Eutidemo, nel tuo percorso autonomo di scoperta della matematica, sei sulla buona strada.
Forse questo forum non è il posto migliore cui rivolgere i tuoi dubbi, ma ti dò due indizi:
1. Digita Evariste Galois sul motore di ricerca.
2. Il passo autonomo successivo che devi fare è trasformare la tua molto intelligente domanda ''che cosa cambia se io faccio questa azione ''sul foglio'' '' in ''che cosa non cambia''.

Ti ho lasciato con un bel enigma lo so, ma so anche che ti piacciono, quindi.... peggio per te.

Ti dò un aiutino. Che cosa cambia se io traslo e/o faccio ruotare  il foglio sul piano del tavolo?
Non cambia nulla, ovviamente.
Ma in effetti non c'è nulla di ovvio, e questa è la chiave che apre la porta della geometria moderna.
Di ovvio c'è solo che se io faccio un azione devo aspettarmi un cambiamento, e che quando questo cambiamento non avviene  ciò è da considerare notevole.
In senso moderno ogni geometria viene caratterizzata da azioni conservative, che non generano cioè cambiamenti, o che lasciano le figure della geometria invariate.
Le geometrie solida e piana non sono due geometrie, ma una, sono infatti due modi di declinare la geometria Euclidea la quale si caratterizza per il fatto che le sue figure restano invariate per traslazione e rotazione.
Si possono poi fare esempi di questa geometria in una dimensione, oppure in 2,3, 4, 5 e quante altre se ne vuole.

Citazione di: Eutidemo il 06 Ottobre 2023, 07:07:44 AM

CONCLUSIONE

Io posso ideare "ben distintamente" nella mia mente un "triangolo dritto" ed un "triangolo  capovolto" (ed anche un "trapezio dritto" ed un "trapezio capovolto") ; però non potrò mai ideare "distintamente" nella mia mente un "cerchio dritto" ed un "cerchio  capovolto" (nè un "quadrato dritto" ed un "quadrato  capovolto").

Quindi, tutto sommato, forse, si può dire che le "figure regolari" e i "solidi regolari", non possono "geometricamente" cambiare in caso di "traslazione e rotazione"; mentre invece, almeno in molti casi, qualcuno di essi può senz'altro cambiare, per "traslazione e rotazione", sotto un profilo "concettuale-ideativo", per non dire anche "grafico" e "architettonico".

Senza considerare il diverso significato "simbolico" e "filosofico" dei due tipi di triangolo!

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Un cordiale saluto!

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P.S.

Fuori argomento, un cilindro la cui base abbia il diametro di un "punto", secondo te non potrebbe, in un certo senso, definirsi un "segmento di retta in uno spazio tridimensionale"?

Se tu dici, ''prendiamo ad esempio un cilindro'' e lo disegni, difficilmente disegneresti un segmento, anche se si tratta ancora in effetti di un cilindro con aria di base zero, ma si tratta parimenti di diversi solidi con area di base sempre zero. Quindi un segmento è un cilindro, ma non un buon esempio di cilindro.
Ma quello che è più importante notare è che tu non hai detto ''prendiamo ad esempio un ''cilindro dritto'' oppure un ''cilindro capovolto'' perchè sai che entrambi sono un buon esempio di cilindro.
Cioè non un esempio particolare, come può essere un segmento, ma un esempio generale.
Tutto ciò può sembrare ovvio e banale, ma in effetti non lo è.
Ciò è vero nella geometria di Euclide, ma in altri tipi di geometria non lo è.
Al moltiplicarsi di tipi di geometria diverse, a partire dalla scoperta delle geometrie non euclidee, il nostro Evariste Galois si accorse di poterle classificare tutte in base alle loro ''invarianze''.
La geometria euclidea si caratterizza per il fatto che quando dici ''prendiamo ad esempio un cilindro'' lo puoi disegnare dritto o capovolto e si tratta dello stesso cilindro, se non cambiano altezza e area di base.
Per caratterizzare un triangolo basta dare due lati e l'angolo compreso, oppure un lato e i due angoli che insistono sul lato, e non devi dire se è dritto o storto.
In altri tipi di geometria lo devi dire perchè in esse le figure non sono invariati per traslazione o rotazione, ma sono invariati per altri tipi di azione.
In sostanza ad ogni diverso gruppo di invarianze corrisponde una diversa geometria.
A memoria mi sembra di aver letto che nello spazio tempo di Einstein le figure traslando a velocità prossime a quelle della luce non mantengono le loro dimensioni di altezza, lunghezza, larghezza.
Quindi non si tratta di uno spazio euclideo.
Sto abbozzando perchè non sono un esperto dello spazio tempo, ma anche se inventato questo è un buon esempio di spazio geometrico non invariante per traslazione.

La geometria è lo studio delle figure spaziali.
E le figure spaziali sono una astrazione di ciò che fa parte dello spazio.
Perciò la geometria è tutta fondata su un presupposto: lo spazio.

Il concetto di spazio determina ogni successiva considerazione geometrica.
A seconda di come è definito lo spazio, avremo una corrispondente geometria.

Se limitiamo lo spazio a solo due dimensioni, avremo una geometria piana. Se a tre sarà solida. Se più di tre avremo una geometria dell'iperspazio.

Se due rette parallele non si incontrano mai avremo la geometria euclidea, in caso contrario una geometria non euclidea.

Insomma, sempre si tratta di quale è il concetto di spazio utilizzato.

Ma il concetto di spazio, non è forse come è inteso dall'osservatore?
È l'osservatore a determinare, consapevolmente o meno, quale spazio considerare.

Se traccio una riga su un foglio, le mie considerazioni in merito faranno riferimento alla geometria piana, se il foglio rappresenta per me un piano.
Ma se arrotolo il foglio, allora è implicito che la geometria è ora per me spaziale.

Almeno che... una parte di me resti nella bidimensionalità!

Per cui sono allora scisso, tra chi osserva una realtà tridimensionale e chi, viceversa, considera la eventualità di uno spazio bidimensionale dove gli estremi di una retta si toccano.

Sì, Eutidemo, la realtà supera ogni nostra sua modellazione.
La geometria genera modelli di interpretazione della realtà.
Può anche inventare modelli che magari non corrispondono a nessuna realtà. Come nel caso di un iperspazio.
Ma comunque vi è sempre uno iato incolmabile tra la geometria e la realtà.
Nessuna figura geometrica esiste davvero.
È sempre e solo una astrazione.
Una astrazione utile, perché permette di maneggiare ciò che altrimenti resterebbe inaccessibile.
Ma si tratta pur sempre di astrazioni, nulla di reale.

Il modello geometrico che decidiamo di utilizzare è valido finché non entra in contraddizione con la realtà.
Quindi la geometria piana è una utile semplificazione per molte necessità. Ma quando non è più sufficiente occorre cambiare modello.

E il modello da utilizzare lo decide sempre l'osservatore. Magari dopo aver picchiato la testa per aver utilizzato un modello insufficiente...

Se incurvi il foglio bidimensionale, lo hai trascinato dalla bidimensionalità nella tridimensionalità.
Cioè è andato a far parte della geometria solida.

La superficie di una sfera, per esempio, è ancora bidimensionale, ma di una bidimensionalità che deve rispettare i requisiti della tridimensionalità in cui si trova.
Difatti, un triangolo su di una superficie sferica non rispetta il vincolo della somma degli angoli = 180°. Che invece vi è nel piano.

Citazione di: Eutidemo il 06 Ottobre 2023, 12:55:34 PM

Comunque, per "tornare a bomba", mi sembra indubbio che se io incurvo un foglio piano in uno "spazio tridimensionale",  sempre un "foglio bidimensionale" rimane; come nel mio ultimo enigma di Ratislav.

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Per cui, secondo me, ci troviamo in una sorta di "limbo" tra "spazio bidimensionale" e "spazio tridimensionale"; che, secondo me, abbisognerebbe di una sorta di "geometria curva".

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Però tieni sempre presente la mia ingenua ignoranza e grossolana incompetenza in materia.

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Un cordiale saluto!

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Quando tu parli di geometria piana o geometria solida non sò quanto sei consapevole che parli di una sola geometria, quella euclidea, declinabile in geometria piana o solida.
La geometria piana in sostanza è una geometria solida dove una delle tre coordinate cartesiane che servono ad individuare un punto viene fissata, resa costante k, ad esempio zero. K=0.
E' una situazione simile a quella del cilindro che diventa segmento ponendo l'area di base A=0.
Si possono individuare i punti di un foglio piano con due coordinate, oppure se lo arrotoliamo con tre coordinate.
Nel caso del foglio arrotolato possiamo decidere di utilizzarne ancora due, ma dovremo passare per un limbo, che ci porta dalla geometria euclidea a una diversa geometria, non più euclidea.
C'è un limbo da attraversare come hai ben intuito.
Quindi possiamo ancora trattare un foglio arrotolato, come tu ancora intuisci, come fosse ancora un piano (due sole coordinate per individuare un punto), ma non sarà più un piano della geometria euclidea. In una geometria non euclidea succedono cose strane.
Può succedere ad esempio che due rette parallele si incontrino in un punto.
Perchè succede? E' una cosa poco intuitiva in effetti.
Cerchiamo di chiarire perchè succede nella geometria euclidea che due rette parallele non si incontrano mai.
Il nostro intuito ci dice che le rette non si incontrano mai.
Ma la causa per cui le rette non si incontrano mai non ''è il nostro intuito'', né la causa è che non occorre una causa, perchè è evidente che è così.
La causa è che la geometria euclidea sottosta ad un assioma detto ''assioma delle parallele'', e il fatto che questa geometria ''sottostà'' inoltre al nostro intuito è un di più.
Il nostro intuito è legato alla geometria euclidea.
A volte riusciamo ad usare l'intuito anche in alcune geometrie non euclidee, perchè riusciamo a fare di quelle un modellino ''euclideo'' corrispondente, ma in genere non è così.
Quando i modellini non ci sono, allora ci si trova di fronte a un limbo.
Può essere una situazione spiacevole quanto eccitante.

Ci si potrebbe chiedere perchè impelagarsi in geometria non euclidee fuori dalla portata del nostro intuito.
Dicono perchè queste geometrie si applicano utilmente alla realtà.
Si può negare tutto ciò, ma ci si mette in una situazione simile a quella dei terrapiattisti.
Possiamo pure prendere in giro i terrapiattisti, ma rischiamo di entrare poi in un meccanismo simile.
Se i terrapiattisti esistono c'è un motivo, anche se il motivo non è che la terra è piatta.
Il motivo è che c'è sempre un limbo, un orizzonte, oltre i quali si è liberi di decidere di non andare.

Citazione di: Eutidemo il 06 Ottobre 2023, 12:55:34 PM

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Ed infatti tu hai scritto "Il concetto di spazio, non è forse come è inteso dall'osservatore? È l'osservatore a determinare, consapevolmente o meno, quale spazio considerare!"

Il che è senz'altro vero a livello "mentale", ma un po' meno a livello "fisico".

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Ed infatti, se l'"osservatore" scavalca una finestra, in quanto, sotto l'effetto di droghe, ritiene che "il piano" del pavimento prosegua anche fuori della finestra, si spiaccicherà comunque sei piani più in basso, sul "marciapiede"; ed infatti, anche se è vero che è l'osservatore a determinare, consapevolmente o meno, quale spazio considerare, lo "spazio reale" se ne frega, e si regola come pare a lui, a prescindere da come viene considerato dall'"osservatore"!

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Lo ''spazio reale'' che tu opportunamente virgoletti non esiste secondo me. Esiste una realtà a cui applichiamo i nostri spazi, in modo più o meno consapevole.
''Noi'' siamo ancora un applicazione inconsapevole, ma sempre meno inconsapevole, dello spazio euclideo alla realtà.
La stesura della geometria da parte di Euclide è stato il primo passo verso la consapevolezza di questa applicazione.
Questa consapevolezza ha reso possibile immaginare nuove geometrie la cui applicazione, con nostra sorpresa, si è rivelata non meno utile di quella euclidea.
Come è stato possibile questo?
E' stato possibile perchè nel momento in cui acquisti coscienza di qualcosa allora la affermi in modo esplicito, e una volta che l'hai esplicitata la puoi anche negare per vedere ''l'effetto che fà'', e l'effetto è stato positivo. E' stato così dimostrato che la geometria Euclidea non è la geometria che descrive lo spazio corrispondente alla realtà. Si può pensare che nuove geometrie vi corrispondano, ma credo che non lo si potrà mai dimostrare.
Nel senso che potremmo anche trovare quella geometria, senza poter esser certi che lo sia.

Rischiamo di precipitare oltre il pavimento solo se è vero che
1. C'è una geometria che corrisponde alla realtà.
2. Noi consociamo quella geometria in modo certo, perchè è stato dimostrato ( non basta l'evidenza, l'intuito, non basta ''è così'' perchè è ''così'')
3. Decidiamo deliberatamente di contravvenire alle indicazioni di quella geometria.
 Non rischiamo di precipitare oltre i limiti del piano, perchè in qualche modo siamo sempre dei terrapiattisiti inconsapevoli.
Non conosciamo i limiti del piano, e non conoscendoli non possiamo deliberatamente superarli.
Ma un giorno un nuovo Euclide esplicita quei limiti, si prende allora coscienza, si afferma e quindi poi si nega, e il ciclo prosegue.

I veri terrapiattisti sono quelli che interrompono il ciclo, rifiutando di far seguire la negazione all'affermazione.
Essi possono rifiutarsi però in quanto consapevoli.
Viviamo sempre in un mondo piatto che deriva dall'applicazione dei nostri spazi alla realtà, finché non prendiamo coscienza di ciò, e allora possiamo scegliere in che mondo vivere.
Ma finché non possiamo scegliere non abbiamo alternative, ci viviamo e basta.

A onor del vero le cose stanno in modo un pò diverso.
Restiamo ancorati al vecchio mondo euclideo perchè non riusciamo a vivere i nuovi mondi, e forse non riusciremo mai a viverli.
In fondo per ''colonizzare'' il mondo euclideo, noi esseri viventi, ci abbiamo messo miliardi di anni, e non abbiamo più tutto quel tempo.
Questo però non è un buon motivo per negare i nostri nuovi mondi, anche se è ben scusabile chi li nega.
Se però li nega è perchè  comunque li ha fiutati, anche se decide di restare in un limbo fra vecchio e nuovo mondo.

Citazione di: Eutidemo il 07 Ottobre 2023, 07:10:43 AM

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1)

Tu scrivi che "Un cilindro diventa segmento ponendo l'area di base A=0"; ma non sono sicuro che tale affermazione corrisponda a quella mia, e, cioè, che "Un cilindro diventa segmento ponendo l'area di base A=un punto".

Ed infatti se un "punto" fosse uguale allo "zero", secondo me un  cilindro con l'area di base A=0 non sarebbe un "segmento"; ed infatti, un "segmento" costituito da "zero punti" non avrebbe alcuna lunghezza.

Non riesco a seguirti su questo ''punto'' , ma mi sembra la conferma, anche se tu lo neghi, di una tua difficoltà di accettazione dello zero come numero.

Citazione di: Eutidemo il 07 Ottobre 2023, 07:10:43 AM

Poi tu scrivi che "il nostro intuito (ed Euclide) ci dicono che due rette parallele non si incontrano mai".

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Ma questo accade solo se consideriamo le due rette parallele perpendicolari a 90% su una terza retta tracciata sulla "superficie di un cubo";

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Non accade, invece, se consideriamo le due rette parallele perpendicolari a 90% su una terza retta tracciata  sulla "superficie di una sfera";

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Non capisco per quale motivo devi disegnare due rette parallele su un cubo, se non per porre le premesse per confonderti le idee.

Nella geometria euclidea due rette parallele non si incontrano per definizione. Se invece si incontrano le possibilità sono due:
1. Non sono parallele.
2. Non siamo in uno spazio euclideo.

In uno spazio non euclideo due rette parallele potrebbero incontrarsi.
Per aiutarci a comprendere ciò possiamo fare un modellino euclideo dello spazio non euclideo.
Si tratta propriamente della sfera che hai disegnato tu.
Però poi non bisogna confondere lo spazio non euclideo col suo modellino euclideo.

Citazione di: Eutidemo il 07 Ottobre 2023, 07:10:43 AM

Infine tu scrivi: "Lo ''spazio reale'' che tu opportunamente virgoletti non esiste secondo me. Esiste una realtà a cui applichiamo i nostri spazi, in modo più o meno consapevole."

Secondo me, quello che esiste è solo lo "spazio tridimensionale"

Più esattamente credi che esista solo lo spazio tridimensionale euclideo.
La precisazione è necessaria perchè i matematici credono che esistano anche spazi tridimensionali non euclidei.
E non solo, credono che esistano spazi ad N dimensioni dove N=1,2,3,4,...
 dove nessun numero che indichi le dimensioni dello spazio sia privilegiato rispetto agli altri, dove cioè nessun numero, compreso il 3,  abbia un significato speciale.
Però è vero che il 3 fino a un certo punto ha avuto un significato speciale e per molti ancora lo ha.