un tale paradosso è un semplice esempio di come la matematica, in alcune circostanze , possa portare a una contraddizzione, ovvero un paradosso. Cioè a qualcosa che logicamente sembra corretto ma che poi nella realtà, di fatto, non lo è.
Non lo è di certo nello spazio tridimensionale in cui viviamo , ma è forse possibile in costruzioni matematiche di spazi diversi e con propietà e premesse diverse e con funzioni diverse come gli spazi di hilbert o di banach la cui complessità è al di fuori della mia portata.

Citazione di: Alberto Knox il 27 Febbraio 2023, 16:50:15 PMun tale paradosso è un semplice esempio di come la matematica, in alcune circostanze , possa portare a una contraddizzione, ovvero un paradosso. Cioè a qualcosa che logicamente sembra corretto ma che poi nella realtà, di fatto, non lo è.
Non lo è di certo nello spazio tridimensionale in cui viviamo , ma è forse possibile in costruzioni matematiche di spazi diversi e con propietà e premesse diverse e con funzioni diverse come gli spazi di hilbert o di banach la cui complessità è al di fuori della mia portata.

Il punto è che non si tratta di un paradosso, e infatti Eutidemo lo ha indicato come ''paradosso''.
La matematica inoltre non porta a contraddizioni, ma il tentativo di dimostrazione di una tesi può portare a contraddizioni, e avremo un teorema quando non giungiamo a contraddizioni, dimostrando in tal modo la tesi.
Nel nostro caso abbiamo propriamente un teorema, cioè una tesi correttamente dimostrata a partire da precise ipotesi, una delle quali è ''l'assioma di scelta'', ed è proprio la presenza di questo assioma, presenza non necessaria perchè libera rimane la scelta degli assiomi, a portare a conseguenze che alcuni poco gradiscono al punto da chiamare un teorema che da quell'assioma correttamente deriva, un ''paradosso''.
''Paradosso'' quindi è da intendersi  come modo dispregiativo di indicare un teorema, che essendo però correttamente dimostrato non ha in sè  nulla di paradossale.

Semplicemente gli autori del cosiddetto ''paradosso'', da intendersi correttamente come teorema, ci dicono: guardate a quali conseguenze porta scegliere di assumere l'assioma di Zermelo,  e considerate dunque se volete mantenere la vostra scelta.
A questo appello finora la maggioranza dei matematici hanno risposto picche.
Perchè? Sono sicuro che avranno avuto i loro buoni motivi per farlo.
E magari noi, non addetti ai lavori, potremmo avere pur competenza a discutere di questi motivi.

Io ho suggerito il seguente motivo in generale:
può sembrare logicamente corretto considerare infinitesimi e infiniti, che però nella realtà non esistono.
Ma se da questo ragionamento si fosse fatto condizionare Newton non avrebbe scritto la sua teoria.

Citazione di: iano il 27 Febbraio 2023, 18:11:10 PMIl punto è che non si tratta di un paradosso, e infatti Eutidemo lo ha indicato come ''paradosso''.
La matematica inoltre non porta a contraddizioni, ma il tentativo di dimostrazione di una tesi può portare a contraddizioni, e avremo un teorema quando non giungiamo a contraddizioni, dimostrando in tal modo la tesi.

veramente Eutidemo ha messo tra virgolette "raddoppiamento della sfera" indicando che è questo enunciato il paradosso. E se parliamo di teoremi allora inserisco un teorema fondamentale della matematica enunciato da Kurt Godel secondo cui esistono enunciati matematici di cui nessuna procedura sistematica può determinare la verità o la falsità dell enunciato.

E' pure possibile che Newton ci credesse veramente nell'esistenza degli infiniti e infinitesimi, ma noi che invece non crediamo esistano fuori dalla matematica, non perciò abbiamo rigettato la sua teoria, ma semmai dovremmo prendere coscienza di come sia utile tenere separata la matematica dalla sua supposta preventiva applicabilità, in base a ciò che si sceglie di assiomatizzare.
Se fossi un matematico direi: lasciateci lavorare.

Citazione di: Alberto Knox il 27 Febbraio 2023, 18:51:15 PMveramente Eutidemo ha messo tra virgolette "raddoppiamento della sfera" indicando che è questo enunciato il paradosso. E se parliamo di teoremi allora inserisco un teorema fondamentale della matematica enunciato da Kurt Godel secondo cui esistono enunciati matematici di cui nessuna procedura sistematica può determinare la verità o la falsità dell enunciato.

Vero, ma Godel qui non ci aiuta, perchè la verità dell'enunciato è stata dimostrata.

Citazione di: iano il 27 Febbraio 2023, 18:57:08 PMVero, ma Godel qui non ci aiuta, perchè la verità dell'enunciato è stata dimostrata.

sarà dimostrata quando "smonterai" a pezzi un anguria e ne ricaverai due di ugual misura e peso .
 la domanda è in che senso è dimostrata? in quale ambito e con quali premesse?
Questi paradossi sono interessanti dal punto di vista logico, ciò non toglie, che sono e rimangono paradossi.

Citazione di: Alberto Knox il 27 Febbraio 2023, 19:01:28 PMsarà dimostrata quando "smonterai" a pezzi un anguria e ne ricaverai due di ugual misura e peso .
 la domanda è in che senso è dimostrata? in quale ambito e con quali premesse?
Questi paradossi sono interessanti dal punto di vista logico, ciò non toglie, che sono e rimangono paradossi.

E' la stessa rispettabile posizione di Eutidemo che io ho battezzato ''come matematica del coltello'' , dove è il coltello a fare a pezzi l'anguria.
Ma per avere a disposizione questo coltello bisogna rifiutare l'assioma di scelta di Zermelo.
Una volta rifiutatatolo  avrai a disposizione un coltello col quale tagliare l'anguria come ti pare, ma nel momento in cui andrai a ricomporre i pezzi otterrai sempre la stessa anguria, e non c'è neanche bisogno di tagliare l'anguria, perchè si può dimostrare matematicamente che è così.
Ma il fatto che la matematica dimostra tutto è il contrario di tutto non significa che è contraddittoria, ma che la dimostrabilità di una tesi non è indipendente dagli assiomi assunti.

Citazione di: iano il 27 Febbraio 2023, 19:13:23 PME' la stessa rispettabile posizione di Eutidemo che io ho battezzato ''come matematica del coltello'' , dove è il coltello a fare a pezzi l'anguria.
Ma per avere a disposizione questo coltello bisogna rifiutare l'assioma di scelta di Zermelo.
Una volta rifiutatatolo  avrai a disposizione un coltello col quale tagliare l'anguria come ti pare, ma nel momento in cui andrai a ricomporre i pezzi otterrai sempre la stessa anguria, e non c'è neanche bisogno di tagliare l'anguria, perchè si può dimostrare matematicamente che è così.
Ma il fatto che la matematica dimostra tutto è il contrario di tutto non significa che è contraddittoria, ma che la dimostrabilità di una tesi non è indipendente dagli assiomi assunti.

ma non me ne frega niente di Zermelo, quello che mi frega è se tutta sta costruzione di assiomi di logica matematica e geometrica è applicabile alla realtà . Sembra di no, quindi è una dimostrazione logica non applicabile . le equazioni di Newton sono applicabile alla realtà fenomenica? sì lo sono, infatti posso predire le eclissi di sole e di luna tramite un algoritomo basato sulla gravità universale. nel primo caso abbiamo un interessante costruzione logica che funziona solo in senso logico, dall altra abbiamo una costruzione matematica che si applica alla realtà. Questo è tutto ciò che ho imparato da questo interessante paradosso presentato da Eutidemo. E qui passo e chiudo.

Citazione di: Alberto Knox il 27 Febbraio 2023, 19:49:51 PMma non me ne frega niente ... E qui passo e chiudo.

ok

La dimostrazione del paradosso ha lo scopo di mostrare come l'assioma della scelta sia una "ca..ta pazzesca".
Cioè come la cosificazione dell'infinito porti a conclusioni assurde.

Se però non si afferra, che lo scopo della dimostrazione è quello di denunciare la inconsistenza di questo assioma, allora si può addirittura accettare l'assurdo, senza evidentemente capirlo, ma solo perché lo dice la "matematica".
E con l'assurdo nessun dialogo è possibile...

Citazione di: Eutidemo il 28 Febbraio 2023, 10:41:23 AM

Sotto un profilo meramente "fisico", se non è troppo grande,  un sasso ha senz'altro confini ben definiti e delimitati, anche se non posso misurarlo con una formula matematica (ad es. lato alla terza potenza, nel caso in cui fosse un cubo); altrimenti, se fosse senza  confini ben definiti e delimitati, io non potrei tenerlo in una mano e stringerlo nel mio pugno.

Sotto un profilo "metafisico", invece, tutto è ESSERE illimitato e infinito, e tutte le cose (sasso e mano) sono UNO.
Ma, a mio avviso, non bisogna mai confondere i due piani!

Dire che un sasso può avere qualunque confine, compreso l'universo intero, non significa che abbia un confine illimitato, ma indefinito perchè non vi è un solo modo di definirlo, quindi indefinito finché il contesto in cui interagiamo col sasso non ci suggerisce una definizione.
Nel caso in cui strighiamo il sasso ad esempio possiamo assumere come confine la superficie in cui la forza elettrica si oppone alla mano.
Quando invece osserviamo il sasso possiamo definire la sua superficie come quella in cui si riflettono i raggi luminosi.
Quindi non è in questo ambito che viene a introdursi il ''vituperato infinito''.
Avere una superficie definita equivarrebbe ad avere un volume, ed avere un volume sembrerebbe equivalere ad avere una misura di questo volume.
Ma questa misura per essere effettuata deve essere definita, e nel caso classico ciò tira in ballo gli integrali matematici il cui concetto riposa su infinitesimi e infiniti.
Nel caso non classico l'infinito è tirato in ballo con l'assioma di Zermelo, ed è da questo ultimo caso che si trae il ''paradosso''.
Ma la spettacolarità del paradosso non deve farci sfuggire da cosa esso si origina, e si origina dal fatto che in base a certe definizioni di misura certe superfici rinchiudono un volume che ''non ha misura''.
Questo è il ''paradosso'' originario dal quale si genera il nostro.
Dato un ''paradosso'', che esso ne generi altri non è da considerarsi strano, ma consequenziale.
Questo dovrebbe suggerirci di rifiutare l'assioma di Zermelo, ma i matematici lo hanno mantenuto, e chi siamo noi per dire che perciò sono dei nichilisti, se non conosciamo le loro motivazioni?

Citazione di: Eutidemo il 28 Febbraio 2023, 10:41:23 AM

Sotto un profilo meramente "fisico", se non è troppo grande,  un sasso ha senz'altro confini ben definiti e delimitati, anche se non posso misurarlo con una formula matematica (ad es. lato alla terza potenza, nel caso in cui fosse un cubo); altrimenti, se fosse senza  confini ben definiti e delimitati, io non potrei tenerlo in una mano e stringerlo nel mio pugno.

Sotto un profilo "metafisico", invece, tutto è ESSERE illimitato e infinito, e tutte le cose (sasso e mano) sono UNO.
Ma, a mio avviso, non bisogna mai confondere i due piani!

Tu puoi stringere nella tua mano il sasso proprio perché non è ben definito e delimitato.
Infatti, se lo fosse nulla potrebbe avvenire, quindi neppure lo stringere il sasso.
Perché il divenire sarebbe impossibile.

Prova a considerare cosa significhi, per davvero, stringere nella tua mano il sasso.
E potrai constatare come il "contatto" sia sempre e solo supposto per semplicità, ma mai reale.

Se vi fosse un qualcosa di veramente definito e delimitato, questo qualcosa, pur minuscolo quanto si voglia, impedirebbe il divenire.

Citazione di: bobmax il 28 Febbraio 2023, 11:31:12 AMTu puoi stringere nella tua mano il sasso proprio perché non è ben definito e delimitato.
Infatti, se lo fosse nulla potrebbe avvenire, quindi neppure lo stringere il sasso.
Perché il divenire sarebbe impossibile.

Prova a considerare cosa significhi, per davvero, stringere nella tua mano il sasso.
E potrai constatare come il "contatto" sia sempre e solo supposto per semplicità, ma mai reale.

Se vi fosse un qualcosa di veramente definito e delimitato, questo qualcosa, pur minuscolo quanto si voglia, impedirebbe il divenire.

Non ti capisco