Enigma dell'orologio

bobmax · 05 Febbraio 2024, 17:13:11 PM

È mezzogiorno, il principe entra nella cella e indica al prigioniero l'orologio della torre, visibile attraverso le grate della finestrella, dicendogli:

"0ra le lance dell'orologio della torre sono sovrapposte, essendo mezzogiorno.
Dimmi, seduta stante, quante volte torneranno a sovrapporsi nei prossimi due giorni.
Se risponderai correttamente sarai libero!"

Il prigioniero non era un orologiaio, ma dopo una breve riflessione riuscì a tornare libero!
Cosa rispose?

Eutidemo · 05 Febbraio 2024, 19:16:33 PM

Ciao Bobmax.

Verrebbe spontaneo rispondere "d'abbrivio" che, se "ora" le lancette dell'orologio della torre sono sovrapposte, essendo mezzogiorno di "oggi", esse (escluso il giorno corrente), torneranno a sovrapporsi quattro volte nei prossimi due giorni; ciascuno dei quali avrà una mezzanotte ed un mezzogiorno.

Ma sarebbe troppo facile!

***

Ed infatti le lancette delle ore e dei minuti non si sovrappongono soltanto a mezzanotte e a mezzogiorno, bensì molte altre volte nel corso della notte e del giorno.

***

Già, ma "quante volte"?

Io sono una pippa in matematica, ma ora provo lo stesso a fare il conto.

***

Dunque:

1)

La lancetta dei minuti compie una rotazione completa del quadrante in 60 minuti, mentre, quella delle ore compie una rotazione completa del quadrante in 12 volte 60 minuti; il che vuol dire che la lancetta delle ore è 12 volte più lenta di quella dei minuti.

2)

Ciò vale a dire che:

- la lancetta dei minuti, in 60 secondi, farà un "sessantestimo di rotazione completa del quadrante";

- la lancetta delle ore, invece , in 60 secondi, farà un "dodicesimo di un un sessantesimo di rotazione completa del quadrante" (perchè è 12 volte più lenta di quella dei minuti), è, cioè, poichè 60 x 12 fa 720, farà un "settecentoventesimo di rotazione completa del quadrante"!

***

Ciò premesso, se "ora" le lancette dell'orologio della torre sono sovrapposte, essendo mezzogiorno di "oggi", tra quanto tempo si sovrapporrano di nuovo?

Quindi l'"incognita" ("i") che dobbiamo cercare, è il numero di minuti che ci vorranno perchè le due lancette di sovrappongano nuovamente.

***

Per cui, affinchè le due lancette si incontrino di nuovo, la lancetta dei minuti dovrà fare un ignoto numero di giri rispetto a 60 rotazioni complete del quadrante, mentre la lancetta delle ore dovrà fare un corrispondente ignoto numero di giri rispetto a 720 rotazioni complete del quadrante.

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Ma la differenza tra i due tragitti delle lancette, dovrà per forza coincidere con "un giro"; cioè, con il "giro" che le farà di nuovo sovrapporre, ovunque esso si trovi dopo il mezzogiorno.

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Per cui, a tal fine:

a)

Il numero di giri della lancetta dei minuti diviso 60 deve essere uguale a 1.

b)

Il numero di giri della lancetta delle ore diviso 720 deve essere anche lui uguale a 1.

***

Per cui, se non ho sbagliato i conseguenti "conteggi in frazione", (che qui non riesco a riprodurre in modo chiaro perchè il "format" non me lo consente), la prima nuova sovrapposizione tra le due lancette, dovrebbe avvenire esattamente un'ora e sessanta undicesimi di minuto dopo mezzogiorno; vale a dire un'ora + 5 minuti + circa 27,27 secondi (cinque undicesimi di minuto), e, cioè, circa dopo 65,27 minuti dopo il mezzogiorno rilevato da Rastislav.

E così via di seguito!

***

E poichè i due giorni successivi a quello in corso al momento del rilevamento da parte di Rastislav sono composti da 2.880 minuti, poichè 2.880 : 65,27 = 44 (circa), ciò vuol dire che i tali due giorni, le lancette delle ore e quelle dei minuti torneranno a sovrapporsi circa 44 volte.

Nel giorno in corso al momento del rilevamento da parte di Rastislav, invece, le due lancette, nelle restanti 12 ore, si dovrebbero incontrare ancora 11 volte circa.

***

Però, concludendo, ammesso e non concesso che io abbia indovinato il "metodo" per risolvere il problema (cosa di cui dubito molto, perchè il prigioniero ha risposto subito), sono sicuro che, almeno in qualche punto, ho senz'altro sbagliato qualche calcolo; come sempre mi accadeva a scuola.

Della qual cosa chiedo eventualmente venia sia a te che agli altri lettori!

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Un cordiale saluto!

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Phil · 05 Febbraio 2024, 19:31:47 PM

A mente direi che ogni ora la lancetta dei minuti si sovrappone una volta a quella delle ore, quindi direi 48 volte, se includiamo anche il mezzogiorno "attuale" e quello del secondo giorno.

bobmax · 05 Febbraio 2024, 19:52:33 PM

Citazione di: Phil il 05 Febbraio 2024, 19:31:47 PMA mente direi che ogni ora la lancetta dei minuti si sovrappone una volta a quella delle ore, quindi direi 48 volte, se includiamo anche il mezzogiorno "attuale" e quello del secondo giorno.

Così sembrerebbe, ma...

bobmax · 05 Febbraio 2024, 23:01:29 PM

Eutidemo sei tremendo. Complimenti per i calcoli che non sono proprio banali...

Sì, le lance dell'orologio si sovrappongono 44 volte!

Penso che il prigioniero abbia ragionato diversamente, senza fare calcoli accurati, visto il poco tempo a disposizione.
Perciò considerando che la lancia dei minuti impiega più di un'ora tra una sovrapposizione e l'altra. E nell'arco delle 12 ore, si sovrappone a quella delle ore ogni volta un po' più in là rispetto all'ultima ora appena completata.
Per infine coincidere quando sono nuovamente le 12.

Senza perciò fare calcoli sui minuti e i secondi, si può desumere che la lancia dei minuti raggiunga quella delle ore 11 volte.

Eutidemo · 06 Febbraio 2024, 06:14:01 AM

Ciao Bobmax.

Come al solito, hai ragione; ho, sì, indovinato, però facendo un sacco di calcoli inutili e ridondanti, solo per calcolare i minuti esatti ed i secondi dopo la virgola!
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Ed infatti, senza stare tanto a lambiccarsi il cervello ed a fare noiosissimi calcoli, è ovvio che se le due lancette verranno di nuovo a coincidere sulle ore 12 anche la prossima volta, questo vuol dire che, tra mezzogiorno e mezzanotte, la lancetta dei minuti raggiungerà quella delle ore per 11 volte, spostandosi ogni volta un po' più in avanti sul quadrante dell'orologio.

Per cui sono stato uno sciocco a complicare tanto la faccenda, solo per calcolare i minuti esatti ed i secondi dopo la virgola!

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Un cordiale saluto!

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Phil · 06 Febbraio 2024, 10:57:27 AM

Credo che il prigioniero sia stato rapido nel rispondere perché abbia giustamente considerato come l'ultima ora, quella che inizia alle 11, non ha una sovrapposizione delle lancette, perché alle 11:55 non sono ancora sovrapposte (dato il vantaggio accumulato di quella delle ore) e quando si sovrappongono, sono ormai le 12. Quella sovrapposizione vale, nel computo, per due ore: quella delle 11 e quella delle 12. Dunque ogni ciclo di 12 ore ha 11 sovrapposizioni; 4 cicli (48 ore), 44 sovrapposizioni (qui un orologio "manipolabile": https://www.visnos.com/demos/clock).

bobmax · 06 Febbraio 2024, 11:49:49 AM

Citazione di: Phil il 06 Febbraio 2024, 10:57:27 AMCredo che il prigioniero sia stato rapido nel rispondere perché abbia giustamente considerato come l'ultima ora, quella che inizia alle 11, non ha una sovrapposizione delle lancette, perché alle 11:55 non sono ancora sovrapposte (dato il vantaggio accumulato di quella delle ore) e quando si sovrappongono, sono ormai le 12. Quella sovrapposizione vale, nel computo, per due ore: quella delle 11 e quella delle 12. Dunque ogni ciclo di 12 ore ha 11 sovrapposizioni; 4 cicli (48 ore), 44 sovrapposizioni (qui un orologio "manipolabile": https://www.visnos.com/demos/clock).

Sì, avrebbe pure potuto considerare che la prima sovrapposizione avviene dopo un'ora cinque minuti e oltre...

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