Citazione di: Ipazia il 15 Agosto 2024, 21:47:57 PMAnche gli infiniti hanno le loro gerarchie: l'infinito di numeri interi è di ordine superiore rispetto agli infiniti dei numeri pari o dispari che sono dello stesso ordine.

Per Cantor l'infinito dei numeri interi è dello stesso ordine dell'infinito dei numeri pari.
Il suo criterio è quello della corrispondenza biunivoca, ma se la cosa risultasse ostica,  proviamo a dirlo in un altro modo, impreciso, ma che renda l'idea.
Proviamo a costruire l'insieme dei numeri interi.
Per farlo dobbiamo dare un nome ai suoi elementi per distinguerli ognuno da ogni altro.
Non c'è ovviamente un solo modo di scegliere questi simboli, e un modo vale l'altro.
Possiamo  ad esempio scegliere
il simbolo 1 per il primo elemento dell'insieme, il simbolo 2 per il secondo........
Per esteso
1,2,3,4,5, 6,....,

Oppure possiamo scegliere altri simboli
2,4,6,8,10,12,..., da non confondersi con l'insieme dei numeri pari, dove 2 è il primo simbolo scelto, 4 il secondo e cosi via,...
L'insieme non cambia se usiamo simboli diversi, ovviamente.
Nel secondo caso, non avendo voglia di inventarmi simboli nuovi, ho usato parte di simboli che avevo inventato.
Questa però è solo una magia da quattro soldi, con la quale volevo sottolineare che insiemi che hanno lo stesso ordine di infinito si costruiscono sostanzialmente allo stesso modo.
CIOE', SONO I DIVERSI MODI DI COSTRUIRE GLI INFINITI,   A CARATTERIZZARLI, E L'INSIEME DEI NUMERI INTERI E DEI NUMERI PARI SI COSTRUISCONO ALLO STESSO MODO.
L'infinito per me è solo potenziale, e va costruito un elemento dopo l'altro.
Per me non esiste l'infinito attuale, ma esiste un processo di costruzione, finito, ma reiteratile , essendo ben definito, e la cui reiterazione non ha un compimento.

Citazione di: Il_Dubbio il 15 Agosto 2024, 22:00:56 PMsenza una spiegazione migliorativa, direi che questa affermazione sta ad indicare proprio quello che cercavo di mettere in evidenza. E cioè che c'è differenza sostaziale fra un infinito potenziale ed uno attuale. In un infinito potenziale i numeri interi sono sempre maggiori delle parti che lo compongono (pari e dispari). In un infinito attuale ciò non è piu vero.

Eventualmente bisognerebbe dimostrare il contrario...sparare a caso non serve a nessuno.

Eventualmente dovresti dare un esempio di infinito attuale nel quale ciò non e più vero.
Oppure intendi che ''l'infinito dove ciò non è più vero'' sia la tua definizione di infinito attuale?

ma allora la domanda non è più  sulla semiretta ma sull infinito dei numeri .Se c'è un attributo che non è possibile dare ad una linea retta o semiretta è propio l'infinito. Perchè una retta dovrebbe essere infinita ? perchè gli mettiamo i trattini? perchè sono infiniti punti ed ad ogni punto viene associato un numero? è per questo?

Citazione di: iano il 16 Agosto 2024, 00:44:34 AMEventualmente dovresti dare un esempio di infinito attuale nel quale ciò non e più vero.

se faccio la somma di infiniti numeri pari con infiniti numeri dispari ho come risultato infinito
Se considero solo infiniti numeri pari il risultato è infinito. Quanti sono i numeri interi? Infiniti.
Non cambia il risultato se aggiungo un infinito o lo tolgo da un numero infinito.

Invece con un infinito potenziale potrei contare uno ad uno i numeri interi. Mi accorgerò che i numeri interi sono la somma dei numeri pari e dispari. Ma se tolgo una parte, ad esempio i pari, i numeri interi saranno meno della somma tra numeri interi e numeri dispari. E' una cosa banale. Il fatto che il conteggio possa essere fatto all'infinito non cambierebbe il risultato. Cambierebbe se si considerasse l'infinito attuale. In quel caso il risultato sarebbe sempre infinito qualsiasi sia l'operazione che svolgo.

ma se su un piano passano infiniti punti e infinite rette questo non presuppone che il piano stesso sia infinito?
confesso che su questi problemi ci capisco poco ma a me pare un falso problema. Se ragiono sulla validità di alcuni postulati mi basta la relatività speciale per confutarli. Se si ignora che una retta non può fisicamente rimanere retta all infinito ma si ragione per astrazione , il risultato sarà un idea astratta, come dire che i numeri sono infiniti.

Quanto al modo di considerare l'"equivalenza" da parte dei matematici, guarda il mio ultimo enigma di Rastislav 

Citazione di: Alberto Knox il 16 Agosto 2024, 00:51:31 AMma allora la domanda non è più  sulla semiretta ma sull infinito dei numeri .Se c'è un attributo che non è possibile dare ad una linea retta o semiretta è propio l'infinito. Perchè una retta dovrebbe essere infinita ? perchè gli mettiamo i trattini? perchè sono infiniti punti ed ad ogni punto viene associato un numero? è per questo?

Il disegno della retta non è la retta.
Una retta è una direzione, e una  sua semiretta indica un verso nella direzione.
 Come possono una direzione o un verso essere finiti?
Già i punti di un segmento sono infiniti.
Tu sai come fare ad associare ad ogni punto un numero?

Citazione di: Il_Dubbio il 16 Agosto 2024, 01:02:12 AMse faccio la somma di infiniti numeri pari con infiniti numeri dispari ho come risultato infinito
Se considero solo infiniti numeri pari il risultato è infinito. Quanti sono i numeri interi? Infiniti.
Non cambia il risultato se aggiungo un infinito o lo tolgo da un numero infinito.

Gli infiniti non possono sommarsi, però le conclusioni cui sei giunto sono corrette.
Vediamo se riesco fare un esempio, scorretto, ma che renda l'idea.
Consideriamo l'insieme dei numeri interi
a,b,c,....
Rinominando i suoi elementi avremo
A,B,C,...
Rinominiamoli ancora
a,A,b,B,....
L'insieme non cambia se rinominiamo i suoi elementi.
Altro esempio:
1,3,5,...
2,4,6,...
1,2,3,4,...
Lo abbiamo rinominato più volte, ma è sempre lo stesso insieme.

E' vero che intuitivamente gli infiniti possono sommarsi, ma l'intuito in matematica non è più ammesso.
Se pensi di potere sommare gli infiniti devi dire come si fà, nero su bianco.
Non basta dire che è ovvio.
L'intuito può portare a risultati paradossali.
Come facciamo a sommare gli infiniti?
Quali tasti del computer dobbiamo pigiare?

Come già dissi, infinito e zero, sono paradossi matematici non aventi corrispettivi in natura. Anche la retta più grande avrebbe qualche difficoltà a superare i confini dell'universo, ammesso che esistano, per viaggiare nella sua imperturbabile linearità verso l'infinito.

Le cosiddette "funzioni trascendentali" sono utili per descrivere la parte di campo reale in cui descrivono matematicamente fenomeni fisici, ma ad un certo punto accade qualcosa che fa collassare il fenomeno uscendo dal suo campo di esistenza, lasciando spazio, per chi ha fantasia, solo alla metafisica. E più spesso alla patafisica matematica, alla cabbala e agli enti iperuranici del pitagorismo platonizzante.

Come già dissi, infinito e zero, sono paradossi matematici non aventi corrispettivi in natura. Anche la retta più grande avrebbe qualche difficoltà a superare i confini dell'universo, ammesso che esistano, per viaggiare nella sua imperturbabile linearità verso l'infinito.

Le cosiddette "funzioni trascendentali" sono utili per descrivere la parte di campo reale in cui descrivono matematicamente fenomeni fisici, ma ad un certo punto accade qualcosa che fa collassare il fenomeno uscendo dal suo campo di esistenza, lasciando spazio, per chi ha fantasia, solo alla metafisica. E più spesso alla patafisica matematica, alla cabbala e agli enti iperuranici del pitagorismo platonizzante.

Gli "infiniti di ordine superiore" fanno parte del paradosso e paradossando un poco difficile sarebbe confutare che l'infinito dei numeri primi è uguale alla somma dell'infinito dei numeri primi pari e dispari. Mentre l'infinito dei numeri decimali è infinitamente più grande dell'infinito dei numeri primi. (La dimostrazione si ottiene prendendo sezioni numeriche significative delle rispettive serie i cui estremi numerici coincidano: 1-2; 1-10; ... e procedendo per induzione verso l'infinito)

Frustrante per un grande numero diviso per zero scoprire, al momento della sua morte, che vale come il numero più piccolo diviso per zero. Avendo entrambi come risultato un'identica infinità di nulla.

Citazione di: Ipazia il 16 Agosto 2024, 07:41:51 AMCome già dissi, infinito e zero, sono paradossi matematici non aventi corrispettivi in natura.

Tutti questi paradossi sono stati risolti non richiedendo più agli enti matematici di avere dei corrispettivi in natura.

Citazione di: Ipazia il 16 Agosto 2024, 07:41:51 AMGli "infiniti di ordine superiore" fanno parte del paradosso e paradossando un poco difficile sarebbe confutare che l'infinito dei numeri primi è uguale alla somma dell'infinito dei numeri primi pari e dispari. Mentre l'infinito dei numeri decimali è infinitamente più grande dell'infinito dei numeri primi. (La dimostrazione si ottiene prendendo sezioni numeriche significative delle rispettive serie i cui estremi numerici coincidano: 1-2; 1-10; ... e procedendo per induzione verso l'infinito)

Intendevi forse numeri interi, e il resto comunque non mi è chiaro.

L'infinito è una necessità logica.
Perché la negazione del finito è necessaria logicamente.
E lo è in quanto il pensiero logico aborrisce il nulla.

Infatti escludendo l'esistenza dell'infinito avremmo solo il finito. Che finisce dove?
Ecco il Nulla!

Si dovrebbe allora ammettere che la realtà è finita, seppur illimitata. Come d'altronde è l'universo: finito e illimitato.

Ma poiché ciò che confina con il Nulla è inevitabilmente esso stesso nulla... allora meglio illudersi nella esistenza dell'infinito.

La creazione di una semiretta, tagliando in un punto una retta, è un assurdo. Perché pretende di agire su ciò che non esiste.
Cioè rendere reale ciò che non solo non lo è, ma non può neppure essere davvero pensato: l'infinito.
Perciò un assurdo. Sebbene necessario logicamente...

Citazione di: Ipazia il 16 Agosto 2024, 07:41:51 AMFrustrante per un grande numero diviso per zero scoprire, al momento della sua morte, che vale come il numero più piccolo diviso per zero. Avendo entrambi come risultato un'identica infinità di nulla.

Ma lo sai meglio di me che la divisione per zero non è ammessa, come non è ammesso sommare gli infiniti non essendo numeri ( fatto salvo che non lo abbia fatto Cantor che ad ogni infinito ha dato un ordinale).