Citazione di: viator il 10 Febbraio 2022, 18:00:29 PM
Salve Paolo. Citandoti : "Ho provato a chiedere in giro se l'insieme dei numeri naturali è considerato infinito per postulato o per dimostrazione. Le risposte non mi hanno convinto".
Credo bene che le risposte non possano essere convincenti.


Non esiste nulla di più INNATURALE dei numeri, visto che essi consistono solo in CIFRE, creazione esclusiva concettuale simbolica della mente umana.

Conoscerai - spero - la differenza tra numeri, cifre e quantità.


Infatti si dovrebbe parlare di QUANTITA' naturali, umanamente esprimibili attraverso dei numeri.

Le quantità sono discrete se l'Universo risulta limitato, infinite se esso Universo risulta illimitato.

Credo che in questo caso vada ben una dimostrazione per assurdo.
Si ammette quindi che l'insieme dei numeri naturali sia limitato.
Da ciò segue che esiste un numero più grande di tutti nell'insieme.
Chiamiamolo N.
Ma siccome N+1 è ancora un numero naturale maggiore di N, cio' contraddice il fatto che l'insieme possa contenere un numero più grande di tutti, ne consegue quindi che l'insieme dei numeri naturali è infinito.
Che poi i numeri naturali tanto naturali non siano lo sappiamo perché hanno una loro genesi.
Sappiamo ad esempio che 1 inizialmente non era considerato un numero, in quanto per numero si intendeva una molteplicità. Quindi il primo numero era il due., perché è la più piccola molteplicità.
Molteplicità quindi è un concetto logicamente più semplice rispetto a quantità.
E infatti il numero inteso come quantità nasce dopo.

Salve Paolo. Citandoti : ".....l'inattesa efficacia della matematica nel descrivere la realtà .
E' una cosa che sorprende tutti,  matematici in primis.  I filosofi cercano di venirne a capo, ma altro non so".


Anch'io trovo meraviglioso, inesplicabile, sorprendente, miracoloso..........il fatto cha la la matematica (cioè uno strumento concettuale inventato dall'uomo per interpretare dei significati umani) riesca ad interpretare dei formali concetti umani generati dalla mente umana.

Singolarissima pure la coincidenza col fatto che i cavatappi sembra proprio siano stati creati apposta - da parte di chi aveva un sacco di bottiglie da aprire - per estrarre dei turaccioli !!.


Ancora più inspiegabile e prodigioso trovo (non riesco a dormire la notte, pensandoci) ad esempio che l'atmosfera terrestre sembra essere stata creata da qualcuno (o da qualcosa) come perfettamente adatta alla respirazione...............oppure che la forza di gravità agisca verso il basso, permettendoci la sconvolgente coincidenza con la possibilità di usare le gambe per camminare (se agisse invece verso l'alto......verremmo tutti sparati nello spazio, e l'unico contento risulterebbe un certo Elon Musk).

Per quanto riguarda ironia ed autoironia..........devi sapere che in questo Forum potrai trovarne tanta quanto sono le pepite d'oro nei Navigli di Milano. Saluti ed auguri

@Viator.
La citazione era mia.
Ma, per completare il mio precedente post, il significato dei numeri si è  a tal punto generalizzato nel corso della sua storia, da perdere ogni significato, potendone semmai assumere uno all'occorrenza, laddove il nuovo tipo di numero, inventato per nessun motivo, trovi, e volte  la trova perché è lui stesso a suggerirla, una applicazione.
Così in pratica si è passati dall'inventare un cacciavite per poter avvitare una vite, a trovarsi attrezzi alieni in mano chiedendoci cosa ne possiamo fare, e a volte si trova cosa farne.
Questo forse può dare uno spunto in più per capire la strana efficacia della matematica...
Ci sono poi strane coincidenze fra il lavoro indipendente dei fisici rispetto a quello dei matematici, così che se un fisico pensa di aver bisogno di un nuovo numero può scoprire che da poco è stato inventato, ciò immagino perché, per quanto i matematici siano liberi nella loro produzione risentono dello stesso clima culturale in cui vivono i fisici, perché le stesse vie nuove   sembrano aprirsi a tutti, ognuno vedendola dal suo punto di vista, quando vi sono significative  svolte culturali.

Ci si chiede se gli scimpanzé siano intelligenti se è vero che riescono a prendere le termiti introducendo un bastoncino dentro il termitaio, di modo che ci rimangano attaccate.
Ma immaginate uno scimpanzé che gioca con un bastoncino per nessun motivo, e a un certo punto si accorge che a causa del suo gioco le termiti ci rimangono attaccate.
I matematici oggi fanno la tessa cosa, si inventano sempre nuovi tipi di  numeri per gioco , e si accorgono che a volte la realtà ci rimane attaccata.
I formichieri che introducono ciò di cui la natura li ha dotati, una lunga e sottile lingua, dentro il formicaio, sono perciò intelligenti?
Lo fanno e basta, senza sapere perché, come uno scimpanzé gioca con un bastoncino senza sapere perché, perché del gioco "la natura lo ha dotato".
Anche se gli etologi questa storia la raccontano in modo più appropriato, ma per quello che a noi serve per capire tanto basta. Loro parlano di immaturità prolungata per i primati, e in specie per l'uomo, che di fatto non smette mai di giocare e di maturare.
Così i matematici giocano coi numeri, e se acchiappare la realtà ha lo stesso valore di acchiappare una termite, si spiega allora lo strano potere della matematica di acchiappare la realtà.
Alcuni però si illudono che questa realtà acchiappata sia qualcosa di diverso da una termite, e perciò non possono che restarne meravigliati.
Penso dunque che vi siano diversi modi di spiegare la inattesa efficacia della matematica nello spiegare la realtà, e io ve ne ho proposto solo uno.
Resta da capire perché noi, che la matematica riesca a fare questo, non ce lo aspettiamo.
Immagino perché siamo convinti di non essere cacciatori di termiti, ma di verità e ci sembra ogni volta di averla trovata. Ma ogni volta siamo poi costretti a smentirci, quindi allora parliamo della strana efficacia... di che', di acchiappare una termite che scambiamo ogni volta per la realtà ?


Non sarà l'intelligenza allora quel meccanismo per cui per puro caso si soddisfa una necessità?
Secondo me potrebbe esserlo, ma ad una condizione, che non si aspetti che si verifichi il caso, ma che lo si provochi per gioco.
Dio non gioca a dadi, ma noi si.

Citazione di: viator il 10 Febbraio 2022, 21:01:20 PM
Salve Paolo. Citandoti : ".....l'inattesa efficacia della matematica nel descrivere la realtà .
E' una cosa che sorprende tutti,  matematici in primis.  I filosofi cercano di venirne a capo, ma altro non so".


Anch'io trovo meraviglioso, inesplicabile, sorprendente, miracoloso..........il fatto cha la la matematica (cioè uno strumento concettuale inventato dall'uomo per interpretare dei significati umani) riesca ad interpretare dei formali concetti umani generati dalla mente umana.

Singolarissima pure la coincidenza col fatto che i cavatappi sembra proprio siano stati creati apposta - da parte di chi aveva un sacco di bottiglie da aprire - per estrarre dei turaccioli !!.


Ancora più inspiegabile e prodigioso trovo (non riesco a dormire la notte, pensandoci) ad esempio che l'atmosfera terrestre sembra essere stata creata da qualcuno (o da qualcosa) come perfettamente adatta alla respirazione...............oppure che la forza di gravità agisca verso il basso, permettendoci la sconvolgente coincidenza con la possibilità di usare le gambe per camminare (se agisse invece verso l'alto......verremmo tutti sparati nello spazio, e l'unico contento risulterebbe un certo Elon Musk).

Per quanto riguarda ironia ed autoironia..........devi sapere che in questo Forum potrai trovarne tanta quanto sono le pepite d'oro nei Navigli di Milano. Saluti ed auguri

Cerca di dormire di notte viator e magari un giorno ti svegli e qualcuno ti dirà che se non esistessero i turaccioli l'essere umano non potrebbe esistere.
Quando a scuola facevo gli studi di funzione c'erano due concetti molto fastidiosi: gli asintoti e la tangente.
Se fossi un matematico, ma non lo sono, cercherei di abolire lo zero sostituendolo con 0,1 oppure 0,01, oppure 0,001 a seconda del sistema che voglio studiare

Citazione di: paolo il 10 Febbraio 2022, 04:51:57 AM
Come già detto, di tanto in tanto tento qualche spiritosaggine, con un pizzico di autoironia   e ironia.  E' un fatto di temperamento ma anche il tentativo di stabilire un ponticello tra noi atomi persi nel caos. Non trovo riscontro, e non siete certo obbligati a corrispondermi. Tra un po' smetto.

Ho evocato Cantor perché ritengo che possa esserci utile  ma la discussione è un po' partita per la tangente allontanandoci dal "quibus". A me va benissimo ma non tutti potrebbero essere interessati. Ditemi voi.

Adaniele22
Senza nulla togliere al resto in cui non mi intrigo, secondo me alla gazzella è sufficiente il primo incontro per categorizzare il leone e tenerlo d'occhio.
Alla gazzella non basta il primo incontro  per  categorizzare,  così come non basta un solo lancio di pallina per parlare di Caso e Necessità.


A bobmax
Cantor è il tentativo di sistemare il modo di "pensare" di uomini animali e fili d'erba, sassi esclusi.
Se a bobmax  Cantor non piace,  Bobmax non  "pensa",  quindi bobmax è un sasso.

A Iano
Preciso allora la mia risposta.  È lecito assegnare lo stesso grado di realtà  ad insiemi ed elementi se sono intercambiabili. In un insieme di insiemi gli insiemi sono elementi..
Il punto è tra gli elementi ( a1, a2, .......an )  ed  il corrispondente insieme A.  Io sarei di avviso diverso dal tuo:  ciascun elemento  a  è  più "tosto" di A.    Se poniamo  ( A,  B, C,....) = Pinco,  allora Pinco è ancora più "moscio" di A rispetto a ciascun a.
Detto in soldoni : maggiore il grado di astrazione, minore la solidità.
Ma questi sono discorsi filosofici dei quali a Cantor non frega alcunché.

Le operazioni fra numeri sono fondamentali rispetto ai numeri stessi, ed è da quelle operazioni che nascono i numeri.
Credo tu volessi scrivere "Le operazioni fra insiemi..."  Tra corrispondenza biunivoca  e numero la via non è poi così tortuosa.  La teoria degli insiemi è pre-matematica.

Cantor ci ha insegnato come operare con gli infiniti, ma non si tratta, per quel che ho potuto personalmente elaborare una questione chiusa e finita.
Cantor ci aiuta senz'altro nel finito.  Quanto all'infinito non ci ho capito molto, ma la cosa mi intriga.  Ho provato a chiedere in giro se l'insieme dei numeri naturali è considerato infinito per postulato o per dimostrazione. Le risposte non mi hanno convinto.

Se per la matematica ciò che conta non è più la realtà dei suoi enti, ma solo se con essi ci si possa operare, allora ciò che conta nella realtà non è l'esistenza degli oggetti in se', ma che con essi ci si possa operare.
Ho impiegato qualche secondo per capire che le due realtà di cui sopra sono di specie diversa.  La seconda realtà andrebbe , in realtà(??) ,  sostituita  con  " in effetti".  (Scusa l'intreccio, ho tentato un calembour ).  Niente  di male, capita a noi filosofi.  Ma ecco dimostrato che siamo meno attenti dei matematici.
 
.....l'inattesa efficacia della matematica nel descrivere la realtà .
E' una cosa che sorprende tutti,  matematici in primis.  I filosofi cercano di venirne a capo, ma altro non so.
Abbiamo in comune una sia pure elementare conoscenza di matematica.  Non male.

Ho provato ad usare come voi il pulsante  "Citazione" ma ho trovato conferma della mia pochezza.  Mi date una mano?

Si puo' dimostrare abbastanza semplicemente che l'insieme dei numeri naturali e' infinito poiche' un insieme e' infinito se e solo se puo' essere posto in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio, quindi, visto che non c'e' alcun problema a far corrispondere, per esempio, ad ogni numero naturale un altro numero naturale pari, (1-2, 2-4, 3-6, 4-8,...) e i numeri pari sono un sottoinsieme proprio dei numeri naturali, i numeri naturali sono infiniti.


L'infinito non si puo' contare, ma inizia laddove non e' piu' contraddittorio che alcune delle parti della cosa che ci chiediamo se sia infinita o no siano altrettanto numerose, o estese, del tutto. Questo mette in crisi la distinzione aristotelica tra infinito potenziale e infinito attuale; l'infinito ha a che fare con la "composizione interna" della "cosa" esaminata, quindi non puo' essere una pura potenzialita' derivante dal gioco del porre e trascendere un limite a qualcosa, ne' un attributo predicabile del semplice inarticolato, l'infinito e' relazione attuale, e' cio' che ha per confine il nulla.

@Niko.
È singolare che tu proponi come definizione di infinito ciò  che storicamente viene presentato  come prova della sua inesistenza, prova che solo  quel genio di Cantor è riuscito a confutare allargando i nostri orizzonti mentali. Così praticamente hai stravolto la storia ponendo la fine all'inizio.
Mi chiedo quindi chi , oltre a te , abbia assunto la definizione di infinito che tu presenti come quella ufficiale, cosa che a me non risulta.


È comunque una definizione interessante, ma essendo contro intuitiva appunto, a chi può essere venuta l'idea di assumerla, se non era proprio necessario?
Quantomeno occorrerebbe dimostrare che essa sia equivalente a quella tradizionale da cui là si può fare derivare.
Non si possono scambiare in genere le tesi con le ipotesi senza poi assumersi l'onore di dimostrare che ipotesi e tesi siano un modo diverso di dire la stessa cosa.
Intuitivamente a me sembra che lo siano, però non ne sono sicuro.
Sembra che a te piaccia complicare, e so' di cosa parlo, le cose, piuttosto che no.
Come se il tuo scopo non fosse ridurre a banalità l'iniziale stupore, ma al contrario di alimentarlo senza fine..
La mia però non vuole essere una critica sterile, ne' tantomeno personale, perché questo atteggiamento è tanto diffuso che meriterebbe di essere indagato, e io stesso appunto sono il primo a sapere di cosa parlo.
Non è che rischiamo di essere dipendenti dalla adrenalina prodotta dallo stupore, che poi Viator non ci riesce a dormire?

Citazione di: iano il 11 Febbraio 2022, 10:33:00 AM
@Niko.
È singolare che tu proponi come definizione di infinito ciò  che storicamente viene presentato  come prova della sua inesistenza, prova che solo  quel genio di Cantor è riuscito a confutare allargando i nostri orizzonti mentali. Così praticamente hai stravolto la storia ponendo la fine all'inizio.
Mi chiedo quindi chi , oltre a te , abbia assunto la definizione di infinito che tu presenti come quella ufficiale, cosa che a me non risulta.


È comunque una definizione interessante, ma essendo contro intuitiva appunto, a chi può essere venuta l'idea di assumerla, se non era proprio necessario?
Quantomeno occorrerebbe dimostrare che essa sia equivalente a quella tradizionale da cui là si può fare derivare.
Non si possono scambiare in genere le tesi con le ipotesi senza poi assumersi l'onore di dimostrare che ipotesi e tesi siano un modo diverso di dire la stessa cosa.
Intuitivamente a me sembra che lo siano, però non ne sono sicuro.
Sembra che a te piaccia complicare, e so' di cosa parlo, le cose, piuttosto che no.
Come se il tuo scopo non fosse ridurre a banalità l'iniziale stupore, ma al contrario di alimentarlo senza fine..
La mia però non vuole essere una critica sterile, ne' tantomeno personale, perché questo atteggiamento è tanto diffuso che meriterebbe di essere indagato, e io stesso appunto sono il primo a sapere di cosa parlo.
Non è che rischiamo di essere dipendenti dalla adrenalina prodotta dallo stupore, che poi Viator non ci riesce a dormire?

Oddio, che un insieme infinito possa essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio e' la prima cosa che ti esce se metti "infinito" su Wikipedia, la mia definizione e' corretta e l'ho messa in forma numerica solo perche' senno' detta solo a parole poteva sembrare qualcosa di astruso e non lo e', a me l'hanno spiegata al liceo e ancora me la ricordo, e siccome questa e' la caratteristica comune di tutti gli insiemi infiniti, mi sorprenderei che non ne fosse anche la definizione piu' semplice, e la (ridondante) dimostrazione che i numeri naturali sono infiniti segue semplicemente, ridondante perche' a livello di senso comune gia' lo sanno tutti, che lo sono, quindi se uno lo chiede, chiede strumenti logici e formali per definire meglio quello che gia' sa, non certo sorprese complicate...


Comunque le tue fonti quali sono?

Santo cielo, iano, comunque sei stato un po' arrogantello, cioe' mi hai fatto credere di aver scritto una cazzata tremenda, e per il rispetto che ho di questo posto mi e' dispiaciuto,  ho ricontrollato bene e con pazienza e quello che ho scritto non e' affatto una cazzata: Wikipedia propone due definizioni universalmente accettate di infinito in matematica in apertura della sua pagina sull'argomento e, ok, non la prima, ma la seconda e'  proprio la mia. Quindi anche la mia dimostrazione in senso stretto, data a partire dalla definizione, segue logicamente, e fila.


E' ovvio che io ho premesso, semplicemente calandolo dall'alto di mia, per cosi' dire,  "autorita' " che:

"un insieme e' infinito se puo' essere posto in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio",

E, a sua volta, la dimostrazione di questa mia affermazione, che nel mio post funge solo da data e semplice premessa, sara' davvero (e non nel senso in cui lo intendi tu) super-complicata e non certo alla mia portata, e nemmeno di quella dell'utente medio di Wikipedia, tanto che neanche Wikipedia stessa la riporta; quindi tu mi potresti certamente contestare che, per trovare anche solo un minimo interessante e pertinente il mio ragionamento super-semplificato da matematico della domenica, fatto con i numerini da uno a otto, bisogna ben accettarne acriticamente e acefalamente la premessa, cosa che non e' propria di un atteggiamento e di un dibattito genuinamente filosofico, ma, a parte questa possibile critica, che ci puo' stare,


castronerie in senso stretto non ne ho affatto sparate,


non ho fatto errori nel riportare o esporre una teoria di fatto esistente, li hai fatti tu nel cercare di correggermi inutilmente, quindi ti pregherei per il futuro di essere un po' piu' umile nel tentare di correggermi se anche tu, come me, sei un dilettante di materie scientifiche e non hai affatto gli strumenti teorici e argomentativi per correggermi in modo puntuale ed esauriente, grazie!

@Niko.
Hai tutte le ragioni.
Apprezzo non da ora il fatto che sai portare pazienza e comprensione, e anzi in questo sei esemplare.
Io ci provo, ma non ti sto' alla pari.
Quindi grazie.


Le mie fonti sono la mia memoria, perché è una dimostrazione semplice da ricordare.
Ma più che una dimostrazione coincide con la definizione stessa di insieme numerico naturale infinito, come quello che non possiede un numero più grande.
Quindi, se la definizione è coerente, non occorre in effetti alcuna dimostrazione.
L'insieme stesso dei numeri naturali lo si definisce come infinito, perché generato da una operazione reiterabile all'infinito. Si parte da uno e si aggiunge uno è così via.
In conseguenza di questa definizione quando si vuol dimostrare che una certa proprietà valga per tutti i numeri naturali, si ammette che basti dimostrare che valga per 1 e che valga per n+1 , dove n è il generico numero naturale, perché valga per ogni numero.
Si chiama dimostrazione per induzione.

Quindi se qualcuno chiede la dimostrazione che i numeri naturali sono infiniti , come ha fatto Paolo, è perché ne ha una idea solo intuitiva. Ma non si può fare una dimostrazione a partire da una idea intuitiva. Ma a partire da una precisa definizione .
Io ho usato la definizione di numero naturale per dimostrare che sono infiniti.
Tu hai usato una definizione, che apprendo essere tale, di infinito, per dimostrare che i numeri naturali ne sono un esempio.


Ma caro Niko, il difetto che noi tutti abbiamo , con qualche notevole eccezione, è il vizio di portare la discussione dove ci pare, e in questo io sono molto tollerante, perché io stesso ho quel vizio, nonché lo stesso vizio di cui ingiustamente ti accusavo.
Però la discussione verteva su altro.

Però in generale la mia impressione è  che, con poche virtuose eccezioni, si tenda a complicare le discussioni al solo scopo di generare stupore, e quando si provi a ridurre questo stupore ad ovvietà si trovi opposizione a ciò da parte di chi chiedeva spiegazioni, come se a quello stupore non volesse rinunciare, ma volesse limitarsi a condividerlo.

Potrei indicare alcuni forumisti esemplari in ciò, ma non è il caso che mi faccia troppi nemici adesso.
Però se non fosse argomento che ci tocchi sul vivo, sarebbe interessante da affrontare.

Tornando alla discussione originaria, la tesi che provavo a sostenere è che nella realtà non esiste ne' caso ne' necessità, se non come strumenti concettuali attraverso cui proficuamente la indaghiamo.
La spia che ciò sia vero là si può riscontrare nel fatto che, per distorsione culturale, tendiamo a negare l'esistenza del caso, ma non della necessità , mentre come ci fa' notare Bobmax non può esistere uno senza l'altro, a qualunque livello di esistenza li si voglia porre.
Così se io per mia cultura tendo a negare l'esistenza del caso come cosa strana che possa esistere, allora coerentemente devo cercare di vedere la stessa stranezza nella necessità .


Quindi poi giungo alla conclusione che non esistono nella realtà eventi casuali ne' necessari, ma che possiamo descriverla in questi termini con una certa utilita'.


In sostanza con questa discussione sto proponendo un esperimento mentale, per cui se vi appare strano il caso, provate a guardare più da vicino la necessità, sforzando il vostro punto di vista culturale, perché potreste trovarci la stessa stranezza, a ben guardare.


Si tratta della stranezza che sarebbe comune ad ogni nostro strumento concettuale, stante la loro arbitrarietà, ma che ci appare in diverso grado asseconda dell'abitudine che abbiamo a trattarli, e quindi della relativa familiarità  che con essi abbiamo sviluppato.


Il concetto si può ridurre ad una breve affermazione.
Dio non gioca a dadi, ma noi si.


Spero che in questa nuova forma possiate trovare l'argomento più interessante, se non stupefacente.😇

Viator scrive: Per quanto riguarda ironia ed autoironia..........devi sapere che in questo Forum potrai trovarne tanta quanto sono le pepite d'oro nei Navigli di Milano. Saluti ed auguri .   Il giudizio è lapidario e  alquanto brusco.  Non posso e non voglio crederci, però il fatto che sia stato il solo a raccogliere il messaggio in bottiglia mi lascia da pensare.

Quando leggiucchio qualche pensiero di uomini grandi, geni dell'Umanità, mi capita a volte di bloccarmi perplesso e sbottare: " Ma questa è una cagata pazzesca!".
Ci rimugino ma non ne vengo a capo,  Capisco che la probabilità che Kant abbia torto ed io( omuncolo raso terra) abbia ragione  è infima (ma perché considerarla zero?).
Non ci dormo la notte ( si fa per dire) ed ecco la mia presenza tra di voi alla ricerca di persone caritatevoli che mi traggano d'impaccio.

A Iano
Non sarà l'intelligenza allora quel meccanismo per cui per puro caso si soddisfa una necessità?
Scusa se, da matematico rompiscatole, ti faccio le pulci : visto il posto in cui stiamo, per evitare equivoci, sostituirei "necessità" con "bisogno".

Quindi se qualcuno chiede la dimostrazione che i numeri naturali sono infiniti , come ha fatto Paolo, è perché ne ha una idea solo intuitiva. Ma non si può fare una dimostrazione a partire da una idea intuitiva. Ma a partire da una precisa definizione .
Per la verità non ho ancora dichiarato alcuna idea.   La tua idea di una mia idea intuitiva è intuitiva ( intreccio voluto ).
La tua dimostrazione ( che N sia infinito ) e quella di Nico sono entrambe correnti e fanno riferimento alle due caratteristiche equipollenti che deve avere un insieme per essere considerato infinito ( vedi Wikipedia ). Come mi capita ( vedi più su ) mi trovo in disaccordo con miliardi di miei consimili.
Prima dimostrazione:
( 1, 2, 3, 4, 5 ) è un insieme finito.  Sommo a 5 una unità e chiamo questa prima operazione  Somma1 ( un nome come un altro ). Ottengo l'insieme ( 1, 2, 3, 4, 5, 6 ) anch'esso finito.    Con la successiva Somma2 ottengo un insieme ancora finito. Domanda:  di quante Somme avrò bisogno per qualificare l'insieme via via ottenuto come infinito? La risposta che sorge spontanea è :  una quantità infinita.  Il che equivale a dire che l'insieme ( Somma1,  Somma2,  .......)  è infinito, con il ché torniamo da dove eravamo partiti.
Quando si dice che, dato un numero naturale grande a piacere, è "sempre" possibile trovarne uno maggiore, si ragiona per induzione.  L'induzione fornisce conoscenza probabile, non certa.

Seconda dimostrazione:
L'insieme N non è equipotente alla sua parte propria ( 1, 2, 3) finita,  e neanche alla parte propria ( 1, 2, .....un miliardo ) finita. Qualunque insieme finito non può essere equipotente ad N.
Gli insiemi che possiamo pensare equipotenti ad N sono: (2, 4, 6, 8, .......) o anche ( 1, 4, 9,.....), insiemi tratti da N ma che possiamo considerare infiniti solo se lo è N . Con il ché torniamo da dove eravamo partiti.


Nel caso dovessi avere ragione mi verranno eretti monumenti in ogni città del mondo.  Preparatevi.


Insisto con la domanda:  N è considerato infinito perché dimostrato tale o perché postulato tale?  Prego tutti di darmi una risposta.

Per avere una risposta dovresti dare prima una tua definizione di insieme dei numeri naturali.
Che sia infinito oppure no sarà implicito nella tua definizione.
Se questa risposta non ti piace dacci la definizione che tu ritieni ufficiale, e poi noi proviamo a rispondere.
Diversamente come facciamo a sapere se con insieme di numeri naturali intendiamo la stessa cosa?


A meno che tu non creda che quei numeri stiano nell'iperuranio di Platone, e che perciò condividiamo in partenza tutti la stessa idea. In tal caso  io non saprei rispondere, perché credo che i numeri siano una nostra costruzione.

@Paolo.
Rileggendo meglio il tuo post forse dentro c'è la "tua" definizione di insieme di numeri naturali che chiedevo.
Se è così vuoi metterla meglio in evidenza?
Per come l'hai posta, se è una definizione, sembra essere incompleta se contiene dei puntini di sospensione.
Per essere una definizione dove essere completa e per essere completa deve essere finita .
Deve essere inoltre ben definita, senza lasciare nulla per inteso.
Non volutamente almeno, usando punti di sospensione.
In matematica non si "dovrebbe dare nulla per scontato" , ma ovviamente non si può mai escludere involontariamente di farlo.
Se perché si usano puntini di sospensione la volontà di farlo è chiara.
Colloquialmente naturalmente lo si può fare, ma se si chiede una dimostrazione no.