Monty Hall e il paradosso dei due giocatori!

Eutidemo · 21 Aprile 2021, 14:42:58 PM

Come già ampiamente trattato in questo Forum (da me e da altri anche meglio di me), il classico gioco a premi "Let's Make a Deal", condotto da Monty Hall, prevede:
- un conduttore;
- un singolo giocatore;
- tre porte;
- due capre;
- un'automobile.
***
Vi propongo una piccola modifica del gioco, e, cioè:
- un conduttore;
- due giocatori, A e B;
- tre porte, 1, 2 e 3;
- due capre;
- un'automobile.
***
Dopo di che:
a)
Mentre il giocatore B è chiuso nel suo camerino (dietro le quinte) il giocatore A sceglie una delle tre porte, la n.1, il cui contenuto non viene ancora rivelato nè a lui nè a nessun altro, perchè la porta rimane chiusa (il conduttore, però, ovviamente sa ciò che si nasconde dietro ciascuna porta).
b)
Il conduttore apre una delle due porte non scelte, la 3, facendo vedere che dietro c'è una capra, e offre al giocatore la possibilità di cambiare la sua scelta da 1 a 2.
c)
Il giocatore A cambia scelta, optando per la porta 2, in quanto, considerando separatamente il "sottoinsieme" delle porte 2 e 3, le quali, in origine, avevano entrambe 1/3 di probabilità di nascondere un'automobile, lui ne deduce che, se dietro la porta 3 c'è una capra, ne consegue necessariamente che le probabilità di nascondere un'auto della porta 2 crescono a 2/3 (quindi, altrettanto necessariamente le probabilità di nascondere un'auto della porta 1 restano di 1/3, per cui il giocatore A ritiene che gli convenga "matematicamente" cambiare scelta, e puntare sulla porta 2).
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d)
A questo punto, Monty Hall richiude la porta 3 e non rivela ancora dove si trova l'automobile, ma invita il giocatore A ad andare a rinchiudersi nel camerino, ed a far venire in scena il giocatore B senza rivelargli quello che è successo in sua assenza.
e)
Mentre il giocatore A è chiuso nel suo camerino (dietro le quinte) il giocatore B sceglie una delle tre porte, la n.2, il cui contenuto non viene ancora rivelato nè a lui nè a nessun altro, perchè la porta rimane chiusa (il conduttore, però, ovviamente sa ciò che si nasconde dietro ciascuna porta).
f)
Il conduttore apre una delle due porte non scelte, sempre la 3, facendo vedere che dietro c'è una capra, e offre al giocatore la possibilità di cambiare la sua scelta da 2 a 1.
g)
Il giocatore B cambia scelta, optando per la porta 1, in quanto, considerando separatamente il "sottoinsieme" delle porte 1 e 3, le quali, in origine, avevano entrambe 1/3 di probabilità di nascondere un'automobile, lui ne deduce che, se dietro la porta 3 c'è una capra, ne consegue necessariamente che le probabilità di nascondere un'auto della porta 1 crescono a 2/3 (quindi, altrettanto necessariamente le probabilità di nascondere un'auto della porta 2 restano di 1/3, per cui il giocatore B ritiene che gli convenga "matematicamente" cambiare scelta, e puntare sulla porta 1).
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***
A questo punto, Monty richiama in scena il giocatore A, e, in presenza di entrambi, apre la porta dietro cui è nascosta l'automobile.
Secondo voi quante sono le probabilità di vincere l'automobile di ciascuno dei due giocatori?
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Più in particolare, secondo voi :
1)
Quali sarebbero i calcoli più attendibili degli spettatori, circa le probabilità di vincere l'automobile da parte di ciascuno dei due giocatori?
2)
Sarebbe cambiato il calcolo delle probabilità del giocatore A, se B non avesse cambiato anche lui la sua scelta (e viceversa).
3)
Infine, ritenete che si possa effettuare un calcolo "oggettivo" delle probabilità, nel caso del "doppio giocatore" da me prospettato, a prescindere dal punto di vista di A, di B e degli spettatori?
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R.S.V.P.
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MIA IPOTESI DI SOLUZIONE
Se io dovessi tentare di ipotizzare una risposta, penso che prenderei "l'aire", soprattutto fondandomi sulla distinzione concettuale tra:
A)
La "conoscenza appresa a seguito di informazione", la quale si acquisisce grazie a ciò che sperimentiamo direttamente, ovvero che ci riferiscono persone degne di fede.
B)
La "conoscenza appresa a seguito di deduzione", la quale si acquisisce grazie a ciò che possiamo "inferire" da ciò sperimentiamo direttamente, ovvero da ciò che ci riferiscono persone degne di fede.
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Ad esempio, dopo aver personalmente misurato l'area dei quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo, ovvero in base a quanto ci viene comunicato al riguardo, senza neanche dover misurare la lunghezza dell'ipotenusa e senza dover chiedere che ci venga rivelato niente al riguardo, già sappiamo benissimo, per deduzione, quale sia la sua area.
Per cui, se Monty mi rivelasse che, con riguardo ad un determinato triangolo rettangolo, il quadrato costruito sul cateto A è uguale a 50, e che il quadrato costruito sul cateto B è uguale a 70, io non ho alcun bisogno di chiedergli: "Va bene, ma quanto è grande il quadrato costruito sull'ipotenusa?"
Ed infatti, so benissimo, per deduzione, che non potrebbe rispondermi altro che: "120!"
Ed infatti, si tratta di una "conoscenza appresa a seguito di deduzione", che vale esattamente quanto una "conoscenza appresa a seguito di informazione".
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Fuor di metafora, se io scelgo la porta 1, e Monty mi rivela che, tra la porta 2 e la porta 3, dietro la porta 3 c'è una capra, qualora io mi limitassi alla sola "conoscenza appresa a seguito di tale sua informazione", non c'è dubbio alcuno che mi converrebbe modificare la mia scelta iniziale; e, questo, per l'indiscutibile calcolo matematico sopra illustrato (il che vale sia per A che per B).
***
Tuttavia, è pure vero che, se io pretendessi che lui mi rivelasse dove si trova una capra anche tra la porta 1 (che ho scelto io) e la porta 3, è ovvio che lui, ammesso che volesse essere così compiacente, non potrebbe far altro che rispondermi: "Tra la porta 1 e la porta 3, la capra sta dietro la porta 3; come puoi vedere da te, visto che l'ho aperta prima".
Ed infatti, non potrebbe in alcun caso rispondermi diversamente, perchè è ovvio che, se io gli chiedessi una cosa del genere, lui non potrebbe "mai" aprire la porta 1, in quanto:
- se c'è dietro l'automobile, praticamente me l'avrebbe regalata;
- se, invece, c'è dietro la seconda capra, praticamente me l'avrebbe regalata lo stesso, perchè è ovvio che io capirei subito che l'automobile si troverebbe, "logicamente", dietro la porta 2.
Avrei il 100% di probabilità di indovinare, il che sarebbe contro la logica del gioco e dello spettacolo!
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Per cui, se è vero che, in base alla sola "conoscenza appresa a seguito di informazione" so soltanto che tra la porta 2 e la 3, la capra è dietro la 3, so anche con la stessa identica certezza, in base alla "conoscenza appresa a seguito di deduzione", che la capra è dietro la 3 anche tra la porta 1 e la 3; questo perchè, ad una mia ipotetica (quanto superflua) richiesta al riguardo, Monty non potrebbe rivelarmi niente di diverso.
Per cui, se è vero (sia pure grazie a due diversi tipi di conoscenza), che tra la porta 2 e la 3, la capra è dietro la 3, e che la capra è dietro la 3 anche tra la porta 1 e la 3, questo equivale a dire che "la capra è dietro la 3 anche tra la porta 1, la 2 e la 3"; con le conseguenze che ne derivano a livello probabilistico, se entrambi i giocatori fanno lo stesso identico ragionamento deduttivo che ho appena prospettato io.
Allo stesso modo in cui, se Monty mi rivelasse che, con riguardo ad un determinato triangolo rettangolo, il quadrato costruito sul cateto A è uguale a 50, e che il quadrato costruito sul cateto B è uguale a 70, io non avrei alcun bisogno di chiedergli: "Va bene, ma quanto è grande il quadrato costruito sull'ipotenusa?", perchè capirei da solo che lui non potrebbe rivelarmi niente di diverso da "120".
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Concludendo, secondo me, la fonte del "qui pro quo" consiste precipuamente nel tipo di "conoscenza" a cui si suppone che i giocatori facciano riferimento; in quanto, almeno a mio parere, se i giocatori si elevano per "deduzione" al di sopra della mera conoscenza appresa a seguito della "informazione" fornita loro da Monty, il loro punto di vista viene "sostanzialmente" a coincidere con quello di un ipotetico osservatore esterno.
Il che supererebbe anche il paradosso dei due giocatori!
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Ma questa, ovviamente, è solo la mia opinione!
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leibnicht1 · 19 Maggio 2021, 02:16:54 AM

Si deve trovare un'automobile?

leibnicht1 · 19 Maggio 2021, 02:24:15 AM

50%.

Eutidemo · 19 Maggio 2021, 05:45:17 AM

Citazione di: leibnicht1 il 19 Maggio 2021, 02:24:15 AM
50%.

Lo penso anch'io!

Monty Hall e il paradosso dei due giocatori!

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