"Esattezza", "inesattezza", "precisione" e "approssimazione".

Eutidemo · 06 Marzo 2023, 12:49:48 PM

Prendendo spunto dalle nostre discussioni sul "paradosso del quadrato", ho trovato due figure che possono risultare utili e proficue per meglio comprendere i concetti di "esattezza", "inesattezza", "precisione" e "approssimazione".

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Nonchè per scegliere quale dei seguenti tre simboli interporre tra l'una e l'altra riguardo alle dimensioni delle loro rispettive aree:

- uguale;

- diseguale;

- simile (per approssimazione).

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Le due figure da raffrontare sono le seguenti:

- i cui elementi compositivi io ho numerato da 1 a 6 per mia e vostra semplicità di calcolo;

- e che possono essere misurate con dei righelli quadrettati (che, per mera convenzione, assumeremo di un centimetro ogni quadretto), oppure anche con dei righelli veri da porre sul monitor.

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Ora la domanda è: quale dei seguenti tre simboli di cui sopra, dal punto di vista matematico, geometrico, filosofico e/o semantico, interporreste tra l'una e l'altra figura geometrica, riguardo alle loro rispettive aree?

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Io ero rimasto alquanto perplesso davanti ad un "rebus definitorio" del genere, soprattutto considerando i calcoli (e le varie soluzioni) che al riguardo vengono riportati su INTERNET sotto tali figure; ma poi credo di aver trovato la soluzione più plausibile, che vorrei confrontare con la vostra.

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Phil · 06 Marzo 2023, 14:16:22 PM

Ho provato a scomporre il problema: l'area complessiva dei triangoli blu è 10, quella dei rettangoli rossi è 30 e quella dei triangoli gialli è 24; totale 64. Quando le forme sono accatastate nel triangolone multicolore largo 10, se l'altezza fosse di 12,8 anziché di 13, l'area del triangolone sarebbe 64, come quella del quadratone (se non ho sbagliato i conti). Ciò mi fa pensare che l'apparente differenza sia una questione si spessore delle linee disegnate, probabilmente se lo facessimo con dei pezzi di carta ritagliati, i conti tornerebbero.

bobmax · 06 Marzo 2023, 14:33:18 PM

=
Le aree sono entrambe 64.
La figura a sinistra non è un triangolo.

Eutidemo · 06 Marzo 2023, 16:22:10 PM

Ciao Phil e Bob.

Concordo con entrambi, in base alla seguente procedura; che somiglia molto a quella dei "pezzi di carta" ritagliati di Phil.

Ed infatti, se misuriamo le aree dei singoli elementi che compongono le due figure, e poi le sommiamo tra di loro, le aree delle due figure risultano esattamente identiche: e, cioè di 64 centimetri quadrati l'una (o, se preferite, di 64 caselle o quadratini).

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Se è così , quello che è sbagliato deve per forza essere il calcolo 10 x 13 :2 = 65, che viene riportato su INTERNET; ma, poichè l'area del triangolo deve necessariamente risultare uguale alla base per l'altezza diviso due, questo vuol dire che gli elementi assemblati nella prima figura (singolarmente identici a quelli assemblati nella seconda figura) non formano un vero e proprio triangolo.

Se non in modo molto "approssimato".

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Ed infatti, tracciando due segmenti di retta, molto sottili, che partono dagli estremi dei lati del presunto triangolo, mi sono accorto che, in realtà, la prima figura non è un un vero e proprio triangolo, perchè nel calcolo della base per l'altezza vengono coinvolti degli spazi sottilissimi che io ho nominato 7 e 8, a forma di "triangoli schiacciatissimi" (cioè con un angolo ottusissimo), che non fanno parte della figura, ma ne sono fuori; i quali, sommati tra di loro e compattandone la forma, corrispondono proprio al centimetro quadrato in più (o casella o quadratino che dir si voglia).

Per cui l'area della prima figura risulta dal seguente calcolo 10 x 13 :2 = 65 - 1 = 64.

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Ne risulta, pertanto, che le due aree sono identiche, e, quindi, tra di loro va interposto un bell'"uguale" secco (=).

***Un saluto ad entrambi!

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P.S,
Su INTERNET ho poi trovato quest'altra soluzione, che, pure (come è ovvio) si basa sull'assunto che quello a sinistra non è un triangolo; però la spiegazione è un po' diversa ed un po' più macchinosa di quella che ho dato io.
Ed infatti si dice...

Voi cosa ne dite!

bobmax · 06 Marzo 2023, 16:45:23 PM

Il triangolo 5 non è simile al triangolo 1.
Così come il 6 non è simile al 2.

Infatti diverso è il rapporto dei loro rispettivi cateti:
8/3 e 5/2

Non essendo simili non hanno gli stessi angoli.

Il righello può servire, ma ciò che conta è sempre il ragionamento concettuale.

Eutidemo · 07 Marzo 2023, 17:20:34 PM

Ciao Bobmax.

Io non mettevo minimamente in dubbio l'ineccepibile calcolo prospettato su INTERNET, e che tu hai così efficacemente riprodotto.

Ed infatti è ovvio che il triangolo 5 non è simile al triangolo 1 così come Il triangolo 6 non è simile al triangolo 2; ed infatti è diverso il rapporto dei loro rispettivi cateti 8/3 e 5/2 (e, non essendo simili non hanno gli stessi angoli).

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Tale "ineccepibile" ragionamento mi sembra tuttavia un po' "incompleto", in quanto, partendo da tali correttissime "premesse", non se traggono poi "esplicitamente" le debite "conclusioni"...che restano "appese"!

E, cioè, "donde" scaturisca quel "centimetro quadrato" (o casella o quadratino) calcolato ingannevolmente in più nella figura di sinistra.

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Per sapere da dove scaturisca quel "centimetro quadrato" (o casella o quadratino) calcolato e "celato" ingannevolmente in più nella figura di sinistra, non serve affatto un "righello", bensì un "semplice ragionamento concettuale" (come giustamente scrivi tu).

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E cioè, come avevo già esposto nel mio precedente post, forse in modo non sufficientemente chiaro:

a)

Calcolare l'area del "vero" triangolo che "risulterebbe" moltiplicando la base della figura per la sua altezza: 10 x 13 : 2 =65.

b)

Sottrarre da tale importo i "triangoli schiacciatissimi" (cioè con un angolo ottusissimo), che non fanno parte della figura, ma si trovano collocati tra il perimetro del "vero" triangolo ed il perimetro del "finto" triangolo; i quali, sommati tra di loro e compattandone la forma, corrispondono proprio al centimetro quadrato in più (o casella o quadratino che dir si voglia), che va sottratto dall'area del "vero" triangolo .

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Un saluto!

***

bobmax · 07 Marzo 2023, 18:30:08 PM

Sì Eutidemo, la tua procedura è corretta. Sebbene occorrerebbe calcolare effettivamente quel centimetro quadrato in più.
Cosa non immediata.

Ritengo che la via più semplice sia, una volta constatato che non è un triangolo, chiedersi allora cosa è.

E così constatare che abbiamo la composizione di due figure geometriche:
Un trapezio isoscele e un triangolo.

A questo punto l'area del trapezio è:
(10 + 6) x 5 / 2 = 40
((Base maggiore + Base minore) x altezza / 2)
Il triangolo è 6 x 8 / 2 = 24

Per un totale di 64.

Eutidemo · 08 Marzo 2023, 10:58:31 AM

Citazione di: bobmax il 07 Marzo 2023, 18:30:08 PMSì Eutidemo, la tua procedura è corretta. Sebbene occorrerebbe calcolare effettivamente quel centimetro quadrato in più.
Cosa non immediata.

Ritengo che la via più semplice sia, una volta constatato che non è un triangolo, chiedersi allora cosa è.

E così constatare che abbiamo la composizione di due figure geometriche:
Un trapezio isoscele e un triangolo.

A questo punto l'area del trapezio è:
(10 + 6) x 5 / 2 = 40
((Base maggiore + Base minore) x altezza / 2)
Il triangolo è 6 x 8 / 2 = 24

Per un totale di 64.

La tua procedura è ancora più semplice ed esplicativa.