Prendiamo in considerazione due ruote di diverse dimensioni:
- una ruota di colore blu, avente il raggio di un metro e mezzo;
- una ruota di colore grigio, avente il raggio di tre metri.

Ora, poniamo che la ruota di colore blu impieghi circa 10 secondi (10,305) per compiere il tratto di 10 metri da A a B, denominato tratto n°1, quanto tempo impiegherà la ruota di colore grigio per compiere il tratto 2, che è lungo anch'esso esattamente 10 metri?
Intuitivamente verrebbe da rispondere metà del tempo!
Però proviamo a sovrapporre le due ruote.
.
Ora mettiamole in movimento, e vediamo quello che succede (per vedere il video, la password è "logos").
https://www.dailymotion.com/video/x865wco
***
Constatando una simile stranezza, Galileo Galilei si chiedeva: "Or come dunque può senza salti scorrere il cerchio minore una linea tanto maggiore della sua circonferenza?"
Come si spiega il paradosso?
***
CONTINUA
***

Un punto percorre un tratto, cioè una precisa linea, ma una ruota non è un punto; è un insieme di punti e ogni suo punto percorre un tratto diverso quando la ruota si muove.
Quindi quando la ruota si muove non percorre alcun tratto.
La ruota è un caso particolare di corpo rigido, la cui caratteristica e' che i suoi punti, quando il corpo si muove,
mantengono inalterate le reciproche distanze.
Un altro esempio di corpo rigido è una corona circolare.
Quello che vediamo nel video e nel disegno è un cerchio calettato dentro una corona, a formare un altro corpo rigido, che è un cerchio..
Quello che vediamo è questo nuovo corpo rigido risultante che si muove.
Cioè vediamo un cerchio che si muove.
Dov'è dunque il paradosso?😁
Naturalmente non voglio banalizzare il tuo quesito, specie se lo poni in compagnia di Galilei.
In effetti ci sto ragionando ancora sopra, ma volevo sottolineare come a volte cambiando punto di vista il paradosso scompare.
La morale è che non c'è un solo modo di descrivere una cosa,, cioè ci sono modi diversi, ma equivalenti,  di descrivere la stessa cosa, e fra questi se ne può trovare sempre uno dall'apparenza paradossale.
La dimostrazione che la cosa non sia paradossale quindi si ottiene trovando una descrizione equivalente che non abbia alcuna apparenza paradossale.

Penso  che non  ci sia alcun paradosso: qui si tratta di un unico cerchio, che ovviamente ne contiene molti altri, che si muovono solidalmente.  Come del resto ha detto anche iano.

Si, ma ripeto ,il quesito rimane interessante. Solo che adesso ad Eutidemo toccherà riformularlo in altri termini e io gli ripasso volentieri  la palla., perché non mi sembra facile impresa. 

Citazione di: Eutidemo il 09 Dicembre 2021, 14:51:09 PM
Ora, poniamo che la ruota di colore blu impieghi circa 10 secondi (10,305) per compiere il tratto di 10 metri da A a B, denominato tratto n°1, quanto tempo impiegherà la ruota di colore grigio per compiere il tratto 2, che è lungo anch'esso esattamente 10 metri?
Intuitivamente verrebbe da rispondere metà del tempo!

Per calcolare il tempo, "intuitivamente" manca un'informazione fondamentale, ossia la velocità, in questo caso intesa anche come velocità angolare: se pensiamo ad un tronco che rotola, la circonferenza esterna è di dimensioni maggiori ma gira più lentamente, quella interna è minore ma gira più velocemente; detto diversamente: una ruota piccola per percorrere lo stesso spazio nello stesso tempo di una ruota grande, deve compiere più giri. Non colgo il paradosso; forse se consideriamo la circonferenza minima possibile, quella del punto centrale di tutte le circonferenze concentriche, ci imbattiamo in paradossi matematici dovuti alla dimensione del centro in quanto punto di dimensioni indefinite (o meglio, privo di dimensione) da rapportare a dimensioni finite (i 10 metri da percorrere).

Ciao Iano, Sapa e Phil.
In primo luogo mi scuso per aver redatto un po' troppo sommariamente il mio topic iniziale; la mia unica giustificazione è che, avendo perso un tempo eccessivo nel comporre le immagini fisse e nel realizzare il videoclip, non ho avuto il tempo di elaborare meglio il testo scritto, avendo altri più pressanti impegni lavorativi nel mondo reale.
***
Quanto a Iano e a Sapa, come meglio spiegherò più avanti, in effetti, almeno secondo me, hanno centrato uno dei punti essenziali del problema: che, appunto, è quello dei "punti"!
Ed infatti, come Iano giustamente scrive, un punto percorre un tratto, cioè una precisa linea, ma una ruota non è un punto; è un insieme di punti e ogni suo punto percorre un tratto diverso quando la ruota si muove.
Quindi, a voler essere davvero precisi, quando la ruota si muove non percorre alcun tratto.
Ma ne riparleremo più avanti.
***
Quanto a Phil, giustamente mi ha rimproverato che avrei dovuto precisare che entrambe le ruote hanno la stessa velocità di rotazione; io non l'ho scritto, perchè lo avevo considerato implicito (visto che la cosa risulta anche nel videoclip).
Però avrei senz'altro fatto meglio a scriverlo! 
Ed infatti, come giustamente sottolinea Phil, la velocità (in questo caso intesa anche come velocità angolare), costituisce un'informazione fondamentale; ma se consideriamo la circonferenza minima possibile, quella del punto centrale di tutte le circonferenze concentriche, ci imbattiamo in paradossi matematici dovuti alla dimensione del centro in quanto punto di dimensioni indefinite (o meglio, "infinitesimali") da rapportare a dimensioni finite (i 10 metri da percorrere).
Il che è giustissimo, e rende necessario risalire a chi per primo formulò il paradosso.

ARISTOTELE
Il paradosso della due ruote, che viene citato per la prima volta nell'opera greca "Mηχανική ("Meccanica") la cui dubbia paternità è attribuita ad Aristotele, si pone all'interno della "vexata quaestio" attorno al concetto di "infinito", sorta nell'antica Grecia; ed infatti  i Greci ritenevano che l'infinito non fosse conoscibile, e , quindi, di poter conoscere solo ciò che è determinato e finito.
Di conseguenza, sulle tracce di Zenone di Elea, Aristotele affermava che: " ...il numero è infinito in potenza, ma non in atto";  per cui, a suo parere, l'unica idea accettabile era l'infinito potenziale, inteso come divenire.
Tale concezione, però, entrò facilmente in crisi, dando origine a problemi insormontabili e persino a paradossi; come, appunto, anche quello delle due ruote.

GALILEO
Galileo Galilei fu uno dei primi scienziati a mettere in discussione la concezione di infinito propria della filosofia greca, introducendo la possibilità di suddividere un insieme continuo finito, ad esempio un segmento, in infiniti elementi privi di estensione e quindi indivisibili; per cui,  secondo la concezione galileiana, il segmento diventa una manifestazione dell'"infinito attuale".
Altro esempio di "infinito in atto" sarebbe la "circonferenza", che può essere considerata come un poligono regolare formato da infiniti lati privi di estensione; ma in tal modo, introducendo il concetto di infinito attuale,  Galileo andò incontro a diversi paradossi che non riuscì a risolvere.
Tra i quali, appunto, quello delle due ruote.
Ed infatti, come si vede nel videoclip da me realizzato, considerando due ruote concentriche e solidali, quando la più grande rotola e percorre un giro completo, anche la più piccola fa lo stesso, ed entrambe percorrono due segmenti di uguale lunghezza; ma a Galileo sembrò che questa conclusione contraddicesse il fatto che i due segmenti rappresentano lo svolgimento di due circonferenze di lunghezza differente.
Egli allora Galileo si chiedeva: "Or come dunque può senza salti scorrere il cerchio minore una linea tanto maggiore della sua circonferenza?"
Per cui, sconsolato, concludeva: "Queste son di quelle difficoltà che derivano dal discorrer che noi facciamo col nostro intelletto finito intorno all'infinito, dandogli quegli attributi che noi diamo alle cose finite e terminate; il che penso che sia inconveniente".

IL NOCCIOLO DEL PARADOSSO
Il paradosso, a pensarci bene, sta soprattutto nel fatto che sembra esservi una corrispondenza "uno a uno" tra i punti del cerchio grande e i punti di quello piccolo; pertanto la ruota dovrebbe percorrere la stessa distanza senza tenere conto se rotola da sinistra a destra lungo il segmento superiore oppure lungo quello inferiore.
Ma questo  dovrebbe implicare che le due circonferenze relative ai due diversi cerchi siano uguali; il che, ovviamente, è impossibile!
***
Il paradosso, così come spiegato da A.Ruberto in "Mathematicamente", deriva dalla fallace ipotesi che la corrispondenza "uno a uno" (corrispondenza biunivoca) tra punti, voglia dire che due curve devono avere la stessa lunghezza; ma, in realtà, le cardinalità di punti di un segmento di qualsiasi lunghezza (o anche di una retta, un piano, uno spazio a tre dimensioni, o uno spazio euclideo ad infinite dimensioni) sono tutte le stesse: cioè Aleph-1.
Così i punti di uno qualsiasi di questi insiemi può essere in corrispondenza biunivoca con i punti di un altro qualsiasi!

CORRISPONDENZA BIUNIVOCA?
Una ipotetica soluzione, potrebbe essere quella di pensare ad una corrispondenza biunivoca tra la circonferenza piccola e quella grande.
Però tale soluzione, secondo me, risulta:
- contraria al senso comune;
- in contraddizione con il principio di Euclide, in base al quale "il tutto è maggiore della parte".

SOLUZIONE "MECCANICA"
Secondo:

a) Ruberto
Per A.Ruberto la faccenda può essere risolta solo da un punto di vista "meccanico", e non "concettuale".
Cioè, immaginando che il mio videoclip rappresenti una scena reale:
- consideriamo due ruote saldate assieme con la fiamma ossidrica, una interna all'altra, i cui bordi assumono la forma di due circonferenze aventi un diverso diametro;
- le due ruote rotolano per un giro completo "senza strisciare";
- per cui, i percorsi tracciati dalle parti inferiori delle ruote sono due segmenti, che corrispondono apparentemente alle circonferenze delle due ruote.
Ma, stando così le cose, poiché i due segmenti hanno la stessa lunghezza, ne consegue che le due ruote devono avere la stessa circonferenza; il che contraddice la premessa, e, cioè, che i due cerchi abbiano dimensioni diverse!
***
La fallacia del ragionamento, sotto il profilo  meccanico, si fonda sul presupposto che anche la ruota più piccola tracci il suo percorso rotolando "senza strisciare" su una superficie fissa; ma, in realtà, fisicamente, è impossibile che entrambe le ruote eseguano tale tipo di moto.
Ed infatti, fisicamente, se due ruote concentriche di raggio diverso, e collegate tra loro, rotolassero lungo percorsi paralleli allora almeno una delle due dovrebbe strisciare; se fosse utilizzato un sistema di ingranaggi per evitare lo strisciamento, allora le ruote si incepperebbero.
***
Per rendere meglio l'idea, pensate a quando si parcheggia troppo vicino ad un marciapiede; lo pneumatico esterno della vettura rotola senza strisciare sul manto stradale, mentre il coprimozzo interno rotola e striscia lungo tutto il marciapiede (e lo strisciamento è evidenziato da un rumore stridente).

b) Mio figlio.
Mio figlio, che è ingegnere meccanico, circa il paradosso in questione mi ha scritto su WHATSAPP quanto segue (testualmente):
"Per quanto riguarda il paradosso delle ruote, il problema è malposto, in quanto dovresti aggiungere come condizione che entrambe le ruote abbiano la stessa velocità di rotazione(lo hai dato per scontato).
Detto ciò se tu fai rotolare perfettamente una delle due, ovvero su una delle due ruote non si ammette strisciamento, lo spazio percorso per puro rotolamento è senza dubbio 2x pigrecox raggio. Visto che i raggi sono diversi lo sono anche i percorsi di puro rotolamento, il che significa che l altra ruota non ha un moto di puro rotolamento ma un moto misto, rotolamento + strisciamento. Sommando i due contributi lo spostamento totale torna uguale all' altra ruota.
Se entrambe avessero un moto di puro rotolamento la più grande a parità di giri percorrerebbe uno spazio i doppio della ruota piccola
Il rotolamento puro è quello per cui il punto di contatto con il terreno è sempre il centro di istantanea rotazione, nel caso del tuo video questo punto coincide con il punto di contatto tra la ruota grande e la retta, visto che le due ruote di muovono solidali, quello sara anche il centro di Istantanea rotazione della ruota piccola, quindi la ruota piccola non può muoversi di puro rotolamento perché il centro di istantanea rotazione non coincide con il suo punto di contatto sulla retta"
"Relata refero!"

RAPPORTO INVERSO
Infine, se tali ragionamenti non dovessero risultare troppo convincenti, la fallacia del paradosso potrebbe "aliunde" ricondursi al  presupposto che la ruota più piccola sia indipendente dalla ruota grande; ed infatti, supponendo che uno pneumatico sia la ruota più grande, e ipotizzando che la ruota più piccola sia la circonferenza interna dello pneumatico, ecco che il movimento del cerchio interno dipende dal movimento del cerchio più grande.
Pertanto, il suo movimento da qualsiasi punto ad un altro può essere calcolato utilizzando un inverso del loro rapporto.
***
Per cui ho cercato di realizzare il videoclip del presunto paradosso nel mondo reale, sempre visionabile con la password "logos":
https://www.dailymotion.com/video/x866ktn
***
Un saluto a tutti!
***

Stavo riflettendo che, in effetti, dal punto A al punto B, l'unico punto che si sposta in linea retta, sul tratto A_B, è il punto centrale dei due cerchi; tutti gli altri punti della loro area e della loro circonferenza, si limitano a ruotare intorno punto centrale di ciascuno dei due cerchi, ma non si spostano minimamente in linea retta sul tratto A_B.
Per cui, sia che i cerchi (o "ruote") che dir si voglia, rotolino o meno da A a B, ovvero si spostino da A a B restando fissi senza ruotare, l'unico punto che si sposta in linea retta, sul tratto A_B è il loro centro.
Così come dal seguente videoclip, laddove i cerchi sono indipendenti tra di loro;  fissi o ruotanti che li si voglia considerare, le cose non cambiano.
https://www.dailymotion.com/video/x866n6k
La rotazione dei cerchi sovrapposti, in effetti, non incide su ciò che effettivamente si sposta dal dal punto A al punto B...che, "appunto", non può essere che un "punto", e non un "cerchio" (piccolo o grande che esso sia)!
https://www.dailymotion.com/video/x866ktn
Non vi pare?

Ma caro Galilei, un cerchio non scorre una linea.
Se invece vogliamo svolgere una circonferenza, non potremo farlo facendo girare un cerchio, perché non appena la circonferenza iniziasse a svolgersi il cerchio inizierebbe a disfarsi.

Ciao Iano.
Tu hai scritto: "Se vogliamo svolgere una circonferenza, non potremo farlo facendo girare un cerchio, perché non appena la circonferenza iniziasse a svolgersi il cerchio inizierebbe a disfarsi."
La tua acutissima osservazione, mi ha fatto nascere un'altro dubbio; che, però, forse nasce soltanto dalla mia ignoranza in materia di meccanica, fisica, matematica e geometria (per non dire del resto).
Quindi, se scriverò delle stupidaggini, ti prego di perdonarmi.

***
Poniamo che la rotellina più piccola che ho usato nel mio rozzo esperimento domestico abbia una circonferenza di 10 centimetri, mentre la rotellina più grande abbia una circonferenza di 20 centimetri. 

***
Ora:
- se io inzuppo d'acqua la ruota piccola, e poi le faccio fare una rotazione completa sopra un filo teso sotto di lei, suppongo che mi si dovrebbero bagnare soltanto 10 centimetri di filo;
- se, invece, io inzuppo d'acqua la ruota grande, e poi le faccio fare una rotazione completa sopra un filo teso sotto di lei, suppongo che mi si dovrebbero bagnare 20 centimetri di filo, cioè, il doppio.

***
Però, se io eseguo lo stesso esperimento di prima, con due distinti fili sottesi le due ruote, le quali compiono una rotazione contestuale e vincolata per spostarsi dal punto A al punto B (che, ovviamente, riguarda solo i loro centri), a me risulta che i due distinti fili si bagnano per la stessa identica lunghezza.
https://www.dailymotion.com/video/x86793j
***
Evidentemente c'è qualcosa che non torna, per cui devo aver sbagliato qualche passaggio!
Cioè:
a)
O non è vero che se io inzuppo d'acqua una ruota, e poi le faccio fare una rotazione completa sopra un filo teso sotto di lei, la lunghezza del filo bagnato corrisponde alla lunghezza della sua circonferenza.
b)
Oppure, se è vero che la lunghezza del filo bagnato corrisponde alla lunghezza della circonferenza della ruota, allora non si spiega come sia possibile che due ruote, vincolate e sovrapposte, di diversa circonferenza possano bagnare due fili ad esse sottesi esattamente nella stessa identica misura.
Evidentemente, c'è qualcosa che mi sfugge!

***
Un saluto
***

Come osservato da tuo figlio «Il rotolamento puro è quello per cui il punto di contatto con il terreno è sempre il centro di istantanea rotazione, nel caso del tuo video questo punto coincide con il punto di contatto tra la ruota grande e la retta, visto che le due ruote di muovono solidali, quello sara anche il centro di Istantanea rotazione della ruota piccola, quindi la ruota piccola non può muoversi di puro rotolamento perché il centro di istantanea rotazione non coincide con il suo punto di contatto sulla retta»(cit.).
Ossia: la circonferenza piccola ruota concentricamente a quella grande, ma è la grande ad avere una rotazione con "presa meccanica" sul piano, mentre quella piccola viene trascinata da quella grande, ruotando ma non come ruoterebbe se fosse lei a determinare la rotazione toccando direttamente il piano. Per rendere più lampante come la rotazione della circonferenza minore sia "trascinata" (come se scivolasse anziché far presa sulla superficie d'appoggio), prova ad usare due circonferenze molto differenti l'una dall'altra (una di raggio 1 cm e una di raggio 20 cm, ad esempio) e noterai che la circonferenza minore rotola e al contempo trasla, mentre la maggiore rotola senza traslare (facendo presa sul piano).
Un'ulteriore prova empirica potrebbe essere: appoggia il tappo sul bordo del tavolo (tenendo il barattolo fuori dal tavolo) e fai compiere al tappo un giro completo (percorrerai lo spazio esatto della sua circonferenza); se invece appoggi il barattolo sul tavolo (e il tappo resta sospeso) percorrerai una lunghezza uguale alla circonferenza maggiore. Lo spazio percorso dopo un giro, dipende da quale delle due circonferenze ha realmente contatto sul piano, quella "sospesa" o "inscritta" non percorre la propria circonferenza, ma percorre, "traslando", la lunghezza della circonferenza che ha attrito sul piano.

Ciao Phil.
Ero perfettamente convinto che tu e mio figlio aveste perfettamente ragione per quanto concerne il fenomeno del "rotolamento"; però non riuscivo ancora a spiegarmi il fenomeno dell'"umidificazione dei due fili bianchi" (che, nel videoclip, purtroppo, non sono riuscito a rendere adeguatamente).
Tuttavia, come scriverò a conclusione di questo post, credo che uno dei tuoi esempi sia davvero "illuminante" al riguardo; almeno, se l'ho ben compreso!
***
Per farti capire meglio il mio residuo dubbio (o meglio, la mia mera perplessità), considera che io partivo dal seguente duplice presupposto di carattere sia logico che sperimentale:
- se io inzuppo d'acqua una rotellina che ha una circonferenza di 10 centimetri , e poi le faccio fare una singola rotazione completa sopra un filo asciutto lungo un metro steso sotto di essa, mi si dovrebbero bagnare soltanto 10 centimetri di filo (pari, cioè, alla circonferenza della rotellina);
- se, invece, io inzuppo d'acqua una rotellina che ha una circonferenza di 20 centimetri , e poi le faccio fare una singola rotazione completa sopra un filo lungo un metro steso sotto di essa, mi mi si dovrebbero bagnare 20 centimetri di filo (pari, cioè, alla circonferenza della rotellina più grande).
***
Se, come credo, tale presupposto è corretto, prendiamo adesso la rotellina con dieci cm di circonferenza, e "attacchiamola" sopra la rotellina con 20 cm di circonferenza, come se si trattasse di una borchia coprimozzo montata al centro di uno pneumatico.
Poi prendiamo anche due fili bianchi, asciutti, tendendoli:
- uno sotto la superficie sporgente della ruota piccola;
- l'altro sotto la ruota grande.

***
E adesso vediamo cosa succede se si fa "rotolare" la ruota grande sul tavolo, con la sua borchietta attaccata sopra:
a)
Il "punto di contatto" con il terreno (cioè col mio tavolo) è sempre e soltanto quello della circonferenza della ruota grande, mentre la ruota piccola, innestata sulla grande come una borchia su uno pneumatico, non tocca mai  il terreno (cioè il mio tavolo); per cui è assolutamente corretto, come tu scrivi, che la circonferenza piccola ruota concentricamente a quella grande, ma è la grande ad avere una rotazione con "presa meccanica" sul piano, mentre quella piccola viene trascinata da quella grande, ruotando anch'essa, sì, ma non come ruoterebbe se fosse lei a determinare la rotazione toccando direttamente il piano.
Sono perfettamente d'accordo!
b)
Però, nel mio secondo video, a differenza che nel primo, devi tenere conto che da considerare "nel gioco":
- non ci sono soltanto due ruote ed un piano;
- bensì ci sono due ruote, un piano e "due fili bianchi asciutti ciascuno dei quali sottesi alla due ruote" (uno sotto la superficie sporgente della ruota piccola, e uno  uno sotto la ruota grande).
Quindi, se io eseguo lo stesso esperimento del primo video, ma mettendo due distinti fili asciutti sottesi alle due rotelline, a me "sembra" che i due distinti fili si bagnino "per la stessa identica lunghezza di 20 cm" (come, in effetti, accade sul serio).
Guarda (la password è "logos").
https://www.dailymotion.com/video/x86793j
***
Ora, tu, giustamente, scrivi: "Visto che le due ruote di muovono solidali, quello sara anche il centro di Istantanea rotazione della ruota piccola, quindi la ruota piccola non può muoversi di puro rotolamento perché il centro di istantanea rotazione non coincide con il suo punto di contatto sulla retta"
Ok!
***
E poi, ancor meglio, spieghi che: "La circonferenza piccola ruota concentricamente a quella grande, ma è la grande ad avere una rotazione con "presa meccanica" sul piano, mentre quella piccola viene trascinata da quella grande, ruotando ma non come ruoterebbe se fosse lei a determinare la rotazione toccando direttamente il piano."
Ok!
***
Oltre a tali due eccellenti spiegazioni, che condivido in pieno, ma che non bastavano ancora a fugare il mio dubbio, tu, poi, offri anche due illuminanti esempi:
1)
"Per rendere più lampante come la rotazione della circonferenza minore sia "trascinata" (come se scivolasse anziché far presa sulla superficie d'appoggio), prova ad usare due circonferenze molto differenti l'una dall'altra (una di raggio 1 cm e una di raggio 20 cm, ad esempio) e noterai che la circonferenza minore rotola e al contempo trasla, mentre la maggiore rotola senza traslare (facendo presa sul piano)."
2)
"Un'ulteriore prova empirica potrebbe essere: appoggia il tappo sul bordo del tavolo (tenendo il barattolo fuori dal tavolo) e fai compiere al tappo un giro completo (percorrerai lo spazio esatto della sua circonferenza); se invece appoggi il barattolo sul tavolo (e il tappo resta sospeso) percorrerai una lunghezza uguale alla circonferenza maggiore. Lo spazio percorso dopo un giro, dipende da quale delle due circonferenze ha realmente contatto sul piano, quella "sospesa" o "inscritta" non percorre la propria circonferenza, ma percorre, "traslando", la lunghezza della circonferenza che ha attrito sul piano."
***
Questo tuo secondo esempio, secondo me, se lo ho ben compreso, è il più illuminante; e, forse, quello che più si avvicina a chiarire il mio dubbio, in quanto, almeno in parte, corrisponde esattamente a ciò che ho fatto io.
Ed infatti, usando il solo tappo (cioè la ruota più piccola) sul bordo del tavolo e facendole compiere un giro completo,  ho percorso lo spazio esatto della sua circonferenza, bagnando solo 10 cm di filo; il che era assolutamente logico e prevedibile.
E' anche assolutamente logico che se, invece, si fa ruotare il barattolo sul tavolo con il tappo attaccato sopra,  quest'ultimo percorrerà una lunghezza uguale alla circonferenza maggiore; ed infatti, come tu giustamente osservi, lo spazio percorso dopo un giro, dipende da quale delle due circonferenze ha realmente contatto sul piano.
***
La tua frase "chiave" è: "Quella "sospesa" o "inscritta" non percorre la propria circonferenza, ma percorre, "traslando", la lunghezza della circonferenza che ha attrito sul piano."
Il che, forse, mi ha fatto finalmente capire dove il mio vecchio cervello si inceppava!
***
Ed infatti, credo che tu intenda dire che la ruota piccola, bagna esattamente la stessa lunghezza di filo della ruota grande, ma con la seguente radicale differenza:
a)
La ruota grande bagna per 20 cm il filo che sta sotto di lei, semplicemente rotolandoci sopra, senza nessuno "strisciamento";
b)
La ruota piccola, invece, bagna anch'essa per 20 cm il filo che sta sotto di lei, ma:
- in parte per "rotolamento" (10 cm, pari alla sua circonferenza);
- in parte per "strisciamento" (20 cm, pari alla sua circonferenza più lo "strisciamento" dovuto al "trascinamento" della ruota più grande, sulla quale è attaccata).
***
Deve essere senz'altro così, perchè, per mero "rotolamento", è impossibile che una circonferenza di soli 10 cm bagni un filo per ben 20 cm.
***
La cosa davvero strana, e che tutt'ora mi inganna visivamente, è che io non riesco assolutamente a vedere la rotellina piccola "strisciare" sul filo, ma mi sembra semplicemente "ruotare" su di esso; ma, anche se il mio occhio non riesce assolutamente a distinguere i due movimenti, deve essere per forza così.
Cioè, il tutto si ridurrebbe ad una mera "illusione ottica"!
Guarda (la password è "logos").
https://www.dailymotion.com/video/x86793j***
Sei d'accordo?
***
Un saluto!
***
P.S.
Sono un po' duro di comprendonio, ma, forse, un passo alla volta, ci sono arrivato pure io!

***

Ciao Eutidemo.
La tua idea di esperimento "umido" mi sembra molto buona, ma io lo completerei misurando non quanto siano lunghe le tracce, ma quanta umidità sia stata trasferita, se fosse possibile farlo.
Sarebbe una misura equivalente a quanta gomma lascia sul terreno una gomma che slitta o perde aderenza rispetto ad una che non slitta e non perde aderenza.
Credo comunque che sarebbe utile considerare non due cerchi concentrici , ma due poligoni concentrici, di cui i due cerchi come tu stesso hai suggerito, sarebbero il caso limite per il numero di lati dei poligoni che tendono ad infinito, accogliendo anche il suggerimento di Galilei, che,  come tu hai ben spiegato, il problema possa stare nel considerare possibile un infinito attuale.
Banalmente possiamo considerare due quadrati concentrici imbevendo i suoi lati di inchiostro, piuttosto che di acqua, e vedere i tratti misurabili stampati sul percorso.
È evidente in questo caso che il quadrato più piccolo lascerebbe un totale stampato più piccolo perché la traccia lasciata sarebbe una sequenza di tratti e di vuoti, a differenza del quadrato più grande che lascerebbe un unico tratto continuo.
Possiamo visualizzare la cosa col fatto che il,quadrato più grande quando svolta, fa' fare a quello più piccolo un salto.
Cioè quando il quadrato grande si limita a svoltare su un suo angolo non lo fa' in modo istantaneo, consentendo all'angolo del quadrato piccolo in quel tempo di effettuare un salto, cioè di muoversi mentre l'altro sta fermo, o meglio ruota sul suo punto di angolo.
Se facciamo aumentare i lati del poligono avremo per quello grande sempre un tratto continuo, mentre per quello piccolo un sempre maggior numero di tratti discontinui,perché intervallati da tratti vuoti, che non lasciano inchiostro.
I tratti discontinui aumenteranno di numero diminuendo ognuno di lunghezza, e lo stesso avverrà per i tratti lasciati bianchi, non stampati.
Al limite avremo quindi una linea fatta di punti neri intervallati a punti bianchi.
Che tipo di infinito insiste su questa linea "discontinua".
Possiamo porla in corrispondenza biunivoca con una linea continua fatta tutta di punti neri come quella che lascia il cerchio più grande?
A questo potrebbe rispondere solo un esperto matematico ben addentro alla teoria di Cantor sugli infiniti.
A naso però direi che si tratti di infiniti di ordine diverso., anche se inchiostrando le circonferenze dei diversi cerchi vedremmo due tracce uguali e continue.
Direi quindi che tuo figlio ci ha visto giusto . Il cerchio piccolo perde e acquista aderenza in continuo,
Mentre quello grande comanda il gioco non perdendo mai aderenza.
Ma su questo non potevano esserci dubbi in effetti fin dall'inizio.
Tanto padre, tanto figlio.😊

P.s. Ho scritto senza aver letto il precedente post.
Se siamo giunti ad una conclusione accettabile fra tuo figlio, Phil e gli altri, è perché Galilei non poteva sapere quel che ha scoperto dopo Cantor, il quale non solo ha confermato l'esistenza dell'infinito attuale, ma l'ha rafforzata scoprendo diversi tipi di infiniti attuali.
Ci troviamo in effetti di fronte a due diversi infiniti attuali, che Galilei considerava uguali, perché non considerava potessero esservene di diversi tipi.
Il paradosso apparente nasceva quindi dal non riuscire a distinguere un infinito dall'altro, come se le due tracce, i due percossi, fossero uguali.

Per ottenere una traccia percepibile dello slittamento della ruota piccola, che non avviene in quella grande, se non si dispone di un "timbro rotante" (rivisitando quanto scritto da iano: il timbro grande stamperebbe esattamente le proprie lettere, quello piccolo le deformerebbe, allungandole nel venir trascinato), si potrebbero attaccare degli aghi identici sulle due circonferenze e poi farle scorrere su due nastri di carta: la circonferenza maggiore, quella che tocca il tavolo, dovrebbe lasciare una traccia di buchi precisi, mentre la circonferenza minore, scorrendo sul nastro sospeso sopra il tavolo, dovrebbe tendere a strappare il nastro, lasciando dei buchi "allungati" per l'effetto "traslazione" (quanto più la differenza fra le due circonferenze è elevata, tanto più l'effetto di traslazione della minore risulterà evidente).

Citazione di: Phil il 11 Dicembre 2021, 16:58:26 PM
Per ottenere una traccia percepibile dello slittamento della ruota piccola, che non avviene in quella grande, se non si dispone di un "timbro rotante" (rivisitando quanto scritto da iano: il timbro grande stamperebbe esattamente le proprie lettere, quello piccolo le deformerebbe, allungandole nel venir trascinato), si potrebbero attaccare degli aghi identici sulle due circonferenze e poi farle scorrere su due nastri di carta: la circonferenza maggiore, quella che tocca il tavolo, dovrebbe lasciare una traccia di buchi precisi, mentre la circonferenza minore, scorrendo sul nastro sospeso sopra il tavolo, dovrebbe tendere a strappare il nastro, lasciando dei buchi "allungati" per l'effetto "traslazione" (quanto più la differenza fra le due circonferenze è elevata, tanto più l'effetto di traslazione della minore risulterà evidente).

E anche questo mi sembra un esperimento ben congegnato. Correggerei solo slittamento con perdita di aderenza. Otterremo cioè non lettere deformate, ma parole incomplete in un caso e complete nell'altro.
Se si trattasse di uno slittamento otterremmo forse una altro strano tipo di infinito attuale, dove alcuni punti del percorso continuo verrebbero rimarcati più volte, una specie di continuo rafforzato, che a naso direi però  indistinguibile dal continuo normale, così che i due percorsi potrebbero ancora porsi in corrispondenza biunivoca, ciò che li equiparerebbe come tipologia di infinito, quindi infiniti di pari grado.

Forse è il caso di precisare quale sia l'operazione che certifica l'uguaglianza fra infiniti apparentemente diversi.
Apparentemente diversi perché i rispettivi termini sono stati diversamente nominati.
Occorre quindi dimostrare che ad ogni nome- termine di un insieme corrisponda uno ed un solo nome- termine dell'altro e viceversa.
Così si verifica ad esempio che il sistema con cui si da' un nome ai numeri razionali è equivalente al modo in cui si da' un nome ai numeri naturali.
Si dice allora che i numeri razionali posseggono la stessa cardinalita' dei numeri naturali., cioè sono lo stesso tipo di infinito.
Non sono un esperto quindi non prendete ciò per oro colato.
In effetti causa ignoranza mi tocca sempre improvvisare.


Volevo ancora rimarcare che Galilei giunse ad una conclusione arguta, ma sbagliata.
Arguta perché spiegava bene le cose per quello che se ne sapeva.
Sbagliata perché non si finisce mai di sapere, tutto Galilei non poteva sapere, e in generale nessuno di noi.
Possiamo trarre ottime conclusioni provvisorie in base alle nostre conoscenze, che però non potranno mai considerarsi esatte in modo definitivo.
Galilei non poteva concludere altrimenti che il problema stesse nell'aver creduto egli  possibile la sua ammissione di un infinito attuale.
Oggi sappiamo che aveva ragione lui. Il suo intuito, se non il suo ragionamento, non aveva fatta cilecca. Quello di Aristotele invece si..
Entrambi però, mi azzardo a dire, si erano concentrati sull'infinito in se', e non sul modo in cui viene costruito, che è ciò che fa' la differenza sul tipo di infinito che può ottenersi dalla costruzione.
È perché abbiamo presente il come facciamo a costruirli che possiamo non solo immaginarli, ma anche confrontarli.
Così quando li immaginiamo, senza sapere però come abbiamo fatto a costruirli, non possiamo allora confrontarli, e considerandoli perciò come cosa non costruita, ma come cosa in se' , non potremo che pensarli uguali.
Ciò a mio parere vale per ogni cosa che possiamo immaginare, e non solo per l'infinito che pur sembra sfidare in modo estremo la nostra immaginazione, ma che può come ogni cosa immaginata ricondursi alla sua genesi, che c'è sempre, anche quando rimane nascosta.