Ciao Iano.
Ti prego di scusarmi se non riesco a risponderti adesso, perchè devo scrivere dei testi il cui deposito è in scadenza entro domani .
Spero, che, almeno in parte, la mia risposta a Bobmax risponda alle tue obiezioni; altrimenti, sperando di averne il tempo, cercherò di risponderti domani.
Scusandomi ancora, ti invio i miei più amichevoli saluti!

L'entità geometrica dell'infinitesimo è... l'infinitesimo!
E non si può determinarlo, perché è proprio quella lunghezza che non può essere determinata, sebbene... non sia nulla.

E infatti il punto è definito da concetti che vengono prima, e che sono le dimensioni.
Il punto è la negazione delle dimensioni. E questa è la sua definizione.

Comunque basta, che non c'è peggior sordo di chi non vuole sentire.

Ciao Eutidemo.
Il problema è che tu parli di infinitesimi senza dirci cosa siano, dando per scontato che noi si intenda la stessa cosa che intendi tu.
Proviamo per gioco a darne la seguente definizione in forma di...dialogo.

Eutidemo: Tu dici che l'infinitesimo ha un estensione, ma non sai dirmi la sua lunghezza, ma finché non mi dai la sua lunghezza, non avrai dimostrato che ce l'abbia una estensione.

Iano: Se tu, proponendomi un qualunque numero reale positivo diverso da zero , io ti potessi dire sempre e in modo esatto se la lunghezza dell'infinitesimo, che non è zero,  è più grande, più piccola, o uguale al tuo numero, diresti allora che io conosca quella lunghezza?

Eutidemo: Direi che tu la conosca. infatti non conoscendola come potresti fare il confronto esatto per determinare quale numero è il più grande o se sono uguali.

Iano: Bene, io affermo di poter fare il confronto in modo esatto pur senza conoscere la lunghezza dell'infinitesimo.

Eutidemo: ho difficoltà a crederlo.

Iano: te lo dimostro. Qualunque numero che dirai, diverso da zero, la lunghezza dell'infinitesimo, sarà sempre diversa da zero e sempre minore di qualunque numero reale positivo tu dica.

Eutidemo: Complimenti per il gioco di magia, ma come tutti i giochi di magia hai usato un trucco.

Iano: non è un trucco, è la definizione di infinitesimo.
Secondo questa definizione l'infinitesimo ha una estensione, in quanto la sua lunghezza è sempre maggiore di zero.

Eutidemo: scusa Iano, lo sai che ti voglio bene, e perciò è a malincuore che devo dirti che non mi hai convinto.

Iano: ti voglio bene anch'io Eutidemo, e mi fa dunque piacere dirti che non hai tutti i torti, nel senso che tutta questa dimostrazione non era necessaria. Però siccome tu me l'hai chiesta allora io te l'ho data.

Eutidemo: perchè non era necessaria?

Iano: perchè se io affermo che un infinitesimo ha estensione, ne sto dando una definizione, e una definizione non va dimostrata.

Eutidemo: Ammesso e non concesso. Ma allora, siccome anche un segmento di retta ha estensione, ne segue che un infinitesimo è un segmento di retta.

Iano: no, perchè affermando che un infinitesimo possiede un estensione, ho dato solo una parte della definizione.
Per completare la definizione bisogna dire che la lunghezza dell'infinitesimo è sempre minore della lunghezza di qualunque segmento di retta dato, ciò che non vale per i segmenti di retta.

Eutidemo. maledetto il giorno che ho inventato questo enigma.

Citazione di: bobmax il 04 Luglio 2024, 18:35:17 PML'entità geometrica dell'infinitesimo è... l'infinitesimo!
E non si può determinarlo, perché è proprio quella lunghezza che non può essere determinata, sebbene... non sia nulla.

E infatti il punto è definito da concetti che vengono prima, e che sono le dimensioni.
Il punto è la negazione delle dimensioni. E questa è la sua definizione.

Comunque basta, che non c'è peggior sordo di chi non vuole sentire.

Condivido la tua conclusione

Citazione di: Eutidemo il 05 Luglio 2024, 06:56:34 AM

Ciao Iano.

Non è affatto vero che una "definizione" non debba essere dimostrata; ed infatti, se io mi "definisco" un "avvocato", devo necessariamente dimostrarlo esibendo il mio "certificato di abilitazione professionale" ed il mio "tesserino di iscrizione all'ordine".

Non basta certo che io indossi una "toga da avvocato", per dimostrare di esserlo!

Se tu ti definisci avvocato, ma io non so cosa sia un avvocato, allora io possiedo un esempio di avvocato.
Ma come faccio da questo esempio a risalire alla generalità degli avvocati.
Allora tu mi dai una definizione di avvocato.
Avvocato è colui che possiede un  certificato di abilitazione professionale e possiede  un tesserino di iscrizione all'ordine, che può esibire su richiesta.
Bene, ho capito, ma adesso dammi  una dimostrazione di questa definizione.
Dimostrami che gli avvocati sono davvero quelli che possiedono etc...etc...

Non ti sembra una richiesta di dimostrazione assurda?

Citazione di: Eutidemo il 05 Luglio 2024, 06:56:34 AM

Allo stesso modo definire un "segmento infinitesimale di retta" come qualcosa di diverso da un "punto", non equivale a dimostrarlo; anzi, a me sembra contraddittorio.

***

Contraddittorio rispetto a cosa?
Rispetto all'idea che tu ti sei fatto di qualcosa che però ufficialmente non esiste finché non viene definito.
Un ente matematico non esiste finché non viene definito, appunto.
Una volta che qualcuno da una definizione matematica un ente matematico inizia la sua esistenza.
Se mi chiedi di dimostrare che quell'ente esista davvero, cosa altro posso fare se non mostrati  il suo atto di nascita, cioè la sua definizione?
Tu al massimo mi puoi chiedere di dimostrati che quella definizione non sia autocntraddittoria, cioè che si tratti effettivamente di una definizione.
Una volta dimostrato che la definizione è corretta essa non può più essere messa in discussione.
Al massimo si può mostrare disinteresse per essa.
La vera contraddizione sta nel fatto che tu dici di non capire ciò che dimostri invece di aver capito, perchè quando ti ''definisci'' un avvocato ''fra virgolette'', sai di stare usando il termine definizione in modo volutamente ambiguo.
Quando ho detto che il tuo enigma era ingegnoso intendevo appunto che fosse basato su una voluta ambiguità lessicale.
Che si trattasse cioè di un istruttivo gioco verbale volto a mettere in luce le ambiguità in cui con facilità possiamo cadere.
Un avvocato non esiste finché non viene fatta la legge che istituisce l'albo degli avvocati.
Seppure qualcuno prima di quella legge parlasse di avvocati, adesso di quei tipi che avvocati venivano detti bisognerà dimenticarsene, per fare riferimento solo alla definizione di avvocato data dalla legge vigente.
Dal momento che la legge c'è, gli avvocati sono solo quelli che la legge dice.
Avvocato non è chi avvocato fa, ma chi la legge dice che ''è'', ed essendo è autorizzato ad esercitare la professione.

La tua risposta all'enigma non è ne giusta ne sbagliata, finché non è chiaro a cosa tu ti stia riferendo davvero, lasciando che noi ci si arrivi da soli, e mancando un accordo di fondo ognuno potrà dire quel che vuole.

Tieni conto che il concetto di infinitesimo, introdotto da Leibnitz , è cambiato per i matematici nel tempo, e io non ti saprei neanche dire quale sia ''l'attuale'' definizione di infinitesimo.
Se tu lo usi in modo improprio, consolati, perchè anche Leibnitz lo usava in modo improprio.
Però il bello della matematica è che nessuno può impedirti di esplicitare la tua idea di infinitesimo dandone una tua personale definizione, e in particolare che sia una definizione che renda ''esatta'' la tua soluzione.

Citazione di: Eutidemo il 05 Luglio 2024, 11:27:50 AM

Ciao Iano.

Per quanto mi riguarda, il "punto" esiste, sia pure solo astrattamente,  perchè "io" riesco a concepirlo come tale; non mi interessa affatto che, ufficialmente, esso non esista finché non viene definito, in un certo modo, dai matematici (fosse pure Euclide).

In effetti, se tutti possediamo l'idea di qualcosa, perchè dovremmo definirla, correndo il rischio che ciò che definiamo non corrisponda alla idea che ne abbiamo?
Nel farlo ci sono dei pro e contro.
I contro sono che una volta data la definizione del qualcosa dovremo dimenticarci dell'idea che ne avevamo, per evitare di cadere in contraddizione.
I pro sono che saremo adesso certi di star parlando della stessa cosa, quello che appunto manca nella formulazione dei tuoi enigmi, per cui ogni soluzione diversa è potenzialmente giusta, riferendosi ognuna in effetti a una diversa interpretazione dell'enigma, cioè di fatto a un diverso enigma.
Detto in altre parole, i tuoi enigmi sono a volte ambigui, e ciò sarebbe accettabile solo se fossero volutamente ambigui, cioè se fossero basati sull'ambiguità del linguaggio, volendola porre cosi' in evidenza a scopo didattico.
Diversamente l'unico valore dei tuoi enigmi è che ci aiutano a capire cosa passa per la testa di Eutidemo, cosa che a me comunque interessa.

Citazione di: Eutidemo il 05 Luglio 2024, 14:36:49 PM

Ed infatti io avevo semplicemente chiesto: "Qual'è l'entità geometrica che costituisce la distanza minima tra il punto A ed il punto B?"

Più chiaro di così si muore!

***

Per cercare di sopravvivere proviamo a riscriverla allora. 

Qual'è quell'entità geometrica , fra tutte le possibili che possiedano un estensione, quella che possieda l'estensione minima fra loro, e che rispettino tutte la condizione di ''stare fra A e B'', laddove mi riservo  in separata sede di definire il significato di ''stare fra A e B''.
Segue definizione....

Penso che si possa fare anche meglio, ma direi che siamo sulla buona strada.