Salve bobmax. Citandoti : "Di modo che, se la stessa domanda l'avesse fatta pure B e la risposta fosse stata C, noi osservatori esterni a conoscenza delle tre risposte potremmo dire che A sarà graziato al 100%.
Mentre ognuno dei tre prigionieri dovrà invece necessariamente stimare la propria probabilità a 1/3".

E' tutto giusto ma purtroppo rappresenta una visione parzialedel problema probabilistico : hai considerato le probabilità relative agli osservatori esterni, poi hai considerato le probabilità per ciascuno dei TRE coinvolti.

Manca una importante considerazione : quella relativa ai SOLI DUE che dovranno morire..............le cui probabilità di morte - dopo la risposta del guardiano - risultano passare da 1/3 a 1/2 ciascuno. E' questo il dato la cui incertezza ha mosso -A- nel suo porre la propria domanda al guardiano.  Saluti.

Tuttavia Viator, i due che dovranno morire hanno una probabilità del 100% ciascuno di morire.
Difatti non è più una questione di probabilità.

Per il guardiano, che sa come stanno le cose, non vi sono probabilità ma solo certezze.

Per noi che osserviamo da fuori vi è la certezza, e non la probabilità, che B muoia, mentre vi è la probabilità del 50% che muoia A e la stessa per B (paradosso integrato)

Mentre per A, per B e per C la propria probabilità di morire è 2/3.
(paradosso integrato)

Ciao Eutidemo. Mi riferisco alla prima formulazione.
Appoggiandomi  alle critiche di Phil, mi chiedo quanto della difficoltà nell'accettare la soluzione proposta non derivi dal fatto che hai scelto forse una versione del problema non felice.
Infatti a rigore la domanda di A è irricevibile dal guardiano, perché incompleta.
A infatti esclude il caso che sia B che C muoiano entrambi.
Se fossi stato il guardiano non avrei risposto pensando a una domanda trabocchetto.
Ma, se tuttavia il guardiano ha risposto, come facciamo a considerare corretta la risposta  a una domanda formulata in modo errato?
La tua seconda formulazione eredità quindi le stesse mie critiche.


Tuttavia , volendola tenere in piedi questa formulazione , se il calcolo delle probabilità muta in base alle informazioni date dal guardiano, tu stesso hai ammesso che il guardiano  non sta dando alcuna informazione, affermando una ovvietà. Sapevamo già, senza bisogno che il guardiano c'è lo dicesse, che almeno uno fra B e C sarebbe stato destinato a morire.
Ma se non c'è nessuna nuova informazione allora non muta là probabilità.
Si può anche dimostrare , se ancora occorresse, che non abbiamo alcuna nuova informazione .
Infatti qualunque conclusione traiamo dal sapere che B morirà , giusta o sbagliata che sia, dovremmo trarla ugualmente per coerenza dal sapere che sia invece C a morire.
Cosa cambia per A sapere chi fra B e C morirà?
Quindi che differenza fa' sapere chi sia a morire fra B e C in base alle conclusioni che ne possiamo trarre?
Quindi la risposta te la sei data da solo.
Là probabilità non muta , e rimane quindi 1/3 ,perché non sono cambiate le informazioni a nostra disposizione.


Riassumendo credo che la "morale" del problema sia la seguente.
Se disponiamo di una nuova informazione, prima di ricalcolare la probabilità, accertiamoci che sia davvero una nuova informazione, e non sia invece una informazione che avevamo già, ma formulata diversamente , tanto da sembrarci nuova.

Inizio ad appassionarmi a questi problemi che Eutidemo ama proporre, tanto che, con una certa presunzione, inizierei a stilare un vademecum che ci aiuti a risolvere con metodo i prossimi che vorrà' proporci:

1. Disponendo di tutte le informazioni necessarie per trovare la soluzione, averne in aggiunta di non necessarie può portare fuori strada .

2. Avere pure solo le informazioni necessarie, ma ridondanti, cioè le stesse informazioni diversamente formulate, può ugualmente fuorviare.

Quindi la soluzione si trova facilmente se si riesce, cosa meno facile, a riformulare il problema sfrondandolo dal non necessario, magari introdotto volutamente ad arte , per portarci fuori strada.

Ciao Phil
Secondo me, la formulazione «tra  B e C, quello destinato a morire domani all'alba è B» non è affatto ambigua;  ed infatti A aveva premesso al guardiano: "So che uno di noi tre avrà salva la vita, ma so anche che tu non puoi rivelarci chi è; quindi io non ti chiedo questo!".
Per cui è ovvio che il guardiano, rispondendogli  «tra  B e C, quello destinato a morire domani all'alba è B», non intendeva affatto escludere la possibilità che anche C potesse morire; altrimenti gli avrebbe rivelato chi era il prigioniero graziato, cosa che non poteva fare:
- sia per la premessa;
- sia perchè A stesso non glielo aveva affatto chiesto (precisandogli esplicitamente che non lo voleva sapere).
Semmai, per rendere la cosa ancora più esplicita, avrei potuto scrivere, come risposta del guardiano: "«tra  B e C, quello SICURAMENTE destinato a morire domani all'alba è B».
Nella versione del paradosso da me riportata, tale precisazione non c'era (in quanto ritenuta superflua), ma, tutto sommato, secondo me, ci sarebbe stata bene; per cui, sotto tale aspetto, trovo senz'altro utile il tuo suggerimento.

***
Se, invece, il guardiano avesse risposto solo con un secco «B morirà», il trucco matematico del "sottoinsieme" non avrebbe funzionato; in tal caso, infatti, non ci sarebbe stato alcun dubbio che le probabilità di sopravvivenza di A e C sarebbero state di 1/2 per uno (come anche Baylham sostiene, ed io con lui)!
***
Per quanto invece riguarda la tua risposta circa la seconda versione del problema, penso che anche io avrei risposto più o meno come te; e questo, secondo me, evidenzia in modo solare quale sia il trucco dei "sottoinsiemi" (in sè matematicamente ineccepibile).
Ed infatti, a prescindere da ciò che "si aspettano" A e C, in base alle loro domande artificiosamente "riduttive", alla fine, la loro probabilità di salvarsi o morire, se B è condannato, nella "realtà oggettiva" non può essere che del 50% a testa.
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Un saluto!
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Ciao Bobmax
Sono d'accordo con te sul fatto che la probabilità è sempre "oggettiva"; ma è tale proprio perchè prescinde dal singolo osservatore, altrimenti sarebbe "soggettiva".
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Intendo "soggettiva" nella misura in cui essa dipende necessariamente dalle condizioni che l'osservatore conosce; o, più esattamente, dipende dalle sue informazioni, le quali possono essere più o meno esatte o più o meno complete.
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Ad esempio, in base alle informazioni ricevute dall'Abwehr sulle condizioni dell'esercito russo, l'OKW tedesco calcolò correttamente che le probabilità di riuscita dell'Operazione Barbarossa sarebbero state superiori all'80%; però tali informazioni, sebbene sostanzialmente esatte, erano tuttavia incomplete, per cui, "in realtà" le probabilità di riuscita dell'Operazione Barbarossa erano inferiori al 50%.
Con il risultato "reale" che ben conosciamo!
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Allo stesso modo A, dopo la sua domanda, è in possesso di una "informazione incompleta", e, cioè, che tra B e C uno dei due morirà; informazione di cui, peraltro, era già in possesso anche senza dover fare nessuna domanda.
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Per cui è senz'altro corretto asserire che A,  per quello che ne sa, non può sperare di avere più di 1/3 di probabilità di farcela; d'altronde, da parte sua, C si trova nelle stesse condizioni di A, per cui, se fa anche lui la stessa domanda al guardiano, non può neanche lui sperare di avere più di 1/3 di probabilità di farcela.
E, fin qui, le due aspettative non sono affatto in contrasto tra di loro!
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Si tenga però presente che nessuno dei due è al corrente che, in base alla domanda che l'altro prigioniero ha fatto al guardiano, che dal punto di vista "soggettivo" dell'altro la sua probabilità di sopravvivenza è invece miracolosamente salita da 1/3 a 2/3; come risulta evidente dalla formulazione del mio "PARADOSSO INTEGRATO".
***
Quindi:
- non essendo affatto contraddittorio che, in base alle loro limitate e incomplete informazioni, ciascuno dei due possa "soggettivamente" presumere che l'altro abbia i 2/3 di probabilità di farcela;
- risulta invece contraddittorio ritenere che "oggettivamente" entrambi, nella realtà effettiva, possano avere i 2/3 di probabilità di farcela.
Questo è palesemente "impossibile"!
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E' indubbiamente vero che, in base alle informazioni di cui sono in possesso, e ai relativi "calcoli matematici", le "aspettative probabilistiche" di A e C possono essere "soggettivamente" differenti, ed anche matematicamente in contrasto tra di loro; ma se B è destinato a morire, A e C, nel mondo reale, hanno "oggettivamente", la stessa probabilità di salvarsi, pari al 50% l'uno.
Su questo, secondo me, non ci piove.
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Un saluto!
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Ciao Eutidemo.
La probabilità è il risultato di un calcolo.
Non è un qualcosa che esiste di per se stesso.

Questo calcolo segue una logica che è oggettiva.
La logica infatti prescinde dal soggetto.

Oggettivamente, dato ciò che si conosce, il calcolo delle probabilità conduce allo stesso risultato.

La probabilità perciò è oggettiva perché chiunque, nelle stesse condizioni di conoscenza!, deve necessariamente giungere allo stesso risultato.

È lo stato dell'osservatore a determinare il calcolo delle probabilità.

Non esiste una probabilità reale che prescinde dallo stato dell'osservatore.
Di reale ci sono solo i fatti!

Mentre tu confondi le probabilità con i fatti.

I fatti prescindono da ciò che si sa, perciò dallo stato di conoscenza dell'osservatore, le probabilità no.

Citazione di: Eutidemo il 05 Aprile 2021, 05:37:15 AM
Ciao Phil
Secondo me, la formulazione «tra  B e C, quello destinato a morire domani all'alba è B» non è affatto ambigua;  ed infatti A aveva premesso al guardiano: "So che uno di noi tre avrà salva la vita, ma so anche che tu non puoi rivelarci chi è; quindi io non ti chiedo questo!".
Per cui è ovvio che il guardiano, rispondendogli  «tra  B e C, quello destinato a morire domani all'alba è B», non intendeva affatto escludere la possibilità che anche C potesse morire; altrimenti gli avrebbe rivelato chi era il prigioniero graziato, cosa che non poteva fare:

la risposta  è ambigua come lo è la domanda.
Una domanda non ambigua , nel senso che ad essa il guardiano è certamente autorizzato a rispondere, è :"dimmi almeno uno dei due che sia destinato a morire".
Una possibile risposta è :" almeno B è destinato a morire"
Il guardiano è autorizzato a dare questa risposta.
Infatti con essa non aggiunge nulla a ciò che A già non sappia di rilevante.
Quindi non sta rivelando nulla che non rispetti le consegne del re.
Non avendo nessuna nuova informazione rilevante A non può modificare le sue aspettative.
1/3 erano e un 1/3 restano.
Il motivo per cui il problema sembra trasformarsi in un paradosso consiste nell'attribuire rilevanza ad una informazione che rilevanza non ha.
Chi ha escogitato il problema volutamente intendeva indurci in errore ad illustrazione della nostra facilità a cadere in inganno in questioni che riguardino là probabilità.

Citazione di: Eutidemo il 05 Aprile 2021, 06:54:09 AM
Ciao Bobmax
Sono d'accordo con te sul fatto che la probabilità è sempre "oggettiva"; ma è tale proprio perchè prescinde dal singolo osservatore, altrimenti sarebbe "soggettiva".
***
Intendo "soggettiva" nella misura in cui essa dipende necessariamente dalle condizioni che l'osservatore conosce; o, più esattamente, dipende dalle sue informazioni, le quali possono essere più o meno esatte o più o meno complete.
***

Le condizioni di partenza note su cui impostare il calcolo cosa hanno a che fare con la soggettività?

Le informazioni devono essere sufficienti per impostare un calcolo, non complete, e che siano esatte in un problema puramente teorico lo si da' per scontato, a meno che non risultino ambigue perché il problema è mal formulato.

@ Eutidemo.
Seppure la matematica , di cui la teoria delle probabilità  è parte, possa nascere da una intuizione soggettiva, essa è oggettiva .
La matematica non è validata o meno dal fatto che trovi pratica applicazione.
Le verifiche in matematica si fanno, ma non sono di tipo pratico. Si può parlare di matematica corretta solo se tale viene giudicata dalla comunità dei matematici in seguito alle loro verifiche.
In un certo senso quindi anche la matematica è vera fino a prova contraria, ma le prove sono verifiche di correttezza formale, non di corretta applicabilità pratica.
Tu hai buon diritto nell'affermare che non prendi per buona una previsione probabilistica se non ne provi la validità pratica personalmente, e qui si che c'entra la soggettività.
Non è che tu sei digiuno di nozioni matematiche, tutt'altro, ma è che tu ti rifiuti liberamente di accettare di assumere il punto di vista della matematica, la quale non richiede prove di applicabilità sul campo.
In questo senso soltanto la matematica è oggettiva, cioè vera a meno di errori formali sempre rimediabili attraverso verifiche che sono parte del mestiere del matematico.
Il vero problema "pratico" della matematica è che le verifiche su alcune sue branche sono molto difficili , e pochi matematici riescono ad adempiervi, per cui poche saranno le verifiche che confermino l'oggettività di quella branca di matematica.
Ma non è questo il caso della branca della teoria delle probabilità che può apparire ostica solo a noi, non addetti ai lavori.
Si può rimediare a ciò con l'intuito, consci però della sua fallacita' illustrata bene dai problemi che tu sovente ci proponi, oppure affidandosi al non credo se non provo, consci però di non stare facendo in tal modo matematica.
Siccome poi la teoria delle probabilità trova ampie amplificazioni pratiche , è facile confondere la pratica con la teoria.
Il problema che tu ci hai posto è puramente teorico e richiede di essere correttamente formalizzato.
Noi, nella improbabile parte di matematici, abbiamo rilevato, a seguito di nostre verifiche, che ben formulato non è, e non è cosa su cui si può sorvolare.
Non possono esserci informazioni volutamente sottintese , omesse perché ovviamente deducibili da tutti.
Perché allora si che, deducendo ognuno a suo modo, la questione si fa' soggettiva.

Citazione di: Eutidemo il 05 Aprile 2021, 05:37:15 AM
Se, invece, il guardiano avesse risposto solo con un secco «B morirà», il trucco matematico del "sottoinsieme" non avrebbe funzionato; in tal caso, infatti, non ci sarebbe stato alcun dubbio che le probabilità di sopravvivenza di A e C sarebbero state di 1/2 per uno (come anche Baylham sostiene, ed io con lui)!

La risposta «B morirà» non inficia né la prima versione (in cui viene infatti spesso usata, come puoi controllare in rete), né la seconda. Il sottoinsieme resta tale perché è impostato dalla domanda; parafrasando: nell'insieme B + C chi morirà? B morirà (quindi il suo 1/3 di probabilità "ricade" su C).
Le probabilità diventano 1/2 non affermando «B morirà», ma se si è a conoscenza che la guardia dice «fra B e C morirà B» e «fra A e B morirà B» (come già discusso con Bobmax, v. post #28).

                              IPOTESI DI SOLUZIONE AL PARADOSSO DEI TRE PRIGIONIERI

Anche tenendo conto di alcune intelligenti ed acute argomentazioni prospettate dagli altri partecipanti al presente "thread", penso di essere pervenuto all'unica ipotesi di soluzione possibile del paradosso dei tre prigionieri; o, quantomeno, a quella che "mi sembra" (con beneficio d'inventario) la migliore sotto il profilo logico.
L'ho fatto calandomi nei panni di A.
***
Sebbene rinchiusi nelle nostre celle, noi prigionieri siamo comunque venuti a conoscenza del fatto che uno di noi tre ha ricevuto la grazia.
Però:
- non conosciamo il nome del fortunato prigioniero;
- sappiamo pure che il guardiano non potrà assolutamente rivelarci, nè direttamente nè indirettamente, chi esso sia.
***
Matematicamente, io già so che tra B e C uno dei due dovrà necessariamente morire, per cui, in un primo momento, ritengo inutile fare domande al riguardo al guardiano; ed infatti, qualunque cosa lui mi risponda, le mie probabilità di sopravvivenza resteranno sempre pari ad 1/3.
***
Però, poi, alla fine mi decido a chiamarlo e gli dico: ""So che uno di noi tre avrà salva la vita, ma so anche che tu non puoi rivelarci chi è; quindi io non ti chiedo questo, ma voglio soltanto sapere chi, tra  B e C, è sicuramente destinato a morire domani all'alba".
E lui mi risponde: "Va bene. Tra  B e C, quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B".
***
Pertanto, io, nel ruolo di A:
a)
Non vengo a sapere nulla di nuovo circa la mia personale probabilità di sopravvivere, che resta tale e quale la stessa che avevo prima di fare la domanda (1/3);
b)
Però vengo ad acquisire due nuovi elementi, di cui prima non ero a conoscenza, e, cioè che:
- tra B e C, B dovrà sicuramente morire, per cui la sua probabilità di sopravvivere si riduce in ogni caso a ZERO;
- C, invece, entra in possesso del 1/3 di probabilità di sopravvivere di B, per cui la sua probabilità di sopravvivere aumenta a 2/3.
***
E fin qui siamo tutti d'accordo!
***
Dopodichè mi metto a ragionare un po', e mi domando che cosa accadrebbe se io, adesso, chiedessi al guardiano: "Senti, visto che sei stato così gentile, mi potresti dire anche, chi, tra  me A, e B, è sicuramente destinato a morire domani all'alba".
Probabilmente accadrebbe che il guardiano mi manderebbe a quel paese; però, riflettendoci meglio, poi mi rendo conto che, in fondo, sarebbe del tutto superfluo fargli una domanda del genere...perchè io già so "con certezza" che cosa mi risponderebbe, se avesse la pazienza e la gentilezza di farlo.
E fare domande di cui si conosce già la risposta è inutile.
***
Ed infatti:
a)
Se sia io A che B fossimo destinati a morire, il guardiano sarebbe costretto a rispondermi, come nella prima risposta, che "quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B", perchè, se mi rispondesse che "quello destinato a morire domani all'alba sei tu, A", indirettamente, mi rivelerebbe che il prigioniero graziato è C, cosa che gli è proibita (perchè se sia io A che B siamo condannati, è ovvio che C si salva).
Rispondendomi, invece, che "tra di voi quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B", non escluderebbe affatto l'ipotesi che anche io, però, potrei subire lo stesso destino; lasciando quindi "aperta" tale eventualità, e non rivelandomi, così, chi è il prigioniero graziato.
b)
Se, invece, il prigioniero graziato sono a io A, è ovvio che, a maggior ragione, il guardiano sarebbe costretto a rispondermi, come nella prima risposta, che "quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B"; perchè in tal modo non escluderebbe affatto che anche io "potrei" avere lo stesso destino.
Altrimenti mi rivelerebbe direttamente che il prigioniero graziato sono io, cosa che gli è proibita.
***
Una volta pervenuto a tale conclusione, e, cioè, che ad una mia eventuale domanda il guardiano (per non rivelare chi è il prigioniero graziato) mi dovrebbe "necessariamente" rispondere che, tra me e B, "quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B", io non potrei in alcun modo sapere se sono salvo o meno; però posso matematicamente calcolare che la mia probabilità di sopravvivenza sale da 1/3 a 2/3, perchè ha assorbito la probabilità di sopravvivenza di B, che si è ridotta a zero anche nel mio caso.
***
Tuttavia non posso certo dimenticare che, in base alla mia originaria domanda al guardiano, anche la probabilità di sopravvivenza di C era salita da 1/3 a 2/3, avendo anch'essa assorbito la probabilità di sopravvivenza di B; la quale, anche nel suo caso, si è ridotta a zero, quando si è effettuato il riscontro del "sottoinsieme" B-C.
***
Ciò premesso, sia pure con beneficio d'inventario, mi sento autorizzato a concludere che:
- se è vero che nei nostri due diversi rispettivi "sottoinsiemi", nel momento in cui B è andato ZERO-CHANCE, sia io A che C siamo saliti ai 2/3 di probabilità di sopravvivere;
- è anche vero, però, che, "compattando" matematicamente i due diversi "sottoinsiemi" in un "insieme" matematico unitario, ne consegue che sia io A che C dobbiamo necessariamente ridiscendere dai 2/3 ad 1/2 di probabilità di sopravvivenza a testa, altrimenti i conti non tornano più!
***
Però, ovviamente, posso benissimo essere in errore (come anche troppo spesso mi accade)!
***

Eutidemo se tu ti immedesimii con A , io mi immedesimo con il re e impietosito do' a te la grazia , mentre ancora devo decidere se tagliare o meno la lingua al guardiano, visto che dando una non risposta a una non domanda ha rischiato di eludere le mie consegne.😅

Ciao Iano
Forse potrebbe farlo la "Regina di Cuori" nel famoso racconto di Lewis Carroll; ma, nel mondo reale, penso che neanche Erdoğan punirebbe un suo giannizzero per una "non risposta" a una "non domanda" (sebbene, visto il soggetto io non ne sia poi così sicuro)!

***
Comunque, a parte gli scherzi, vi sarei davvero grato se mi indicaste qualche eventuale errore logico nella mia soluzione.
Ed infatti, in precedenza, avevo ipotizzato per mio conto anche altre soluzioni del paradosso; le quali, però, ad una mia "corrosiva" analisi logica "autocritica", non avevano retto.
Quella che vi ho esposto, invece, almeno per ora ha retto a tutte le mie "autoanalisi critiche"; ma questo non vuol dire affatto che anch'essa non abbia dei difetti logici che mi sono sfuggiti.
Per cui ritengo senz'altro opportuno sottoporla al giudizio altrui, perchè il proprio, per quanto si cerchi di renderlo il più possibile lucido e spassionato, alla fine è sempre un po' "infido"!
***
Un saluto!
***

Ciao Eutidemo
Alla seconda domanda di A il guardiano non può che rispondere B, come giustamente tu osservi.

Di modo che la risposta nulla aggiunge a ciò che A già conosce.
E ciò che conosce è che tra C e B, B dovrà certamente morire.

Alla prima domanda il guardiano era libero di rispondere B oppure C, l'unica condizione è che fosse un morituro.

Ma alla seconda domanda la risposta B è inevitabile.
Di modo che la probabilità di A resta 1/3 e C 2/3.

Questo è il punto di vista di A e nostra che conosciamo quanto A.
Ma non il punto di vista di C, per il quale ognuno dei tre ha 1/3.

Diverso sarebbe stato il caso in cui la prima domanda fosse stata: "Dimmi chi morirà tra A, B e C"
In questo caso la risposta B avrebbe comportato una probabilità di 1/2 per A di sopravvivere.

Se la seconda domanda la fa invece C (senza che A possa sentire la risposta) allora, per noi esterni, le probabilità tornano a 1/2 sia A che C.
Solo per noi osservatori esterni però.
Perché per A e per C la probabilità di sopravvivenza di se stessi resta 1/3.