Premessa.
Ho letto l'introduzione a questa sezione.
Molto bella. Peccato che forumisti come Maral non siano ancora dei nostri.
Difficile tenere alto il livello del forum con tali significative defezioni.

L'argomento di questa diffusione è tosto quanto generico, e per quanto riguarda il mio contributo sarà di volta in volta ispirato da libri divulgativi in merito che sto leggendo.
Le mie saranno comunque, via via, riflessioni libere e poco autorevoli.
Confesso che tali mi piacerebbe fossero anche le vostre, magari ingenue , ma sincere.

La prima riflessione ''guida'' è la seguente.
La matematica è paradigma di incomprensibilità secondo il senso comune, a fronte di un suo potere sempre più riconosciuto, che detrattori, tanti, marcano come crescente invadenza inopportuna nelle cose umane, quanto avvolta da mistero.
Eppure se si volesse trovare un buon esempio per esemplificare il concetto di banalità, il migliore che si possa trovare è propriamente la matematica.
Posto che non abbiamo alcun obbligo a studiare la matematica, come qualunque altra cosa, presentarla come un esempio di banalità non sembra essere un incentivo a farlo.
Ma cercare di svelare il mistero della sua indiscussa potenza richiede di entrarvi un minimo in confidenza.
Ne lamentiamo l'invadenza crescente, ma ne parliamo come  di un invasore alieno, e allo stesso tempo c'è il sospetto fondato che quegli alieni siamo noi in forma sdoppiata. E' una guerra fra mondi ancora in atto e iniziata ai tempi di Platone.
E' stato sufficiente ipotizzare due mondi distinti quanto potenzialmente fittizi, per scatenare una guerra fra mondi reale.
Siamo noi che appariamo in forma di matematici invasori, e allo stesso tempo in forma di indigeni invasi.
Siamo sempre noi, ma sdoppiati in diverse forme, che perciò si equivalgono, al di là delle apparenze.

In effetti la mission della matematica è propriamente, guarda caso,  di informarci quando forme diverse si equivalgono, quando sono cioè uguali al di là dell'apparenza.
Le dimostrazioni matematiche a questo servono.
E' una questione banale che non sempre però appare come tale.
Non sembra banale ad esempio affermare che un mezzo angolo giro vale la somma degli angoli interni di un triangolo.
Infatti a prima vista sembrano due cose apparentemente ben diverse un mezzo angolo giro e un triangolo, presentandosi alla nostra percezione come cose distinte e indipendenti.
E infatti che le cose non stiano così occorre dimostrarlo.
Nella dimostrazione la ''forma'' mezzo angolo giro viene trasformata nella forma equivalente ''triangolo'', o viceversa.
Cioè, detto in modo rozzo, sono la stessa cosa.
Ma col triangolo riusciamo a misurare la distanza delle stelle.
Col mezzo angolo giro invece no.
Si inizia così a disvelarsi il misterioso potere della matematica, senza neanche bisogno di approfondirne troppo lo studio.