Il seguente "enigma", rappresenta più che altro un "paradosso filosofico matematico"; ed infatti, benchè sia il buon senso sia la logica conducano a conclusioni di un certo tipo, la verifica concreta dei fatti, evidenzia risultati del tutto diversi da quelli astrattamente prevedibili.
Ci sono tre cappelli A, B, C e in uno solo di essi Caio pone un orologio.
Chiede ad uno dei presenti, che sono ad una certa distanza e non possono guardare dentro i cappelli, di provare ad indovinare dove sta l'orologio.
Sia data ad esempio la seguente situazione iniziale:
A
Vuoto
B
orologio
C
Vuoto
Tizio sceglie ad esempio A, ma non può guardare dentro per sapere se dentro c'è l'orologio o se è vuoto.
Allora Caio rovescia il cappello C e fa vedere che è vuoto, poi, gli propone tre metodi per proseguire:
a)  mantenere la scelta A fatta inizialmente;
b) cambiare la scelta ed indicare in suo luogo il rimanente cappello B;
c) scegliere nuovamente a caso uno fra i due cappelli rimasti A e B.
Quale è la probabilità di indovinare con la strategia a)?
Quale è la probabilità di indovinare con la strategia b)?
Quale è la probabilità di indovinare con la strategia c)?

Salve. Decido di essere io il primo a mostrarsi superficiale. E' comunque del 50%.

Tutto si gioca sulla parola "strategia". Che significa una pianificazione di scelte. In quanto strategia, la c ha probabilità 1/2. Mentre la a e la b hanno solo 1/3.

Il mistero dei cappelli e dell' orologio.

A me sembra tutto dipendere dallo schema del procedimento. 

E cioè: 
1) Se lo schema viene applicato comunque, anche se si indovina al primo colpo dov' è l' orologio, tutte le strategie comportano una probabilità del 50%.
2) Nel caso in cui viene applicato soltanto se si sbaglia, la strategia A avrà lo 0%, la strategia B il 100% e la strategia C il 50%.
Dal momento che però noi non sappiamo, perché non viene indicata, quale sia la procedura, la percentuale di probabilità diviene media e perciò:
la strategia A avrà una percentuale del 25%, la B del 75% e la C del 50%.

Garbino Vento di Tempesta.

Errata corrige, dopo lunga elucubrazione ho cambiato idea. A 1/3, B 2/3, C 1/2

@Bobmax: non riesco a capire da quali ragionamenti possano scaturire i tuoi numeri
@Garbino: non mi sembra il caso di chiedersi quando viene applicato lo "schema del procedimento", dal momento che la domanda si riferisce a una ben precisa sequenza di eventi e di dati, senza che entrino in gioco anche altre variabili.

Casomai ci sarebbe da chiedersi se non ci sia un trabocchetto nella domanda a noi rivolta. Infatti non viene specificato se:
- questa valutazione di probabilità la dobbiamo dare basandoci sulle nostre conoscenze della situazione (sappiamo che l'orologio è in B) nel qual caso le percentuali sarebbero quelle indicate per il caso 2 da Garbino: 0% per a 100% per b, 50% per c
- oppure se, come suppongo, la domanda si riferisce in generale alle probabilità che, data la sequenza di fatti
 1) Tizio effettua una scelta su tre possibilità, non gli viene detto se ha indovinato
 2) Si esclude una delle due rimanenti scelte lasciandone solo due
 Quali sono le probabilità che indovini nei casi che:
      a) mantenga la stessa scelta
      b) cambi la scelta optando per l'altra
      c) tiri a sorte
  In questo caso logica e buonsenso ci portano a mantenere un 50% in tutti i casi, ma Eutidemo promette risultati differenti alla verifica dei fatti, quindi aspettiamo di conoscerli...

Di primo acchito, a me sembrerebbe che le probabilità dovrebbero essere sempre di 1/2   (cioè del 50%); ed infatti, eliminato C, l'orologio, al 50%, non può che essere in A o B. 
E tale fu l'opinione espressa, in merito, da illustri logici e matematici (alcuni dei quali Premi Nobel):
- Robert Sachs, Ph. D. (Gorge Mason University); 
- Charles Reid, Ph. D. (University of Florida) 
- E. Ray Bobo, Ph. D., (Georgetown University); 
- Everett Barman, Ph.D., (U.S. Army Reserch Institute).
Tuttavia, A.Bernardo ebbe infine l'idea di fare una prova "pratica", per verificare cosa effettivamente accade nella "realtà": su 500 esperimenti fatti con degli studenti universitari, è risultato che chi aveva optato per la scelta b), cioè cambiando cappello, vinse 329 volte (65,8%), mentre chi aveva optato per la scelta a), cioè mantenendo il cappello originario, vinse solo 171 volte (34,2%).
Altri esperimenti, hanno dato gli stessi identici risultati, i quali diventano tanto più precisi e concordanti quanto più se ne aumenta il numero; ecco, ad esempio, il risultato relativo a tutte e tre le ipotesi (a,b e c), che si ottiene usando un motore algoritmico di calcolo per 100.000 prove:

Pertanto, "DI FATTO", nel caso a) la probabilità che dentro ci sia l'orologio resta sempre di 1/3, nel caso b) la probabilità che dentro ci sia l'orologio risulta di 2/3, mentre nel caso c) la probabilità che dentro ci sia l'orologio risulta di 1/2. 
Ma perchè succede questo, contro il senso comune e quello di illustri matematici?
Le uniche spiegazioni "plausibili" (con largo beneficio d'inventario), in effetti, "potrebbero" essere le seguenti:
---
Probabilità di indovinare con la strategia a): 1/3
In effetti, la circostanza che Caio, DOPO LA SCELTA DI TIZIO, rovesci un cappello vuoto, non ha una concreta rilevanza probabilistica; ed invero, un cappello su tre contiene l'orologio, per cui quando Tizio ha scelto il cappello A, la sua probabilità di vincere era e "rimane" sempre quella di 1/3.
Perchè mai tale probabilità dovrebbe cambiare, considerando che lui potrebbe anche essere bendato e non vedere che Caio ha rovesciato il cappello?
E che differenza fa, se, invece, lo vede?
---
Probabilità di indovinare con la strategia b): 2/3
Con questa strategia Tizio NON RISCEGLIE CASUALMENTE fra i due cappelli rimanenti ma CAMBIA CAPPELLO da A a B.
Ora, in effetti, la probabilità che l'orologio fosse in uno dei due cappelli NON scelti da Tizio (B e C) era, ovviamente, di 2 su 3; ma visto che Caio rivela quale dei due è senza orologio (C), la probabilità che l'orologio sia nell'altro B, diventa per l'appunto di 2/3...perchè, per così dire, la quota di probabilità che aveva C, viene persa da lui ed acquisita da B. Ed è per questo che chi abbandona il cappello A per quello B, aumenta la sua probabilità di indovinare da un solo 1/3 a 2/3.
Cioè, per dirla in altro modo, cambiando cappello è come se Tizio avesse scelto DUE cappelli (b e c), anziché UNO.
Non so quanto tale ragionamento possa risultare congruo, perchè io di matematica non ne capisco un asse: ma non ne trovo un altro che possa spiegare meglio "perchè" DI FATTO, la scelta b) risulti statisticamente quella maggiormente vincente!
---
Probabilità di indovinare con la strategia c): 1/2
Dopo che Caio ha mostrato che il cappello C è vuoto, è evidente che l'orologio si trova in uno degli altri due, o A o B; per cui, RISCEGLIENDO da capo un cappello a caso tra A e B la probabilità di indovinare non può essere che di 1/2.
Come, appunto, sperimentalmente avviene!
---
Voi che ne dite?

&Donalduck
All'inizio pensavo che l'azione di togliere un cappello vuoto modificasse la probabilità della prima scelta aumentandola, cioè da 1/3 diventasse 1/2. Ma non è così. Anche dopo che è stato tolto C la scelta fatta di A resta 1/3. Perché non tutti i cappelli possono essere tolti. Solo quelli che non sono A.
Ho infatti pensato che se viceversa se ne aggiungesse uno, anche in questo caso la probabilità della scelta di A sarebbe rimasta 1/3.

Comunque sia, ringrazio Eutidemo per questa occasione, dove ho potuto toccare con mano la mia stupidità. A parole mi dico che so solo di non sapere, ma poi nei fatti vince la presunzione...

Citazione di: bobmax il 02 Aprile 2018, 06:53:55 AM
&Donalduck
All'inizio pensavo che l'azione di togliere un cappello vuoto modificasse la probabilità della prima scelta aumentandola, cioè da 1/3 diventasse 1/2. Ma non è così. Anche dopo che è stato tolto C la scelta fatta di A resta 1/3. Perché non tutti i cappelli possono essere tolti. Solo quelli che non sono A.
Ho infatti pensato che se viceversa se ne aggiungesse uno, anche in questo caso la probabilità della scelta di A sarebbe rimasta 1/3.

Comunque sia, ringrazio Eutidemo per questa occasione, dove ho potuto toccare con mano la mia stupidità. A parole mi dico che so solo di non sapere, ma poi nei fatti vince la presunzione...

I nostri POST si sono incrociati

&Eutidemo
Il caso è tremendo! 
Se esiste...
E se non esiste lo è ancora di più.

Eutidemo, la questione (conosciuta come problema di Monty Hall) non è nei termini così semplici in cui l'hai descritta tu, ci sono altri fattori che bisogna tener presenti, altrimenti la tua spiegazione non funziona. D'altra parte, anche la descrizione che ne fa la versione italiana di Wikipedia io personalmente la trovo poco chiara. La questione sembra descritta in modo più approfondito nella versione inglese, ma non ho il tempo di studiarmela in dettaglio.

Tuttavia Angelo, mi pare che la considerazione di Euritemo sia significativa. Ossia che l'insieme dei cappelli non scelti abbia come probabilità 2/3. Questa probabilità dell'insieme deve rimanere necessariamente la stessa anche nel caso un suo cappello si rivelasse vuoto.
Abbiamo così, che nel caso i cappelli fossero 100 e dopo averne scelto uno, dei rimanenti ne venissero mostrati vuoti 98, cambiando cappello la probabilità di indovinare sarebbe 99%

Il mistero dei tre cappelli.

Adesso che conosciamo lo schema, e cioè che l' alternativa viene data in ogni caso, il ragionamento cambia considerevolmente.
Infatti non si parte più dalla seconda scelta, ma dalla prima. E questa scelta prevede sì un terzo per ogni porta ( o cappello ), ma i due terzi di trovare una capra ( o nulla nell' esempio di Eutidemo ) e un terzo di trovare l' automobile ( o l' orologio ). Ed è ovvio che stando così le cose, nel secondo passaggio la percentuale che si ha nel cambiare comunque la scelta si inverte a nostro favore. E cioè che cambiando avremo i due terzi delle possibilità; se decidiamo di rivalutare se cambiare o no la scelta fatta le possibilità si stabilizzano tra i due terzi e un terzo, e se decidiamo di confermare la nostra scelta si riducono ad un terzo. 

In pratica:
 la scelta A ha una percentuale del 33,33% periodico;
 la scelta B ha una percentuale del 66,66% periodico;
 la scelta C ha una percentuale del 50%.

Quello che è necessario capire è che nella prima scelta abbiamo una percentuale di due terzi di trovare una capra ( o nulla ) e di un terzo di trovare la automobile ( l' orologio ). E che queste percentuali non variano quando viene scoperta la capra ( cappello vuoto ) dopo la prima scelta. E cioè che la percentuale rimane invariata per le due opzioni rimaste. E perciò abbiamo i due terzi di possibilità che nella scelta fatta si trovi una capra ( o nulla ) e un terzo di aver trovato l' automobile. Quindi decidendo di cambiare ( opzione B ) avremo una possibilità di due terzi di avere successo.

E i grandi numeri riportati da Eutidemo lo confermano. Spero di essere stato chiaro.

Garbino Vento di Tempesta.

Ecco una semplice spiegazione tratta da un film
https://www.youtube.com/watch?v=PJWmi7Ovaag

Citazione di: Angelo Cannata il 02 Aprile 2018, 09:01:04 AM
Eutidemo, la questione (conosciuta come problema di Monty Hall) non è nei termini così semplici in cui l'hai descritta tu, ci sono altri fattori che bisogna tener presenti, altrimenti la tua spiegazione non funziona. D'altra parte, anche la descrizione che ne fa la versione italiana di Wikipedia io personalmente la trovo poco chiara. La questione sembra descritta in modo più approfondito nella versione inglese, ma non ho il tempo di studiarmela in dettaglio.

Ok...grazie
Cercherò di fare qualche altra ricerca