Un conto è la misura, un altro la uguaglianza matematica.
La misura sarà sempre approssimata.
Viceversa la uguaglianza matematica o è o non è.

L'area del cerchio è:
A = R*R*π
Per cui ponendo il raggio uguale a 1:
A = π
Di modo che la quadratura del cerchio implica la costruzione di un quadrato di lato: √π

Ma π è un numero irrazionale (non è esprimibile come una frazione di numeri interi).
Perciò non può essere costruito un quadrato con la stessa area di un cerchio.
Cioè non si può scrivere:
Area cerchio = Area quadrato

Citazione di: Eutidemo il 01 Marzo 2023, 13:36:14 PM

Ciao Iano.

Tu scrivi che dire che il cerchio non è "quadrabile" equivale a dire che il quadrato non è "cerchiabile"; il che ci può anche stare!

Ci sta o non ci sta?

Citazione di: Eutidemo il 01 Marzo 2023, 13:36:14 PM

Non si tratta di assumere la "misura" come un "assioma", bensì come il risultato di un diverso tipo di calcolo.

La misura infatti non è un assioma, ma il confronto fra due cose, e se dal confronto risulta che sono commensurabili si può assumere indifferentemente l'uno come misura dell'altro e viceversa.
Se risultano incommensurabili si può ancora fare, ma a condizione di ammettere nel consesso dei numeri, i ''nuovi'' numeri irrazionali.
La storia della matematica è quella di un club che vuole avere fama di esclusività, ma che poi ammette soci di ogni tipo, anche i più strani, pur di far cassa.
Nella nostra comune percezione rimane però sempre un club esclusivo, e penso sia questo a creare confusione.

Citazione di: Eutidemo il 01 Marzo 2023, 13:16:58 PM

Tu dici che Baylham ha ragione.

Ho dato ragione a Bayhlam perché provando ad elevare al quadrato 35,4400902933387 anziché 35,440090293338700803982250195073 un calcolatore mi ha dato come risultato sempre 1256; ora ho riprovato con la calcolatrice di Windows ed elevando al quadrato 35,4400902933387 non ottengo 1256, perché lei considera più decimali. Ne deduco che è una mera questione di approssimazione dello strumento, quindi o la calcolatrice di Windows è la più esatta e il risultato definitivo è 35,440090293338700803982250195073, oppure anche lei approssima e "in realtà" il numero è più lungo o davvero irrazionale. Essendo scarso in matematica, a questo punto non so se ha ragione la calcolatrice o l'intuito di Bayhlam.

Citazione di: Eutidemo il 01 Marzo 2023, 13:16:58 PM

Per il resto, invece, sebbene dal basso della mia nescienza, penso di poter essere d'accordo con te sul fatto che cerchi con ugual raggio, avranno uguale area; ma allora non si può dire anche che sfere dello stesso raggio avranno lo stesso volume?

Sempre da profano, direi di sì.

Citazione di: iano il 01 Marzo 2023, 13:55:01 PMCi sta o non ci sta?

Ci sta!

In breve:

la misurazione è un processo approssimativo, come mi insegnava un professore di statistica;

la precisione di calcolo degli elaboratori è ovviamente limitata;

che la radice di quei quadrati fosse irrazionale l'ho intuito perchè i due numeri di Phil avevano la stessa lunghezza (si tratta appunto di un limite della precisione dell'elaboratore) ma soprattutto applicando una elementare regola di calcolo del prodotto di una moltiplicazione per cui è evidente che quei numeri al quadrato non possono dare un numero naturale. Infine ricordavo una regola generale, ritrovata sotto la voce Numero irrazionale di Wikipedia, per cui "qualunque radice di qualunque numero naturale è un numero naturale o è irrazionale".

Citazione di: Eutidemo il 01 Marzo 2023, 16:49:59 PM

In genere, comunque, quasi tutte le cose sono fra loro commensurabili; ed infatti è molto difficile che ci si metta a discutere circa l'effettiva lunghezza di un oggetto rispetto all'altro, perchè la cosa è facilmente verificabile in modo oggettivo (qualsiasi unità di misura si utilizzi).

Salvo determinati casi, ovviamente!

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Quanto ai "quanti", se mi consenti il "calembour", io non farei confusione tra la "macrofisica" e la "microfisica"; perchè seguono leggi molto diverse!

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Un saluto!

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Non confonderei estensione con lunghezza.
L'estensione è la proprietà di un oggetto, la lunghezza no.
Direi che la lunghezza è la proprietà di un insieme di almeno due oggetti, perchè ci vogliono almeno due oggetti per fare un confronto, e la lunghezza è un risultato di quel confronto.
Come si possa matematicamente esprimere quella lunghezza è poi un ulteriore questione.
Ma l'uomo qui non è misura , ma misuratore, colui che confronta gli oggetti.

Bayhlam mi ha "illuminato" facendo semplicemente notare che quei due numeri, elevati al quadrato, non possono portare a un numero naturale, anche perché sono dispari (e dispari per dispari fa sempre dispari).
Riguardo alle tue osservazioni, è chiaro, come detto, che tracciando i confini di un campo o dividendo sulla carta un'eredità, si facciano delle approssimazioni: così come era approssimata l'area del campo di partenza, sarà approssimata anche la divisione successiva (il campo di partenza esiste di certo, sebbene la misura numerica che lo descrive sia matematicamente approssimata e possa far pensare a un quadrato inesistente; anche in questo caso il paradosso sta nella mappa non nella realtà, come ci dimostra la "realtà" delle linee di frontiera).

Il teorema di Eutidemo confonde la teoria con la prassi. 
La relazione teorica tra i numeri irrazionali e il limite in matematica è ormai scontata in base alla teoria assiomatica dei numeri reali.

La premessa da cui partire è che ogni misurazione è approssimazione, statistica, per cui l'esistenza di quadrati perfetti o imperfetti in base al lato o all'area in realtà non ha alcun senso. Esiste davvero in realtà un quadrato con un lato di 5 m esatti o con un'area di 25 mq esatti oppure queste misure sono a loro volta approssimazioni?

Ogni cosa che si pone teoricamente in essere è esatta nella misura in cui è esatta la sua definizione, ma non necessariamente è esatto il confronto fra queste cose esattamente poste in essere.
Questa non è una banalità, perchè si è scoperto che è così, ma non si credeva che così fosse, e non è certamente banale se a distanza di millenni da quella scoperta la cosa continua a destarci sorpresa.
La cosa poi si è ripetuta e ogni volta che ciò accade inevitabilmente si grida al nichilismo,  al punto che per Pitagora, il primo degli antichilisti, il quale credeva che tutto fosse numero, la scoperta dell'incommensurabilità era da non divulgare, pena la fine....della sua visione del mondo, con la sua conseguente destabilizzazione.
I moderni hanno risolto questo problema democraticamente allargando la platea dei numeri, per cui appunto gli irrazionali sono oggi considerati numeri, e da lì in poi è stato un diluvio di nuovi numeri, cui la pretesa antinichilista si è puntualmente opposta senza successo, ma non del tutto inutilmente, perchè una sana critica fà sempre bene alla crescita dei numeri.
Quello che sorprende semmai è come il meccanismo si ripeta senza che l'antinichilismo ne prenda norma.
Si oppone cioè ogni volta come fosse la prima volta, e chissà forse è proprio bene che sia così, andare sempre avanti ma col freno amano inserito, perchè più sicuro sia il percorso.
La storia della matematica in qualche modo dimostra di essere fra tutte le storie, la più ''attuale'' perchè ciclicamente le sorprese che essa ci ha riservato si rinnovano in modo indipendente, perchè riespresse puntualmente tali e quali ogni volta da chi prova ad avventurarsi per la prima volta alla scoperta della matematica, dei quali Eutidemo è esempio.
Per cui non c'è proprio nessuna critica da fargli, ma anzi ringraziarlo perchè ci aiuta a rinnovare il nostro stupore verso le conquiste vecchie e nuove della matematica.
Conquiste che hanno molto a che fare con la filosofia,  segnando la storia di un pensiero umano che non è tanto cambiato in fondo, se è capace di rinnovare stupori millenari.