Rastilslav e l'enigma della piegatura del foglio

Aperto da Eutidemo, 26 Febbraio 2024, 15:22:56 PM

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Eutidemo

26 Febbraio 2024, 15:22:56 PM
Rastislav entra nella cella di un prigioniero, che è un professore di geometria, e gli consegna un foglio rettangolare (un A4 tagliato a metà, così come nell'immagine qui sotto):
***
Poi gli dice:
- Ora tu devi piegare in due questo foglio, così che l'angolo B in basso a destra tocchi il lato sinistro del foglio; facendo però in modo che la piegatura  risulti "la più corta possibile".-
- Mi puoi fare un esempio?- chiede il prigioniero.
- Certamente - gli risponde Rastislav, piegando il foglio come aveva detto - Considera che questa mia piegatura è solo a titolo di esempio; per cui, essendo fatta a caso, la piegatura CD da me ottenuta non è di sicuro la più corta che si possa ottenere. -
***
- Posso usare penna, righello e compasso?- chiede il prigioniero.
- Certamente!- consente Rastislav -Però il righello non è nè millimetrato nè centimetrato; ed infatti è tutto dipinto di nero!
Inoltre tu, per effettuare la piegatura più corta possibile:
- hai in tutto 3 minuti di tempo a partire da adesso;
- devi riuscirci al "primo tentativo", senza poter fare nessun tipo di prova.
In tal caso ti renderò la libertà; altrimenti morirai!-
***
- Posso piegare il foglio in un altro modo diverso dal tuo, prima di effettuare la piegatura che dici tu, la quale mi deve riuscire al "primo tentativo" ?-
- Sì, però:
- puoi farlo solo per due volte o tre volte al massimo;
- dopodichè, prima di effettuare la piegatura che dico io, la quale ti deve riuscire al "primo tentativo", devi riportare il foglio "spianato" nella sua rettangolare condizione originaria.
***
.
***
- Come se la cava il prigioniero?-
***

bobmax

#1
26 Febbraio 2024, 17:21:45 PM
La distanza, sul lato corto del foglio, dal punto B dovrebbe essere il minimo della funzione:

2X3  / (2X - 21)

Cioè circa 15,75 cm

Perciò a 3/4 della larghezza del foglio.
Tardi ti ho amata, bellezza tanto antica e tanto nuova, tardi ti ho amata. Tu eri con me, mentre io ero lontano da te.

Eutidemo

#2
27 Febbraio 2024, 07:18:22 AM Ultima modifica: 27 Febbraio 2024, 07:36:38 AM di Eutidemo
Ciao Bobmax!
Bravissimo, sei sulla strada giusta! ;)
***
Ed infatti hai azzeccato in pieno il punto in cui deve avvenire la piegatura del foglio "in basso", sul "lato corto" orizzontale; cioè a 3/4 della larghezza del foglio partendo da destra verso sinistra, e ad 1/4 della larghezza del foglio partendo da sinistra verso verso destra.
Vale a dire nel punto D della seguente immagine, che, non potendo usare il righello centimetrato, il prigioniero ha ottenuto:
- per prima cosa piegando il foglio, per lungo, a metà;
- poi  ripiegandolo ancora, per lungo, a metà.
- in tal modo ottenendo il punto D, che si trova a metà della metà del lato di base del foglio (cioè, appunto, ai suoi 3/4).
***
Adesso, però, ti resta da indovinare il punto in cui deve avvenire la piegatura del foglio "in alto", sul "lato lungo" verticale, in modo tale che la lunghezza della piegatura  risulti "la più corta possibile"; ed infatti, per piegare un foglio, occorrono "due punti", in quanto "uno solo" non basta.
***
La difficoltà sta nel fatto che l'angolo  in basso a destra deve toccare, "di punta" il lato lungo sinistro del foglio; come nell'esempio di Rastislav; per cui, se la piegatura è troppo corta,  l'angolo  in basso a destra non arriva a toccare, "di punta" il lato lungo sinistro del foglio .
***
Daiii, che sei già a metà dell'opera!!! ;)
***
Un cordiale saluto! :)
***
P.S.
Sarebbe bene che tu, oltre che con i numeri, ti spiegassi anche con una fotografia e/o con un semplice disegno.
Grazie! :)

bobmax

#3
27 Febbraio 2024, 09:02:33 AM Ultima modifica: 27 Febbraio 2024, 09:09:52 AM di bobmax
Un punto solo basta, Eutidemo.
Stabilito il punto di piegatura in basso, quello in alto è univocamente determinato.

Dista da B:

21X / √(42X - 441)

(Il triangolo BCD prima della piegatura e dopo la piegatura è sempre lo stesso: ha soltanto ruotato)

Perciò con X = 15,75 abbiamo:
Piegatura in alto: 22,27 cm

Perché vuoi farmi fare i disegni...? :'(

Basta quello del principe per dare l'idea.

Piuttosto, come fa il geometra a stabilire di dover dividere per 4 il foglio longitudinalmente?
Perché solo così può impiegare tre minuti.
Per sviluppare la funzione c'ho impiegato ben di più... :(
Tardi ti ho amata, bellezza tanto antica e tanto nuova, tardi ti ho amata. Tu eri con me, mentre io ero lontano da te.

Eutidemo

#4
27 Febbraio 2024, 09:42:03 AM
Ciao Bobmax. :)
BRAVISSIMO!
La tua soluzione mi sembra correttissima; o, quantomeno, dal punto di vista "numerico", corrisponde, più o meno, a quella  che risulta a me (una volta prese, a posteriori, le misure col centimetro).
Anzi, la tua è sicuramente più precisa, considerando i decimali! ;)
***
Il prigioniero, infatti, ha ragionato "a spanne", per cui ha piegato in quattro parti il foglio, supponendo che la lunghezza del cateto inferiore del triangolo formato dalla piegatura del foglio (ipotenusa) e dall'altro cateto verticale, non potesse superare i tre quarti della lunghezza della base del rettangolo costituito dal foglio; altrimenti l'angolo B non avrebbe potuto coincidere con il lato verticale sinistro del rettangolo, oppure avrebbe dato luogo ad una piegatura (ipotenusa) più lunga del necessario.
***
Un cordiale saluto! :)
***
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