissato e posto come condizione risultasse ancora valido dopo una verifica logico formale.
Ad opporsi ad una soluzione comportante cifre intermedie tutte uguali tra loro erano esenzialmente due elementi:
a) un esempio fatto in cui le le 8 possibili cifre intermedie, inserite in 8 diverse equazioni, venivano indicate con 8 lettere diverse
b) in un aiuto fornito, ed a puro titolo di esemplificazione, a 3 di queste lettere venivano attribuite specifiche cifre (b=6, c=8, d=3), e si specificava poi "ovviamente i numeri dell'esempio non sono quelli della soluzione".
Questi 2 elementi, tra loro concordanti, davano indicazioni piu' che sufficenti per un problema visto come esclusivamente matematico, e determinavano l'esclusione della soluzione comportante cifre intermedie tutte uguali tra loro.
Trattando pero' il problema da un punto di vista logico formale si vedeva innanzi tutto che mancava una esplicita affermazione che le cifre intermedie dovevano essere tutte diverse tra loro, affermazione univoca e certa che avrebbe eliminato ogni dubbio dal punto di vista formale. In piu' i due elementi "a" e "b" sopra detti, pur costituendo indicazioni concordanti e pertanto assai significative per un problema di tipo matematico, se verificate dal punto di vista formale perdevano la loro significativita', trattandosi solo di esempi ed esemplificazioni.
Relativamente al punto "a" si osserva, tra l'altro, che l'utilizzo di 8 lettere diverse per le 8 possibili cifre intermedie avrebbe potuto essere determinato dalla volonta' di fornire la piu' ampia e generica gamma delle soluzioni possibili (anche nel caso che le cifre intermedie fossero state tutte uguali, utilizzare un'unica lettera avrebbe costituito una precisa indicazione ed un restringimento del campo delle possibilita'). A questo mi riferivo quando dicevo che l'utilizzo delle 8 lettere aveva lo scopo di rendere piu' difficile la soluzione, semplicemente il fatto che cosi' veniva presentata la piu' ampia e generica gamma possibile delle soluzioni, senza restringimento del capo delle possibilita'.
Relativamente al punto "b" trattasi di una semplice esemplificazione, per di piu' seguita dall'osservazione "ovviamente i numeri dell'esempio non sono quelli della soluzione", per cui formalmente come soluzione ad ogni lettera potrebbe assegnarsi qualsiasi cifra tra 1 ed 8, al limite anche una stessa cifra per tutte, in quanto possibilita' non esclusa formalmente.
Allo stesso modo, e per la stessa ragione, anche per il punto "a" potrebbe aversi che dietro le 8 lettere vi sia un'unica ed identica cifra, sempre da un punto di vista formale.
Avevo pertanto ottenuto una soluzione in contrasto con le indicazioni concordanti e valide nell'ambito di un problema considerato di tipo matematico, ma invece sostanzialmente accettabile nell'ambito di un approccio logico formale (in quanto i paletti validi per un approccio del primo tipo venivano meno con un approccio logico formale).
Non conoscendo la soluzione a=987.654.321 (a cui, ripeto, io non sarei mai arrivato), e non sapendo dell'esistenza o meno di altre soluzioni (pur ritenendola molto probabile), mi sono anche chiesto se l'assenza di una esplicita menzione del fatto che le cifre intermedie dovevano essere tutte diverse, cosi' come la natura dei punti "a" e "b" sopra detti (validi per un approccio matematico, ma non per un approccio logico formale) non fosse in qualche modo voluta. Questo, eventualmente, per permettere una soluzione del tipo "tutte le cifre intermedie uguali" superando i paletti posti dai punti "a" e "b" in forza di una verifica formale degli stessi.
A prescindere da questo, comunque, il fatto di introdurre un approccio logico formale permetteva in ogni caso di rendere accettabile la soluzione prospettata (cifre intermedie tutte uguali), eliminando di fatto i vincoli posti da "a" e "b". Per questo ho scritto in un altro messaggio che "la soluzione prospettata (a uguale a qualsiasi numero composto dalla sola cifra 1 (11, 111, 1.111 e cosi' via) possa essere considerata altrettanto valida di a=987.654.321". Il valore di a prospettato e' poi quello che determina a sua volta la soluzione "cifre intermedie tutte uguali" e pari a 9.
Nel primo messaggio inviato sono stato molto sintetico (solo "a uguale a qualsiasi numero composto dalla sola cifra 1 – 11, 111, 1.111 e cosi' via - ), in attesa di conoscere che tipo di risposta avrei avuto (non accettabile in quanto le cifre intermedie sono tutte uguali, oppure va bene nonostante le cifre intermedie siano tutte uguali in quanto i paletti apparentemente fissati non operano in forza di una verifica formale degli stessi, o altre di altro tipo). La risposta mi ha un po' spiazzato, per cui nel secondo messaggio ho cercato soprattutto di chiarire i termini della soluzione proposta lasciando in secondo piano il tema dei paletti presenti nel problema ed i possibili approcci a quest'ultimo (matematico o logico formale), temi che affronto nel presente messaggio.

Faccio una precisazione: tutto quanto ho fin qui detto da' per scontato che un problema che nasce evidentemente come problema matematico possa poi essere trattato e valutato in termini logico formali. Se per regola tacita, o per tradizione consolidata (io ho avuto modo di vedere molti pochi enigmi) questo non e' considerato accettabile, perche' magari si spostano i termini del discorso, si devia l'attenzione da un aspetto gia' sufficientemente complicato come quello matematico, o per qualsiasi altra ragione, io ne prendo atto e tutto il discorso fin qui fatto viene doverosamente meno

Un cordiale saluto

Eutidemo · 14 Ottobre 2024, 11:40:39 AM

Ciao Scepis.

Concordo con te che il problema era molto complicato; e, sebbene io ritenessi di averlo onestamente esposto e semplificato in modo inequivocabile, anche con il mio "aiutino" dubito che fosse un enigma facilmente risolvibile per chiunque.

Io, almeno, sono sicuro che non ci sarei riuscito mai!!!

***

L'unica cosa di cui mi sono reso conto, "giocando a casaccio" con i numeri da 1 a 9, ascendenti, discendenti, addizionati, sottratti, moltiplicati e combinati in modi diversi:

- nella maggior parte dei casi non succede niente di particolare o di strano;

- alla fine, però, in qualche caso, come questo, non so perchè, succedono cose molto singolari (almeno per me che non sono un matematico).

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Un cordiale saluto!

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Rastislav e l'enigma del numero magico

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