Il paradosso dei due bambini di Gardner

Eutidemo · 15 Luglio 2022, 13:32:35 PM

Si tratta di un paradosso formulato da Martin Gardner sullo Scientific American, laddove viene così formulato: "Il signor Smith ha due bambini, almeno uno dei quali è un maschio. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?"

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Spontaneamente verrebbe da rispondere che la probabilità è del 50%, mentre, invece, secondo Gardner, sarebbe solo del 33,3%.

Ed infatti, secondo lui, astrattamente i casi sarebbero i seguenti:

1° caso

Il primo bambino è un maschio e il secondo è una femmina;

2° caso

Sono due maschi;

3° caso

Sono due femmine;

4° caso

Il primo bambino è una femmina e il secondo è un maschio.

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Ora, poichè il postulato è che il signor Smith ha due bambini, "almeno uno dei quali è un maschio", è ovvio che il terzo caso è da escludere: ci restano, quindi, solo i casi 1, 2 e 4.

Per cui, la probabilità che i entrambi i bambini siano maschi, ovvero il caso n°2, di 1/3, ovvero del 33,3%.

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Secondo me, invece, il caso 1 e 4 sono identici, in quanto il quesito riguarda il "sesso", e non l'"età dei figli"; per cui, a mio parere la probabilità che i entrambi i bambini siano maschi è del 50%.

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Ed infatti, volendo, il quesito potrebbe anche essere così riformulato:

"Il signor Smith adotta due bambini, nati esattamente nello stesso istante, almeno uno dei quali è un maschio. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?"

In questo caso il paradosso di Gardner non reggerebbe più in alcun modo, neanche facendo ricorso al "trucco" dell'età; ed infatti, in tale caso, la probabilità che i entrambi i bambini siano maschi sarebbe senz'altro del 50%.

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Secondo me, il "qui pro" scaturisce dall'abitudine di "codificare simbolicamente" gli elementi di un problema, anche quando non ce n'è alcuna ragione; ad esempio, distinguere MF da FM è una pura e semplice "mistificazione matematica", perchè presuppone -senza necessità- che occorra tenere conto della primogenitura dei figli, scindendo così immotivatamente in due un'ipotesi, che, invece, è unitaria.

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Allo stesso modo, distinguere MF da FM potrebbe anche presupporre senza necessità che occorra tenere conto della altezza o del peso dei dei figli; cioè la lettera in prima posizione indicherebbe il più alto o il più pesante (invece del più vecchio).

Il che non ha senso, se il quesito riguarda solo il sesso dei figli!

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Scrivere di avere "un figlio maschio e una figlia femmina", ovvero scrivere di avere "una figlia femmina e un figlio maschio" (a prescindere dalla primogenitura, dall'età e dal peso), logicamente significa la stessa cosa; anche se poi si scrive MF distinto da FM!
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In effetti, almeno in parte, per certi aspetti è un po' il discorso del "fronte" e del "retro" di una carta; perchè, in realtà, delle semplici carte colorate in bianco e nero, hanno semplicemente due "lati" distinti e contrapposti, ma nessuno dei due ha il titolo per essere definito "fronte" o"retro" (come, invece, nel caso di un quadro o di un libro).
Ma questo è un altro discorso!

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iano · 15 Luglio 2022, 15:05:53 PM

Il signor Smith ha due figli uno dei quali è maschio.
Fatta questa premessa chiedere A) qual'e' là probabilità che entrambi siano maschi equivale a chiedere B) qual'e' là probabilità che anche l'altro sia maschio.
La domanda formulata in un modo o nell'altro ha una sola risposta: 1/2.
Abbiamo quindi due quesiti equivalenti, di cui si potrebbe anche non conoscere la risposta, ma sappiamo già in partenza che essendo equivalenti , se hanno una risposta, è la stessa risposta.
C) Il signor Smith ha due figli uno dei quali almeno è maschio etc...
Il quesito di Gardner lo possiamo quindi ridurre al seguente:
C equivale ad A e B?
Mi pare chiaro che per Gardner la risposta è che il caso C non equivalga ad A e B.

Io non ho dato una risposta, ma ho provato a riguardare il problema da una prospettiva diversa.
Ma conoscendo i matematici so' che se in una frase aggiungono o tolgono un termine, nel nostro caso "almeno", senza modificarla per il resto, non lo fanno mai a caso e Gardner era un matematico.
Un non matematico non ci verrebbe mai a dire che il signor Smith ha due figli, almeno uno dei quali etc...
Ci verrebbero a dire che il Signor Smith ha due figli, uno dei quali sanno per certo essere un maschio, ma non sanno che sesso abbia l'altro.
Per i matematici dire "almeno" ripota a due casi possibili da considerare distinti e non come lo stesso caso, perché per i matematici l'ordine degli elementi è fondamentale.
A,B è diverso da B,A in genere.
Cioè il caso 1 e il caso 4, non sono lo stesso caso.

Eutidemo · 16 Luglio 2022, 06:42:05 AM

Ciao Iano.

Hai ragione!
Ed infatti i matematici, come tu giustamente scrivi: "...se in una frase aggiungono o tolgono un termine, nel nostro caso "almeno", senza modificarla per il resto, non lo fanno mai a caso e Gardner era un matematico."

Ed infatti lo stesso Gardner ammise che la domanda era stata posta in modo volutamente ambiguo; per cui, in seguito, togliendo quell'"almeno", la riformulò nel modo seguente "Il signor Smith ha due bambini. Non sono due femmine. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?"

Secondo lui, in base al seguente schema, la probabilità risulterebbe del 33,3%.

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Quanto al fatto che A,B sia diverso da B,A, occorre fare attenzione a distinguere le codifiche da ciò che viene codificato.
Ed infatti, se io scrivo:
"Ho due figli, di nome Antonio e Bernardo"
oppure:
"Ho due figli, di nome Bernardo e Antonio"
io sto scrivendo esattamente la stessa cosa, nè sto qualificando in modo diverso i due soggetti.
Per cui, se usassi per comodità soltanto le loro iniziali, l'ordine in cui le scrivo non cambierebbe niente di significativo del concetto espresso (neanche la primogenitura).
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Diverso è invece il caso dei simboli, delle sigle e degli acronimi: ed infatti OK significa una cosa completamente diversa da KO.
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Un saluto!

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