Se A si attiene alle informazioni ottenute dalla prima riposta fornitagli dal guardiano, la "soluzione" resta quella comunemente accettata, ovvero quella iniziale (2/3 a C, 1/3 ad A); qualunque discorso interiore o ipotesi che A possa rimuginare, senza ottenere ulteriori informazioni da C o dal guardiano, non toglie che, stando alle informazioni disponibili, per lui C ha ancora 2/3 e lui 1/3. Non a caso, C arriva a 2/3 solo quando viene comunicata ad A l'informazione che B morirà (nuova informazione, nuova probabilità), mentre se A si autoinclude poi in un sottoinsieme con B, dopo aver saputo la prima risposta del guardiano, non ha di fatto nessuna nuova informazione che possa alterare la probabilità (diverso, come detto, è se C gli comunica l'esito della sua domanda a cui il guardiano avrebbe potuto rispondere anche diversamente; v. post precedente).
Secondo me, si tratta di valutare la differenza fra i due sottoinsiemi: quello B+C influenza il calcolo della probabilità alla luce della nuova informazione che il guardiano fornisce (B morirà), mentre l'insieme A+B a cui A pensa in seguito, non si basa di fatto su nessuna nuova informazione (né "rivelazione" del guardiano) che possa alterare la probabilità precedentemente instaurata. Detto altrimenti: se C ha 2/3 perché nell'insieme B+C morirà B, non credo che riconfermare la morte di B in A+B, senza che fosse a priori possibile affermare la mortalità di A (per non rivelare troppo), debba rendere meno probabile la sopravvivenza di C (da 2/3 a 1/2).

Da quel che ho capito, il valore di 1/3 di ogni prigioniero è "in gioco" nelle domande solo se può essere oggetto di risposta da parte del guardiano: iniziano tutti con 1/3, poi quando fra B e C si rivela (ad A) che il morituro è B, allora C eredita 1/3 da B e va a 2/3 (B e C erano entrambi in gioco come possibili risposte del guardiano); se poi C chiede chi muore fra A e B, sono A e B in gioco, perché il guardiano potrebbe infatti rispondere A o B, e se risponde B, considerando che il suo 1/3 era stato già ereditato da C, ecco che la metà dell'1/3 di B va diviso anche con A (quindi sia A che C hanno 3/6, ovvero 1/2). Tuttavia, nel caso della seconda domanda di A, verbalmente espressa o meno, non è possibile che la risposta sia A (dunque A non è in gioco), quindi in fondo c'è in gioco solo 1/3 di B; se non fosse che tale probabilità di sopravvivenza è stata già ereditato da C, e (almeno secondo me) non può essere ereditata da (né condivisa con) A perché egli non è realmente in gioco nella seconda domanda (non essendo contemplato come possibile risposta).

Ciao Phil.
Non c'è dubbio alcuno che, se A si limita alle informazioni ottenute dalla prima riposta fornitagli dal guardiano, la "soluzione" resta quella comunemente accettata, ovvero quella iniziale (2/3 a C, 1/3 ad A).
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Ma, come ho scritto più volte, si può attingere alla "conoscenza" sia sulla base delle "informazioni" ricevute, sia sulla base delle "deduzioni" che da esse possono logicamente ricavarsi; e, finchè non mi dimostri che la deduzione di A è errata, per me essa rimane pienamente valida con le conclusioni che logicamente ne scaturiscono (cioè, nel "sottoinsieme" A-B, A 2/3 - B 0 ).
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Ovviamente, come ho scritto anch'io più volte, l'ulteriore (ineccepibile) deduzione di A sul "sottoinsieme A-B", non toglie affatto che, stando soltanto alla risposta del guardiano, nel "sottoinsieme B-C", C abbia 2/3 e A 1/3.
Sono entrambi calcoli probabilistici perfettamente corretti, limitandoli, però, ciascuno al suo "sottoinsieme"; questo, in quanto la modalità di calcolo non può essere diversa per A-B e B-C (separatamente considerati).
Questo non è possibile!
Ed infatti:
- date le stesse identiche premesse, e, cioè, che se tra X e Y, deve sicuramente morire X, allora Y acquisisce i 2/3 di probabilità di sopravvivere;
- ne consegue logicamente che il calcolo non può variare se a X e Y, attribuiamo prima le lettere B e C, e poi le lettere A e B.
Questo mi sembra matematicamente evidente!
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Però, ovviamente, tali calcoli vengono necessariamente "superati" (non "smentiti") da una superiore "sintesi insiemistica", che ne concilii le risultanze; così come meglio spiegherò più avanti...e che, anzi, tu hai spiegato molto meglio di me!
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E vero, come tu scrivi, che A,  autoincludendosi in un sottoinsieme A-B, dopo aver saputo la prima risposta del guardiano, non ha di fatto ricevuto nessuna nuova "informazione"; però può senz'altro ricavare dalla prima "informazione" ricevuta al guardiano una sua ulteriore valida "deduzione", da cui emerge logicamente  quello che il guardiano dovrebbe "necessariamente" rispondergli se lui gli facesse l'ulteriore domanda che sappiamo.
Ed infatti, ed è qui che ti sbagli (e su cui io e Bobmax siamo invece d'accordo), non è affatto vero che "il guardiano avrebbe potuto rispondere anche diversamente".
Assolutamente NO!
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Ed infatti:
a)
Se sia  A che B fossero destinati a morire, il guardiano sarebbe costretto a rispondere ad A, come nella prima risposta, che "quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B", perchè, se gli rispondesse che "quello destinato a morire domani all'alba sei tu, A", indirettamente, gli rivelerebbe che il prigioniero graziato è C, cosa che gli è proibita (perchè se sia A che B sono condannati, è ovvio che C si salva).
Rispondendogli, invece, che "tra di voi quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B", non escluderebbe affatto l'ipotesi che anche A, però, potrebbe subire lo stesso destino; lasciando quindi "aperta" tale eventualità, e non rivelandogli, così, chi è il prigioniero graziato.
b)
Se, invece, il prigioniero graziato fosse A, è ovvio che, a maggior ragione, il guardiano sarebbe costretto a rispondergli, come nella prima risposta, che "quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B"; perchè in tal modo non escluderebbe affatto che anche A "potrebbe" avere lo stesso destino.
Altrimenti gli rivelerebbe direttamente che il prigioniero graziato è lui, cosa che gli è proibita.
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Per cui non è affatto vero che, alla seconda domanda, il guardiano potrebbe rispondere come gli pare; ciò, in quanto la sua ulteriore risposta è inesorabilmente condizionata dalla prima, e dal suo vincolo di non poter rivelare il nome del prigioniero graziato.
Fino a qui, infatti, io e Bobmax siamo perfettamente d'accordo!
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Di qui in poi, invece, non siamo più d'accordo, perchè, secondo me, una volta che A è pervenuto a tale conclusione di carattere deduttivo, e, cioè, che ad una sua eventuale domanda il guardiano (per non rivelare chi è il prigioniero graziato) gli dovrebbe "necessariamente" rispondere che, tra lui A e B, "quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B", il prigioniero A non potrebbe in alcun modo sapere se lui è  salvo o meno; però adesso, secondo me, A è matematicamente in grado di calcolare che la sua probabilità di sopravvivenza sale da 1/3 a 2/3, perchè ha assorbito la probabilità di sopravvivenza di B, che si è ridotta a zero anche nel suo caso....così come era capitato nel caso B-C di cui alla sua originaria domanda al guardiano.
Attenzione: tutto ciò, ovviamente, considerando sin qui separati i due "sottoinsiemi"!
***
Con quel che ne consegue!
***
Ciò premesso, e su cui ti invito a riflettere attentamente, tu hai perfettamente ragione nel ritenere che, se C ha 2/3 di probabilità di sopravvivere (perché nel "sottoinsieme" B+C morirà B e quindi lui assorbirà il suo 1/3), non ne consegue affatto che la morte di B nel "sottoinsieme" A+B debba rendere meno probabile la sopravvivenza di C (da 2/3 a 1/2); però, ragionando allo stesso modo, dovresti anche comprendere se A ha 2/3 di probabilità di sopravvivere (perché nel "sottoinsieme" A+B morirà B e quindi lui assorbirà il suo 1/3), non ne consegue affatto che la morte di B nel "sottoinsieme" B+C debba rendere meno probabile la sopravvivenza di A (da 2/3 a 1/2).
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Quello che ti sfugge è che il calcolo delle aspettative di vita di ciascun prigioniero,  varia a seconda dei diversi "sottoinsiemi" considerati; i quali sono determinati non solo dalle "informazioni" che ciascuno dei tre prigionieri possiede, ma anche dalle "deduzioni" che ciascuno di essi può logicamente fare in base a tali "informazioni".
***
Quanto al resto, dici bene quando scrivi che il valore di 1/3 di ogni prigioniero è "in gioco" nelle domande solo se può essere oggetto di risposta da parte del guardiano; ma sei in errore quando scrivi che chi ha ricevuto una determinata risposta dal guardiano (A), non possa ricavare da tale risposta ulteriori deduzioni che aumentino il suo grado di conoscenza della situazione.
Tutto dipende da come reagisce il suo cervello!
***
Ed infatti:
- se il prigioniero A , dopo la risposta del guardiano, si mette il cuore in pace, non c'è dubbio alcuno, come giustamente dici tu, che deve rassegnarsi ad attendersi soltanto un 1/3 di probabilità di sopravvivenza, mentre C 2/3;
- però, se il prigioniero A, dopo la risposta del guardiano, "si mette a ragionare", attraverso le sue riflessioni razionali (da me descritte), lui può benissimo "dedurre" ben altro che non sia il mero contenuto informativo della prima risposta.
***
A questo punto, però, tu fai un ragionamento molto interessante, che, sebbene, a mio parere, non invalidi minimamente quanto ho scritto sopra (perchè non c'entra niente), è tuttavia meritevole di attenta considerazione.
Vediamo se ho capito bene quello che vuoi dire:
1)
A B e C iniziano tutti con 1/3, poi quando fra B e C si rivela (ad A) che il morituro è B, allora C eredita 1/3 da B e va a 2/3 (B e C erano entrambi in gioco come possibili risposte del guardiano).
ESATTO!!!
2)
Se poi C chiede chi muore fra A e B, sono A e B in gioco, perché il guardiano potrebbe infatti rispondere A o B, e se risponde B, considerando che il suo 1/3 era stato già ereditato da C, ecco che la metà dell'1/3 di B va diviso anche con A (quindi sia A che C hanno 3/6, ovvero 1/2).
ESATTO!!!
3)
Tuttavia, nel caso della seconda domanda di A, verbalmente espressa o meno, non è possibile che la risposta sia A (dunque A non è in gioco), quindi in fondo c'è in gioco solo 1/3 di B; se non fosse che tale probabilità di sopravvivenza è stata già ereditato da C, e (almeno secondo me) non può essere ereditata da (né condivisa con) A perché egli non è realmente in gioco nella seconda domanda (non essendo contemplato come possibile risposta).
ERRATO!!!
***
Ed infatti, il difetto del tuo ragionamento, peraltro ineccepibile, è che tu mescoli tra di loro prospettive diverse, ovvero, come io preferisco dire, "sottoinsiemi diversi"; il che non è logicamente accettabile.
***
Però, secondo me, il tuo ragionamento diventa molto più perspicuo e soddisfacente del mio, nel momento della "sintesi finale" che A, alla fine, fa dei due "sottoinsiemi"  di cui è venuto a conoscenza:
1) B-C (in base alla prima risposta del guardiano)
Nel quale il 1/3 di B viene assorbito interamente da C, il quale, quindi, per così dire, perviene al possesso dei 2/3 delle probabilità di sopravvivere.
2) B-A (in base alla seconda risposta del guardiano, che A è in grado di dedurre da sè senza fargli nessuna domanda)
Nel quale il 1/3 di B viene assorbito interamente da A, il quale, quindi, per così dire, perviene al possesso dei 2/3 delle probabilità di sopravvivere.
***
A questo punto, io avevo semplicemente detto che A e C, non potendo ovviamente contare ciascuno sui 2/3 delle probabilità di sopravvivere, al momento della sintesi dei due "sottoinsiemi", dovevano necessariamente accontentarsi di 1/2 a testa; però non avevo matematicamente spiegato "come".
Cosa che, invece, hai egregiamente spiegato tu.
Chapeau!

***
Ed infatti, come tu molto giustamente osservi, al momento della sintesi dei due "sottoinsiemi", il prigioniero B (per così figurativamente dire), il suo 1/3 di probabilità di sopravvivere lo deve "spartire equamente" tra B e C; per cui, come tu correttamente calcoli, la metà dell'1/3 di B va diviso sia con A che con C.
Quindi sia A che C hanno vanno ai 3/6, ovvero ad 1/2.
***
Come, appunto, volevasi dimostrare!
***
Un saluto!
***

                                     PRINCIPIO DELL'ENUNCIATO IMPLICITO
Ma forse tutto questo, molto più semplicemente,  poteva essere detto facendo ricorso al "principio dell'enunciato implicito"; e, cioè, che se Tizio afferma che "X" è vero, e se la verità di X" comporta che debba essere vero anche "Y", allora è come se Tizio avesse detto che è vero pure "Y".
Il che ricorda (un po') il "principio della proprietà transitiva"; e, cioè, che, laddove a, b e c sono arbitrari elementi di A, se a è in relazione con b e b è in relazione con c, allora anche a è in relazione anche con c.
***
Quindi, con riferimento alla mia "Ipotesi di soluzione del paradosso dei tre prigionieri":
- se il guardiano, in seguito alla domanda espressa di A,  afferma che tra B e C, deve sicuramente morire B;
- ciò comporta che, qualora egli dovesse rispondere anche ad una sua ipotetica successiva domanda riguardo a chi tra B e A deve sicuramente morire, dovrebbe di nuovo "necessariamente" rispondere B (per il "principio dell'enunciato implicito");
- pertanto, il prigioniero A, già in base alla prima risposta del guardiano, è benissimo in grado di arguire razionalmente che tra A, B e C, visto che B deve comunque morire in ciascuna delle due ipotesi, le probabilità di A e C divengono del 50% a testa.
***
Ovvero, volendo sintetizzare al massimo, se è vero che tra C e B deve morire B e che tra A e B deve sempre comunque morire B, questo equivale a dire che tra A, B e C, a morire sarà sempre e comunque B.
Per cui A e C hanno il 50% di probabilità di sopravvivere a testa!
***

Grazie Phil per il tuo esserci.

Lasciami pure osservare che questo tuo intervenire mostra, a mio parere, la tua fede nella Verità.

Non perché tu abbia "ragione", dicendo ciò che vanamente sto scrivendo pure io. Non è questo il punto!

Fede nella Verità non significa affatto aver ragione.
Potresti aver torto, così come io mi potrei trovare a realizzare di non aver compreso proprio nulla!

Ma non è in gioco la Verità. La Verità basta a se stessa, ci mancherebbe...

In gioco è la nostra fede. Che ci fa esporre, per affermare ciò che ora è per noi vero!

Con amore e tremore...

Noi siamo questa stessa fede. Se c'è siamo, se non c'è non siamo.

@Eutidemo
Per quanto riguarda la seconda domanda di A, formulata o meno vocalmente, non ho affermato che il guardiano ha libertà di scelta (v. post precedenti): è nel caso della prima domanda di C, che il guardiano ha due opzioni per rispondere, duplicità di opzioni che rende sensato "spostare" 1/3 da B a C, a differenza proprio di quanto accade con la seconda domanda/deduzione di A in cui, secondo me, non si "sposta" la probabilità proprio perché non era possibile rispondere diversamente. Questo è l'assunto base che regge l'ipotesi (su cui non scommetterei la testa) del discorso che ho abbozzato; se lo trovi «errato» alla luce dell'"assioma" generico che formuli con x e y, non ho confutazioni matematiche da proporti, sebbene, nel mio piccolo, non credo che tale "assioma" possa funzionare a prescindere dalle possibilità di risposta, che qualora si riducano ad una singola risposta forzata, come nel caso della seconda domanda/deduzione di A, rendono tale "assioma" non pertinente in questo contesto.

La conclusione

Citazione di: Eutidemo il 09 Aprile 2021, 11:20:52 AM
se è vero che tra C e B deve morire B e che tra A e B deve sempre comunque morire B, questo equivale a dire che tra A, B e C, a morire sarà sempre e comunque B.
Per cui A e C hanno il 50% di probabilità di sopravvivere a testa!

non è compatibile con la soluzione standard, (già spiegata in precedenza e reperibile online) se intendi che è A a pensare questa conclusione basandosi sulla prima domanda; se la intendi dal punto di vista dell'osservatore, concordo (sin dal post #19).


@bobmax
Sono intervenuto perché volevo chiarire ulteriormente alcuni aspetti di questo divertissement probabilistico; senza fede e senza verità, solo per il diletto di trastullarmi i neuroni con ipotesi da profano in materia.

Ciao Phil e Bobmax.
Non ho mai inteso di mettere in dubbio la soluzione standard, (già da me spiegata in precedenza e reperibile online); la quale, se ci si accontenta della prima risposta del guardiano, e ci si ferma lì, è assolutamente ineccepibile.
La mia ipotesi, invece, va un po' più avanti, sostenendo che tale prima risposta contiene implicitamente anche quella che  necessariamente dovrebbe essere la risposta alla seconda domanda (espressa o meno) di A; stando alla quale, secondo me, se ne deduce inequivocabilmente che A è perfettamente in grado di capire da solo che lui e C hanno il 50% di probabilità a testa di sopravvivere.
Poichè, sinora, non mi è stato prospettato il benchè minimo argomento logico tale da destituire di fondamento tale mia deduzione logica, non posso che continuare ad attenermi ad essa.
Ovviamente, fino a prova contraria!
Per cui proverò a proporla su un sito di enigmistica, e poi vi farò sapere il risultato.
***
Un saluto ad entrambi!
***

                                                        POST SCRIPTUM
Ho sottoposto la mia ipotesi di soluzione a mio figlio, che è ingegnere, il quale mi ha risposto così.
"Papà, hai ragione...ma sei un imbecille!"
"Che vuoi dire?"
"Voglio dire che è vero che nella risposta del guardiano è "implicito" il fatto che anche tra A e B, il prigioniero B deve necessariamente morire; ciò, in quanto, se successivamente interrogato in proposito, il guardiano, non potrebbe rispondere diversamente per tenere segreto il nome del prigioniero graziato.
Per cui è inutile starglielo a chiedere, visto che A lo può benissimo capire da sè in base a quello che già sa!
Però il tuo stucchevole balletto delle frazioni di 1/3 che salgono a 2/3 e poi ridiscendono, e così via, è inutile e confonde soltanto le idee.
Ed infatti, senza stare tanto a girarci intorno, una volta accertato che tra B e C è il prigioniero B che deve comunque morire, e che la stessa cosa deve accadere anche tra A e B, è come dire che, poichè tra A, B, e C è il solo B che sicuramente morirà, è evidente, senza fare alcun calcolo astruso, che le probabilità di sopravvivenza di A e C sono del 50% l'uno."
***
"Relata refero!"

***
Comunque ho appena postato la mia ipotesi di soluzione su un sito di enigmistica; vediamo cosa dicono loro.
Ammesso che mi degnino del loro parere!
***