In "What the Tortoise said to Achilles", il geniale e affascinante Lewis Carrol, il noto matematico autore di "Alice's Adventures in Wonderland", scrive quanto segue:
"Achille aveva raggiunto la Tartaruga, e si era seduto comodamente sul suo guscio. «Così sei riuscito a terminare la nostra gara? – disse la Tartaruga – anche se si componeva di una successione infinita di distanze? Pensavo che qualche saccente avesse dimostrato che la cosa non si poteva fare».
«Si può fare, – rispose Achille – È stata fatta! Solvitur ambulando. Tu vedi che le distanze diminuivano costantemente e così...».
«Ma se fossero aumentate costantemente? – interruppe la Tartaruga – come sarebbe andata a finire in questo caso?»
«Allora non sarei qui – replicò modestamente Achille – e tu, in questo tempo, avresti fatto varie volte il giro del mondo!
«Tu mi schiacci, mi aduli!» (NOTA 1: Qui, nel testo inglese, la tartaruga fa un gioco di parole in inglese tra "flatter", che vuol dire "schiacciare", e "flatten", che vuol dire adulare) «Perché sei un pezzo grosso, non c'è dubbio.
Bene: ti piacerebbe che ti raccontassi di una gara che quasi tutti penserebbero di terminare in due o tre passi, ma che è costituita davvero da una infinità di passi, ognuno più lungo del precedente?»
«Senz'altro – rispose l'eroe greco, e tirò fuori dall'elmo (pochi guerrieri greci avevano tasche a quei tempi) un enorme taccuino e una matita – Avanti! E parla lentamente se non ti dispiace! La stenografia non è stata ancora inventata!»
«Quella meravigliosa Prima Proposizione di Euclide! – mormorò con aria sognante la Tartaruga – Ti piace Euclide?» (NOTA 2: la Prima Proposizione di Euclide consiste nel costruire un triangolo equilatero avente per lato un segmento assegnato AB. Tracciati i cerchi aventi centro rispettivamente in A e B e raggio uguale ad AB, e detti C una delle loro intersezioni, risulta AC AB, BC a BA e quindi AC = BC)
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Nell'immagine che ho riprodotto, credo che il concetto si comprenda meglio.)
«Moltissimo! Per quanto naturalmente possa piacere un trattato che non verrà pubblicato se non di qui a molti secoli!»
«Bene, allora prendiamo una piccola parte del ragionamento che compare nella Prima Proposizione. Solo due passaggi e la conclusione che se ne trae. Per favore scrivili sul taccuino. Per citarli comodamente chiamiamoli A, B e Z:
A. Cose che sono uguali ad una stessa cosa sono uguali tra loro.
B. I due lati di questo triangolo sono cose che sono uguali ad una stessa cosa.
Z. I due lati di questo triangolo sono uguali tra loro.
I lettori di Euclide converranno, suppongo, che Z segue logicamente da A e B, di modo che se uno ammette la verità di A e B deve ammettere la verità di Z.»
«Certamente. Anche il più giovane studente di Liceo, appena i Licei verranno inventati, il che non avverrà che fra duemila anni, sarebbe d'accordo su questo punto.»
«E se un lettore non avesse ancora ammesso che A e B sono veri, potrebbe lo stesso accettare la validità della conseguenza, suppongo?»
«Indubbiamente potrebbe esserci un lettore così. Potrebbe dire:
"Io accetto la verità dell'implicazione: -Se A e B sono veri allora Z deve essere vero- ma non accetto la verità di A e B". Questo lettore farebbe una cosa saggia ad abbandonare Euclide e a dedicarsi al calcio.»
«E non potrebbe esistere anche un lettore che dica: "Io accetto la verità di A e B, ma non accetto l'implicazione?"».
«Certo, potrebbe esistere. Anche lui farebbe meglio a dedicarsi al calcio.»
«E né l'uno né l'altro — continuò la Tartaruga — fino a questo momento è costretto, per necessità logica, ad accettare che Z sia vera».
«Proprio così» assentì Achille.
«Bene, ora io voglio che tu mi consideri un lettore della seconda categoria, e mi costringa, con la logica, ad ammettere la verità di Z».
«Una Tartaruga che gioca al calcio sarebbe... » – cominciava a dire Achille
«... una stranezza, naturalmente – lo interruppe in fretta la Tartaruga – ma non divagare. Prima occupiamoci di Z, e poi del calcio! »
«Devo costringerti ad accettare Z, non è vero? – disse con aria meditabonda Achille – e la tua posizione è questa: tu accetti A e B ma non accetti l'implicazione... »
«Chiamiamola C – disse la Tartaruga – ma non accetti C: Se A e B sono vere, Z deve essere vera.»
«Questa è la mia posizione» ammise la Tartaruga.
«Allora devo chiederti di ammettere C.»
«Lo farò – disse la Tartaruga – non appena lo avrai scritto nel tuo taccuino. Che cosa c'è scritto sopra?».
«Solo degli appunti – rispose Achille sfogliando nervosamente le pagine – degli appunti sulle battaglie in cui ho fatto bella figura!»
«Pieno di fogli bianchi, vedo – osservò allegramente la Tartaruga – Ci serviranno tutti (Achille rabbrividì). Ora scrivi quello che ti detto:
A. Cose che sono uguali alla stessa cosa sono uguali tra loro.
B. I due lati di questo triangolo sono cose che sono uguali alla stessa cosa.
C. Se A e B sono vere, Z deve essere vera.
Z. I due lati di questo triangolo sono uguali tra loro».
«Dovresti chiamarla D, non Z – disse Achille – viene subito dopo le altre tre. Se tu accetti A e B e C, devi accettare Z.»
«E perché devo?»
«Perché segue logicamente da esse. Se A e B e C sono vere, Z deve essere vera. Non metterai in dubbio questo, immagino?»
«Se A e B e C sono vere Z deve essere vera – ripeté pensosa la Tartaruga – Questa è un'altra implicazione non è vero? E se io non riuscissi a considerarla valida, potrei accettare A e B e C e tuttavia non accettare Z, non ti pare?»
«Potresti – ammise candidamente il nostro eroe – anche se una tale ottusità risulterebbe davvero fenomenale. Tuttavia l'evento è possibile. Così io devo chiederti di ammettere un'ulteriore implicazione.»
«Benissimo. Io sono prontissima ad ammetterla, non appena l'avrai scritta nel taccuino. La chiameremo D:
D. Se A e B e C sono vere, Z deve essere vera. L'hai scritta?»
«Fatto! – esclamò allegro Achille mettendo la matita nell'astuccio – Finalmente abbiamo terminato la nostra gara immaginaria. Ora se tu accetti A e B e C e D naturalmente accetti Z.»
«Si? – disse la Tartaruga con aria innocente – Chiariamo a fondo la faccenda. Io accetto A e B e C e D. E se tuttavia rifiutassi di accettare Z?»
«Allora la logica ti prenderebbe per il collo e i costringerebbe a farlo! – replicò Achille trionfalmente – La logica ti direbbe: "Non hai scampo. Dal momento che hai accettato A e B e C e D devi accettare Z!" Così non hai scelta, come vedi.»
«Se la logica è così buona da dirmi qualcosa, vale la pena di annotarla – disse la Tartaruga – così scrivi sul taccuino se non ti dispiace. Lo chiameremo E:
E. Se A e B e C e D sono vere, anche Z deve essere vera. Fino a che non ho ammesso questo, naturalmente, non devo ammettere E. Quindi è un passaggio assolutamente necessario, non ti pare?»
«Vedo» – disse Achille, e c'era una nota di tristezza nella voce.
A questo punto il narratore, che aveva affari urgenti in banca, fu costretto a lasciare l'allegra coppia, e non ritornò sul posto che alcuni mesi più tardi. Quando ciò avvenne, Achille era ancora seduto sul guscio della paziente Tartaruga e scriveva sul taccuino, che sembrava quasi tutto riempito.
La Tartaruga stava dicendo: «Hai scritto quest'ultimo passaggio? Se non ho perso il conto fanno mille e uno. Ne abbiamo ancora parecchi milioni. E ti dispiacerebbe, come favore personale, considerato tutti gli insegnamenti che questo nostro dialogo fornirà ai Logici del Diciannovesimo secolo, ti dispiacerebbe, con un gioco di parole che farà in quell'epoca mia cugina, la Finta Tartaruga, cambiare nome e chiamarti Insegnaci?» (NOTA 3: la «Finta Tartaruga» (The Mock Turtle) compare in Alice nel Paese delle Meraviglie: «La Regina... disse ad Alice: «Hai visto la finta tartaruga?» «No – disse Alice – Una finta tartaruga? Non so nemmeno che cosa sia.» «È la cosa con cui si fa la finta zuppa di tartaruga» disse la Regina. La finta zuppa di tartaruga (mock turtle soup, che si può interpretare anche come «la zuppa di finta tartaruga») era una imitazione della zuppa di tartaruga verde, di solito ricavata dal vitello. Nelle classiche illustrazioni di John Tenniel ad Alice nel Paese delle Meraviglie, la Finta Tartaruga ha appunto la testa, gli zoccoli posteriori e la coda di vitello. Il gioco di parole citato ora dalla Tartaruga, ricorre nel racconto autobiografico della Finta Tartaruga ad Alice. Riferendosi a una sua simile (vera) da cui lei e altri andavano a scuola da piccoli, dice: "We called him Tortoise because he taught us", letteralmente «La chiamavamo Tartaruga perché ci insegnava». Ma "taught us", nella pronuncia ingles, suona simile a  "Tortoise". Nella traduzione di Masolino d'Amico la frase è resa: «Lo chiamavamo testuggine perché ci dava i libri di testo». Secondo me non è una traduzione letterale, ma è l'unica che possa offrire un gioco di parole anche in italiano.)
«Come vuoi» replicò lo stanco guerriero con un tono cupo di disperazione, nascondendosi il volto tra le mani. «A patto che tu, da parte tua, con un gioco di parole che la Finta Tartaruga ignora, ti ribattezzi Uccidi-Tranquillità» (NOTA 4: "A kill ease", in inglese, suona come «Achilles». Letteralmente: «Un uccidi-tranquillità»).
***
                                        MIE CONSIDERAZIONI
Secondo me, più che di un vero e proprio paradosso, si tratta di una versione aggiornata del famoso espediente di Bertoldo; il quale, come è noto, essendo condannato a morte espresse come ultimo desiderio quello di poter scegliere l'albero a cui essere impiccato.
E, ovviamente, fino alla vecchiaia non ne trovò neanche uno che fosse di suo gusto!
Ed infatti, in base al meccanismo logico in base al quale per costringere qualcuno ad "ammettere" qualcosa, devi prima costringerlo ad "ammettere" i presupposti "propedeutici" per indurlo a tale "ammissione", quello può rinviare all'infinito la sua "ammissione"; ed infatti, le concatenazioni logiche, volendo ricorrere a tale espediente, possono essere davvero infinite.
Questa è una tecnica molto spesso adottata dai nostri politici, nei dibattiti televisivi, quando vogliono evitare di ammettere cose ovvie, ma che, però, non fanno loro comodo!

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Più che paradossale il discorso della "tartaruga sofista" è contraddittorio: se essa ammette A e B come vere, ma poi non ammette la verità di Z, si contraddice e per sbrogliare la contraddizione servono... esattamente A e B, che se assunte vere sono sufficienti per implicare la verità di Z (Achille cade nella trappola della tartaruga, quando acconsente all'affermazione del quadrupede «né l'uno né l'altro [...] fino a questo momento è costretto, per necessità logica, ad accettare che Z sia vera» riferendosi a due lettori illogici, che possono di certo esistere, sebbene, per necessità logica dovrebbero appunto accettare anche Z per non contraddirsi). La sfida di convincere la tartaruga della verità di C, pone a Ulisse la necessità di convincerla che dalla premessa maggiore (A) e la premessa minore (B) derivi necessariamente la conclusione (Z); C consiste nella deduzione (di cui uno degli assiomi logici prevede appunto che da premesse vere non possa essere inferita, in una ragionamento valido, una conclusione falsa; v. tavole di verità dell'implicazione). Come spiegare a qualcuno la validità dei meccanismi della deduzione? Solitamente si parte dall'insiemistica; riformulando: tutte le cose che sono uguali alla stessa cosa, sono uguali fra loro (formano un insieme); i due lati sono uguali alla stessa cosa, quindi rientrano nell'insime delle cose uguali fra loro (se invece non vi rientrano, allora non possiamo affermare la verità di entrambe le premesse, come invece la tartaruga fa).
Il paradosso dunque non sussiste: a partire da C in poi (all'infinito) non si fa altro che affermare la validità della deduzione enumerandone infinite applicazioni in modo crescente; è come voler spiegare la proprietà transitiva aumentando sempre gli elementi coinvolti: non servirebbe a molto, da un punto di vista argomentativo/dimostrativo, applicarla ad infiniti casi, poiché l'interlocutore resterebbe sempre non convinto del principio che viene applicato (applicare un procedimento logico non equivale a dimostrarne la validità ad un interlocutore "in cattiva fede"; se fosse solo un San Tommaso basterebbe invece ricorrere a misurazioni empiriche per dissolverne le perplessità del caso).