Salve a tutti.
Vorrei proporre alla vostra attenzione una situazione apparentemente paradossale che ho concepito io stesso, e che poi ho scoperto essere una variante del celebre paradosso del disco rigido, presentato da Ehrenfest nel 1909.

La situazione è la seguente.
Immaginiamo che nel nostro sistema sistema solare, in un lontano futuro, l'umanità giunga a costruire una sfera di Dyson (https://it.wikipedia.org/wiki/Sfera_di_Dyson) del diametro di poco maggiore dell'orbita di Plutone: diciamo poco più di 14 miliardi di km, così da risultare una circonferenza di 44 miliardi di km esatti.
La sfera è abitata da miliardi di individui, e per facilitare i trasporti si decide di costruire una specie di metropolitana ad alta velocità lungo tutto l'equatore della sfera. Costruita la linea, si dispongono poi i vagoni del "treno": 44 miliardi di vagoni della lunghezza di un km ciascuno, così che la linea è interamente occupata dal treno, senza soluzioni di continuità. Ogni vagone è collegato al successivo e il primo all'ultimo.
Il treno viene messo in funzione. La sua velocità si servizio è di circa 8287 km/s, molto alta ma non propriamente relativistica. Peraltro, a questa velocità si genera un'accelerazione centrifuga che corrisponde esattamente alla forza di gravità della natia Terra, cosa che rende il viaggio più confortevole e naturale per gli esseri umani.

Ora però consideriamo il punto di vista di un osservatore in quiete rispetto alla sfera di Dyson, e situato in prossimità del suo centro (non troppo vicino al Sole, naturalmente; magari proprio sulla Terra, poiché il leggero decentramento non fa alcuna differenza). Questo osservatore, che si chiama LB e conosce la relatività ristretta, si aspetterebbe di osservare un accorciamento di ciascun vagone dello 0,04% circa, data la velocità del treno: poco meno di 40 cm... ma questo vale per ciascun vagone, il che significa 40 cm moltiplicato per 44 miliardi, vale a dire una lunghezza equivalente a quasi 17 milioni di vagoni!

LB è perplesso: i calcoli gli dicono che il treno, nella sua interezza, dovrebbe essere più corto di quasi 17 milioni di vagoni... ma non può esserlo, perché se fosse più corto non riuscirebbe a completare la circonferenza, cioè si dovrebbe "aprire da qualche parte"; ma egli vede bene, col telescopio, che non è così: il treno, naturalmente, è ancora integro, ogni vagone collegato al successivo e al precedente.

Allora LB pensa che il treno forse gli appare più vicino, cioè a distanza minore rispetto a quella della sfera... Ma è assurdo, perché dove potrebbe correre il treno, se non sulla linea che è costruita lungo l'equatore della sfera stessa? La sfera è fissa, il suo diametro è noto e non è soggetto ad alcun effetto relativistico... Inoltre, se il treno gli apparisse più vicino, i vagoni gli dovrebbero apparire più larghi, ma ancora, non è così, lo vede bene al telescopio, i vagoni hanno la medesima larghezza iniziale.

D'accordo, il treno corre sempre sull'equatore della sfera, e quindi la sua lunghezza totale è fissa: forse che, allora, l'effetto relativistico è tale da creare quasi 17 milioni di vagoni in più?... Ma no, stiamo scherzando? E dove li infilerebbe quei vagoni nuovi, un po' qui e un po' lì, a caso? Oppure tutti in fila in un punto, magari proprio alle sue spalle, dove non sta guardando in quel momento, eh? E poi, si trattasse solo dei vagoni... ma la gente che c'è sopra? Si inventa anche i passeggeri, quel diavolo di effetto relativistico, oppure crea solo vagoni vuoti?

A LB comincia a girare la testa.
Sempre più perplesso, decide di scrivere a questo forum.

CitazioneLB è perplesso: i calcoli gli dicono che il treno, nella sua interezza, dovrebbe essere più corto di quasi 17 milioni di vagoni... ma non può esserlo, perché se fosse più corto non riuscirebbe a completare la circonferenza, cioè si dovrebbe "aprire da qualche parte"; ma egli vede bene, col telescopio, che non è così: il treno, naturalmente, è ancora integro, ogni vagone collegato al successivo e al precedente.

non capisco perché dovrebbe vedere il treno ancora integro: se l'effetto è fisico il treno non potrà che disintegrarsi dato che il suo spazio si è ristretto per effetto relativistico, mentre il binario su cui corre necessariamente vincolato, poiché è fermo, è rimasto della medesima lunghezza.
Però, ora che ci penso, qui ci troviamo non in presenza di un moto rettilineo uniforme, come quello trattato nella relatività ristretta, ma il treno è sottoposto all'azione di una forza inerziale determinante l'equivalente di un campo gravitazionale che deforma lo spazio tempo  che comprende treno e  binario per cui si rientra nella relatività generale complicando le cose.

Citazione di: maral il 20 Maggio 2016, 22:55:09 PM

CitazioneLB è perplesso: i calcoli gli dicono che il treno, nella sua interezza, dovrebbe essere più corto di quasi 17 milioni di vagoni... ma non può esserlo, perché se fosse più corto non riuscirebbe a completare la circonferenza, cioè si dovrebbe "aprire da qualche parte"; ma egli vede bene, col telescopio, che non è così: il treno, naturalmente, è ancora integro, ogni vagone collegato al successivo e al precedente.

non capisco perché dovrebbe vedere il treno ancora integro: se l'effetto è fisico il treno non potrà che disintegrarsi dato che il suo spazio si è ristretto per effetto relativistico, mentre il binario su cui corre necessariamente vincolato, poiché è fermo, è rimasto della medesima lunghezza.
Però, ora che ci penso, qui ci troviamo non in presenza di un moto rettilineo uniforme, come quello trattato nella relatività ristretta, ma il treno è sottoposto all'azione di una forza inerziale determinante l'equivalente di un campo gravitazionale che deforma lo spazio tempo  che comprende treno e  binario per cui si rientra nella relatività generale complicando le cose.

L'osservatore che sta al centro della sfera di Dyson può osservare il treno in una condizione di perfetta simmetria (simmetria polare): ogni punto del treno è equivalente all'altro. Ma se vige questa condizione di perfetta simmetria polare, non è possibile individuare alcun punto in cui il treno dovrebbe disintegrarsi. O meglio, tutti i punti dovrebbero essere punti di disintegrazione, altrimenti la simmetria polare sarebbe incomprensibilmente violata. Ma che significa che il treno si disintegra in tutti i punti contemporaneamente, continuando a percorrere il suo binario che è di lunghezza stabilita? Significa solo che non può disintegrarsi...

Tu accenni alla forza inerziale generata cui è sottoposto il treno nel suo moto circolare.
E' vero, ma io ho scelto appositamente i valori per ridurre tale effetto a dimensioni "ordinarie". Infatti, nell'esempio che ho formulato sul treno si sperimenta una forza centrifuga equivalente alla gravità terrestre. Quindi un effetto molto piccolo, probabilmente del tutto trascurabile.
in ogni caso io non saprei come calcolare gli effetti di un campo gravitazionale del genere...
Oppure, forse, l'effetto è proprio quello contrario all'accorciamento, e quindi tale da ripristinare la lunghezza originale del treno, come vorrebbe il senso comune...

C'è anche da dire che è solo il viaggiatore sul treno a sperimentare l'effetto gravitazionale (equivalente), secondo il suo punto di vista. Ma per l'osservatore al centro della sfera di Dyson, non esiste alcuna gravità, esiste solo un oggetto che si muove di moto circolare e soggetto ad accelerazione.

Infine c'è un'ulteriore considerazione da fare. Mettiamoci nei panni di un viaggiatore sul treno, il quale ha tutto il diritto di descrivere ciò che accade secondo il suo sistema di riferimento. Egli vede le rotaie scorrere sotto di sé, mentre sente di essere soggetto ad un'ordinaria forza gravitazionale (equivalente).
Ora, per quale motivo, dal suo punto di vista, il treno su cui sta viaggiando dovrebbe disintegrarsi?
Non c'è alcun motivo, dal suo punto di vista.

Ma il viaggiatore e l'osservatore al centro della sfera di Dyson, poiché vivono nello stesso universo, non possono constatare due fenomeni diversi: devono necessariamente vedere lo stesso fenomeno, pur descrivendolo in termini diversi a seconda del rispettivo punto di vista...

Il paradosso di Ehrenfest era stato formulato proprio suggerendo l'idea paradossale che il disco si sarebbe frantumato, arrivando ad una certa velocità. Sono passati più di cent'anni e gli scienziati ne stanno ancora discutendo, il che significa che non è proprio tutto così chiaro...

Citazione di: Loris Bagnara il 21 Maggio 2016, 09:28:50 AM
L'osservatore che sta al centro della sfera di Dyson può osservare il treno in una condizione di perfetta simmetria (simmetria polare): ogni punto del treno è equivalente all'altro. Ma se vige questa condizione di perfetta simmetria polare, non è possibile individuare alcun punto in cui il treno dovrebbe disintegrarsi. O meglio, tutti i punti dovrebbero essere punti di disintegrazione, altrimenti la simmetria polare sarebbe incomprensibilmente violata. Ma che significa che il treno si disintegra in tutti i punti contemporaneamente, continuando a percorrere il suo binario che è di lunghezza stabilita? Significa solo che non può disintegrarsi...

Il fatto che l'osservatore veda il treno secondo una perfetta simmetria, non significa che tutti i punti del treno, se il treno è reale, siano perfettamente equivalenti. Il punto di vista dell'osservatore, pur modificando lo spazio, non modifica il rapporto delle singole strutture componenti il treno. Se il treno è una circonferenza geometrica allora sì che tutti i punti sono in essa perfettamente equivalenti, ma in questo caso puramente astratto, possiamo ammettere che la conferenza si disintegri simultaneamente nei sui punti.

Citazionein ogni caso io non saprei come calcolare gli effetti di un campo gravitazionale del genere...

Nemmeno io, ci vorrebbe un esperto del calcolo delle formule della relatività generale.

CitazioneC'è anche da dire che è solo il viaggiatore sul treno a sperimentare l'effetto gravitazionale (equivalente), secondo il suo punto di vista. Ma per l'osservatore al centro della sfera di Dyson, non esiste alcuna gravità, esiste solo un oggetto che si muove di moto circolare e soggetto ad accelerazione.

Sì, il campo lo sperimenta il viaggiatore con i suoi sensi, ma c'è anche per l'osservatore come entità fisicamente descrivibile e reale, se il treno si muove sul binario è comunque soggetto alla forza centrifuga inerziale.

CitazioneInfine c'è un'ulteriore considerazione da fare. Mettiamoci nei panni di un viaggiatore sul treno, il quale ha tutto il diritto di descrivere ciò che accade secondo il suo sistema di riferimento. Egli vede le rotaie scorrere sotto di sé, mentre sente di essere soggetto ad un'ordinaria forza gravitazionale (equivalente).
Ora, per quale motivo, dal suo punto di vista, il treno su cui sta viaggiando dovrebbe disintegrarsi?
Non c'è alcun motivo, dal suo punto di vista.

In realtà c'è, perché proprio dal suo punto di vista il viaggiatore non vede il treno muoversi, il treno per lui è fermo ed è presente una certa forza di gravità, mentre è il binario sotto che si muove a una velocità relativisticamente significativa. Per lui quindi è il binario che ruotando si contrae e contraendosi causa la disintegrazione del treno fermo su di esso. Alla fine il viaggiatore e l'osservatore vedono lo stesso fenomeno, la disintegrazione del treno, anche se lo spiegano in termini diversi

CitazioneIl paradosso di Ehrenfest era stato formulato proprio suggerendo l'idea paradossale che il disco si sarebbe frantumato, arrivando ad una certa velocità. Sono passati più di cent'anni e gli scienziati ne stanno ancora discutendo, il che significa che non è proprio tutto così chiaro...

Sono d'accordo che in realtà la cosa non sia così semplice da risolvere.

Citazione di: maral il 22 Maggio 2016, 00:10:36 AM

Citazione di: Loris Bagnara il 21 Maggio 2016, 09:28:50 AM
L'osservatore che sta al centro della sfera di Dyson può osservare il treno in una condizione di perfetta simmetria (simmetria polare): ogni punto del treno è equivalente all'altro. Ma se vige questa condizione di perfetta simmetria polare, non è possibile individuare alcun punto in cui il treno dovrebbe disintegrarsi. O meglio, tutti i punti dovrebbero essere punti di disintegrazione, altrimenti la simmetria polare sarebbe incomprensibilmente violata. Ma che significa che il treno si disintegra in tutti i punti contemporaneamente, continuando a percorrere il suo binario che è di lunghezza stabilita? Significa solo che non può disintegrarsi...

Il fatto che l'osservatore veda il treno secondo una perfetta simmetria, non significa che tutti i punti del treno, se il treno è reale, siano perfettamente equivalenti. Il punto di vista dell'osservatore, pur modificando lo spazio, non modifica il rapporto delle singole strutture componenti il treno. Se il treno è una circonferenza geometrica allora sì che tutti i punti sono in essa perfettamente equivalenti, ma in questo caso puramente astratto, possiamo ammettere che la conferenza si disintegri simultaneamente nei sui punti.

Citazionein ogni caso io non saprei come calcolare gli effetti di un campo gravitazionale del genere...

Nemmeno io, ci vorrebbe un esperto del calcolo delle formule della relatività generale.

CitazioneC'è anche da dire che è solo il viaggiatore sul treno a sperimentare l'effetto gravitazionale (equivalente), secondo il suo punto di vista. Ma per l'osservatore al centro della sfera di Dyson, non esiste alcuna gravità, esiste solo un oggetto che si muove di moto circolare e soggetto ad accelerazione.

Sì, il campo lo sperimenta il viaggiatore con i suoi sensi, ma c'è anche per l'osservatore come entità fisicamente descrivibile e reale, se il treno si muove sul binario è comunque soggetto alla forza centrifuga inerziale.

CitazioneInfine c'è un'ulteriore considerazione da fare. Mettiamoci nei panni di un viaggiatore sul treno, il quale ha tutto il diritto di descrivere ciò che accade secondo il suo sistema di riferimento. Egli vede le rotaie scorrere sotto di sé, mentre sente di essere soggetto ad un'ordinaria forza gravitazionale (equivalente).
Ora, per quale motivo, dal suo punto di vista, il treno su cui sta viaggiando dovrebbe disintegrarsi?
Non c'è alcun motivo, dal suo punto di vista.

In realtà c'è, perché proprio dal suo punto di vista il viaggiatore non vede il treno muoversi, il treno per lui è fermo ed è presente una certa forza di gravità, mentre è il binario sotto che si muove a una velocità relativisticamente significativa. Per lui quindi è il binario che ruotando si contrae e contraendosi causa la disintegrazione del treno fermo su di esso. Alla fine il viaggiatore e l'osservatore vedono lo stesso fenomeno, la disintegrazione del treno, anche se lo spiegano in termini diversi

CitazioneIl paradosso di Ehrenfest era stato formulato proprio suggerendo l'idea paradossale che il disco si sarebbe frantumato, arrivando ad una certa velocità. Sono passati più di cent'anni e gli scienziati ne stanno ancora discutendo, il che significa che non è proprio tutto così chiaro...

Sono d'accordo che in realtà la cosa non sia così semplice da risolvere.

Maral, il treno non può disintegrarsi simultaneamente in tutti i suoi punti. Pensa a cosa significa disintegrarsi: significa che ogni segmento di lunghezza infinitesimale dovrebbe distaccarsi da quelli adiacenti. Ma come fa a distaccarsene se la lunghezza totale di tutti i segmenti infinitesimali è comunque fissa, cioè pari alla lunghezza delle rotaie (= lunghezza totale del treno)? L'unico modo per avere una contrazione complessiva del treno è che il treno formi un circolo di diametro inferiore, ma questo significherebbe avere il treno distaccato dalle rotaie, un po' più all'interno della sfera di Dyson. Assurdo.

Inoltre, dev'essere chiaro che la contrazione di Lorentz non dev'essere intesa come l'effetto di una forza che insorge all'interno della materia e la comprime, fino al limite a disgregarla. Non è questo che dice la relatività. La relatività ci dice che è lo spazio-tempo a deformarsi insieme alla materia che "ospita", ma senza alcuna considerazione per le caratteristiche della materia e senza che insorgano tensioni interne aggiuntive di alcun genere nella materia stessa. Faccio un esempio: la contrazione di Lorentz è un po' come osservare un oggetto distante con una lente deformante che "schiaccia": mi aspetto forse che l'oggetto si schiacci realmente?

Infine, riguardo al rovesciamento di situazione, mettendosi nei panni del viaggiatore... Tu dici che è la rotaia a comprimersi schiacciando il treno. Non può essere, per lo stesso motivo già detto per il treno. La rotaia potrebbe comprimersi solo se potesse ridurre il suo diametro, ma non può farlo, perché la contrazione di Lorentz non si applica in direzione del raggio, ma solo nella direzione di moto. E restando fisso il diametro, resta fissa la rotaia, e resta integro il treno.

Da quel che ho letto, sono state date molte interpretazioni di questo paradosso, e nei primi tentativi di soluzione si parlava appunto di disintegrazione, ma mi pare che poi quest'idea sia stata abbandonata per altre soluzioni più esotiche (a abbastanza incerte...), proprio perché la disintegrazione non può sussistere.
Secondo me la soluzione, se esiste, dev'essere qualcosa del genere: la "matematica" della relatività deve implicare l'insorgenza di un effetto uguale e contrario alla contrazione di Lorentz, in modo tale che il treno resta di lunghezza invariata e nulla succede...

Non potrebbe essere che, superata una certa velocità limite, allorché la contrazione relativistica "si manifesta", diviene concretamente efficace, contraendosi la lunghezza del treno questo si spezza e dunque il meccanismo che lo fa muovere si inceppa e suoi frammenti si fermano (tornando a giustapporsi reciprocamente ma senza ripristinare l' integrità funzionale del treno -come se tagliassimo a pezzi un animale vivo e poi li riaccostassimo gli uni agli altri- che dunque non ripartirebbe (sia chiaro: senza per questo dare la ben che minima conferma a preteso "olismo"!).
Per la verità bisognerebbe a questo proposito stabilire (e la mia ignoranza me lo impedisce) come vada intesa la contrazione relativistica: se come riavvicinamento nello spazio "vuoto" dei suoi "contenuti materiali" (e in questo caso credo che varrebbe questo ragionamento di cui sopra); oppure se come proporzionale rimpicciolimento (ma rispetto a che cosa?) del "tutto materiale" (spazio "vuoto" e suoi "contenuti materiali"); e in questo caso non varrebbe questo ragionamento di cui sopra, ma bisognerebbe piuttosto pensare a una "velocità soglia" del treno raggiunta la quale si manifesterebbe una "soglia di contrazione apprezzabile" tale che la "causalità fisica", gli "effetti fisici delle leggi di natura" tendenti a determinare l' ulteriore rimpicciolimento del treno si troverebbe ad essere contrastata dalla rigidità dei binari, e allora o questa impedirebbe l' ulteriore accelerazione, oppure i binari verrebbereo spezzati in vari punti determinando la fermata del treno- 


Ma il moto del treno solo approssimativamente (in realtà erroneamente) potrebbe essere considerato inerziale (rettilineo uniforme); in realtà sarebbe accelerato (come sentirebbero, confortevolmente, anche i passeggeri, che riacquisterebbero uno "pseudopeso terrestre" per accelerazione centripeta; ovviamente disponendosi con la testa verso il sole e i piedi in senso opposto), e dunque il caso dovrebbe rientrare (come? In che termini?) nella relatività generale e non in quella speciale.


Considerazione epistemologica a mio parere veramente importante. 
Credo comunque che il paradosso posto in eidenza da questo interessante esperimento mentale sia tale da mettere in dubbio la teoria della relatività: o lo si risolve, oppure bisogna necessariamente concludere che, malgrado le conferme empiriche finora ottenute, la teoria della relatività é almeno in qualche misura falsa (o forse sarebbe più corretto dire assurda?) e necessita di essere profondamente corretta o magari interamente sostituita da un' altra (di regola le teorie scientifiche falsificate qualche conferma empirica nel corso della loro "vita" più o meno breve la ottengono; é il caso per esempio della teoria tolemaica, che ha consentito l' esatta previsione di molte eclissi e la costruzione di calendari efficacissimi per le attività produttive umane, soprattutto agricole e di navigazione; ma basta un' osservazione "pertinente" e diligentemente confermata a falsificarle).

Citazione di: sgiombo il 04 Giugno 2016, 10:32:37 AM
Non potrebbe essere che, superata una certa velocità limite, allorché la contrazione relativistica "si manifesta", diviene concretamente efficace, contraendosi la lunghezza del treno questo si spezza e dunque il meccanismo che lo fa muovere si inceppa e suoi frammenti si fermano (tornando a giustapporsi reciprocamente ma senza ripristinare l' integrità funzionale del treno -come se tagliassimo a pezzi un animale vivo e poi li riaccostassimo gli uni agli altri- che dunque non ripartirebbe (sia chiaro: senza per questo dare la ben che minima conferma a preteso "olismo"!).
Per la verità bisognerebbe a questo proposito stabilire (e la mia ignoranza me lo impedisce) come vada intesa la contrazione relativistica: se come riavvicinamento nello spazio "vuoto" dei suoi "contenuti materiali" (e in questo caso credo che varrebbe questo ragionamento di cui sopra); oppure se come proporzionale rimpicciolimento (ma rispetto a che cosa?) del "tutto materiale" (spazio "vuoto" e suoi "contenuti materiali"); e in questo caso non varrebbe questo ragionamento di cui sopra, ma bisognerebbe piuttosto pensare a una "velocità soglia" del treno raggiunta la quale si manifesterebbe una "soglia di contrazione apprezzabile" tale che la "causalità fisica", gli "effetti fisici delle leggi di natura" tendenti a determinare l' ulteriore rimpicciolimento del treno si troverebbe ad essere contrastata dalla rigidità dei binari, e allora o questa impedirebbe l' ulteriore accelerazione, oppure i binari verrebbereo spezzati in vari punti determinando la fermata del treno-

Ma il moto del treno solo approssimativamente (in realtà erroneamente) potrebbe essere considerato inerziale (rettilineo uniforme); in realtà sarebbe accelerato (come sentirebbero, confortevolmente, anche i passeggeri, che riacquisterebbero uno "pseudopeso terrestre" per accelerazione centripeta; ovviamente disponendosi con la testa verso il sole e i piedi in senso opposto), e dunque il caso dovrebbe rientrare (come? In che termini?) nella relatività generale e non in quella speciale.

Considerazione epistemologica a mio parere veramente importante.
Credo comunque che il paradosso posto in eidenza da questo interessante esperimento mentale sia tale da mettere in dubbio la teoria della relatività: o lo si risolve, oppure bisogna necessariamente concludere che, malgrado le conferme empiriche finora ottenute, la teoria della relatività é almeno in qualche misura falsa (o forse sarebbe più corretto dire assurda?) e necessita di essere profondamente corretta o magari interamente sostituita da un' altra (di regola le teorie scientifiche falsificate qualche conferma empirica nel corso della loro "vita" più o meno breve la ottengono; é il caso per esempio della teoria tolemaica, che ha consentito l' esatta previsione di molte eclissi e la costruzione di calendari efficacissimi per le attività produttive umane, soprattutto agricole e di navigazione; ma basta un' osservazione "pertinente" e diligentemente confermata a falsificarle).

Grazie per il contributo a questa discussione, che languiva...
Lo scopo infatti, come dici, è quello di mettere in luce alcune problematiche nella teoria della relatività, che se irrisolte lascerebbero seri dubbi sulla sua validità generale.
Un altro effetto paradossale che potremo discutere è l'effetto Sagnac, che avviene sempre in un moto circolare.

Tornando al nostro caso, in effetti la contrazione relativistica agisce sullo spazio-tempo, e dunque l'accorciamento riguarda tanto il "pieno" quanto il "vuoto", quindi ci troveremmo nella seconda delle eventualità da te citate; anche se si fa fatica a capire quale dovrebbe essere la velocità "soglia" oltre la quale si manifesterebbero effetti apprezzabili. Comunque siamo giustamente, come dici, nell'ambito della relatività generale, anche se non mi risulta che da ciò derivino soluzioni al paradosso.

A complicare le cose resta poi sempre il problema del rovesciamento dei punti di vista: per l'osservatore a terra, è il treno a restringersi, mentre per l'osservatore sul treno, sono i binari a restringersi... In altri termini, ciascuno dovrebbe osservare il rovescio di ciò che vede l'altro. Impossibile, chiaramente.

L'unica soluzione è che in qualche modo non accada nulla, cioè che insorga un effetto esattamente uguale e contrario all'accorciamento, tale da lasciare il treno così com'è... ma non so da dove possa sorgere tale effetto.

Citazione di: Loris Bagnara il 04 Giugno 2016, 14:39:24 PM

Citazione di: sgiombo il 04 Giugno 2016, 10:32:37 AM
Non potrebbe essere che, superata una certa velocità limite, allorché la contrazione relativistica "si manifesta", diviene concretamente efficace, contraendosi la lunghezza del treno questo si spezza e dunque il meccanismo che lo fa muovere si inceppa e suoi frammenti si fermano (tornando a giustapporsi reciprocamente ma senza ripristinare l' integrità funzionale del treno -come se tagliassimo a pezzi un animale vivo e poi li riaccostassimo gli uni agli altri- che dunque non ripartirebbe (sia chiaro: senza per questo dare la ben che minima conferma a preteso "olismo"!).
Per la verità bisognerebbe a questo proposito stabilire (e la mia ignoranza me lo impedisce) come vada intesa la contrazione relativistica: se come riavvicinamento nello spazio "vuoto" dei suoi "contenuti materiali" (e in questo caso credo che varrebbe questo ragionamento di cui sopra); oppure se come proporzionale rimpicciolimento (ma rispetto a che cosa?) del "tutto materiale" (spazio "vuoto" e suoi "contenuti materiali"); e in questo caso non varrebbe questo ragionamento di cui sopra, ma bisognerebbe piuttosto pensare a una "velocità soglia" del treno raggiunta la quale si manifesterebbe una "soglia di contrazione apprezzabile" tale che la "causalità fisica", gli "effetti fisici delle leggi di natura" tendenti a determinare l' ulteriore rimpicciolimento del treno si troverebbe ad essere contrastata dalla rigidità dei binari, e allora o questa impedirebbe l' ulteriore accelerazione, oppure i binari verrebbereo spezzati in vari punti determinando la fermata del treno-

Ma il moto del treno solo approssimativamente (in realtà erroneamente) potrebbe essere considerato inerziale (rettilineo uniforme); in realtà sarebbe accelerato (come sentirebbero, confortevolmente, anche i passeggeri, che riacquisterebbero uno "pseudopeso terrestre" per accelerazione centripeta; ovviamente disponendosi con la testa verso il sole e i piedi in senso opposto), e dunque il caso dovrebbe rientrare (come? In che termini?) nella relatività generale e non in quella speciale.

Considerazione epistemologica a mio parere veramente importante.
Credo comunque che il paradosso posto in eidenza da questo interessante esperimento mentale sia tale da mettere in dubbio la teoria della relatività: o lo si risolve, oppure bisogna necessariamente concludere che, malgrado le conferme empiriche finora ottenute, la teoria della relatività é almeno in qualche misura falsa (o forse sarebbe più corretto dire assurda?) e necessita di essere profondamente corretta o magari interamente sostituita da un' altra (di regola le teorie scientifiche falsificate qualche conferma empirica nel corso della loro "vita" più o meno breve la ottengono; é il caso per esempio della teoria tolemaica, che ha consentito l' esatta previsione di molte eclissi e la costruzione di calendari efficacissimi per le attività produttive umane, soprattutto agricole e di navigazione; ma basta un' osservazione "pertinente" e diligentemente confermata a falsificarle).

Grazie per il contributo a questa discussione, che languiva...
Lo scopo infatti, come dici, è quello di mettere in luce alcune problematiche nella teoria della relatività, che se irrisolte lascerebbero seri dubbi sulla sua validità generale.
Un altro effetto paradossale che potremo discutere è l'effetto Sagnac, che avviene sempre in un moto circolare.

Tornando al nostro caso, in effetti la contrazione relativistica agisce sullo spazio-tempo, e dunque l'accorciamento riguarda tanto il "pieno" quanto il "vuoto", quindi ci troveremmo nella seconda delle eventualità da te citate; anche se si fa fatica a capire quale dovrebbe essere la velocità "soglia" oltre la quale si manifesterebbero effetti apprezzabili. Comunque siamo giustamente, come dici, nell'ambito della relatività generale, anche se non mi risulta che da ciò derivino soluzioni al paradosso.

A complicare le cose resta poi sempre il problema del rovesciamento dei punti di vista: per l'osservatore a terra, è il treno a restringersi, mentre per l'osservatore sul treno, sono i binari a restringersi... In altri termini, ciascuno dovrebbe osservare il rovescio di ciò che vede l'altro. Impossibile, chiaramente.

L'unica soluzione è che in qualche modo non accada nulla, cioè che insorga un effetto esattamente uguale e contrario all'accorciamento, tale da lasciare il treno così com'è... ma non so da dove possa sorgere tale effetto.

CitazioneEffettivamente il moto é relativo (indipendentemente dalla teoria della relatività; ed altrettanto relativa é la grandezza) e dunque dire che il corpo A si muove a velocità sufficientemente prossime a quella della luce rispetto al corpo B (e al resto dell' universo) equivale esattamente, perfettamente a dire a dire che il corpo B (e il resto dell' universo) si muove (in senso contrario) rispetto al corpo A.

E allora come potrebbe "ciascuno di essi accorciarsi rispetto all' altro"? Che senso potrebbero avere queste parole?

Si potrebbe  dire che il "sistema minore" in moto relativamente al "sistema maggiore" (comprendente il resto dell' universo) si rimpicciolisce rispetto a quest' ultimo (= quest' ultimo si ingrandisce rispetto al sistema minore: queste due frasi significano esattamente la stessa identica cosa non essendoci "terzi" sistemi di riferimento né per il loro moto né per la loro grandezza)?

Ma senza accelerazioni, non avendosi applicazioni di forze, (nel caso delle condizioni inerziali, di cui tratta la relatività speciale) non si può stabilire né se il sistema A sia fermo o non invece in moto rettilineo uniforme rispetto al resto dell' universo, né se lo sia il sistema B.

Ma invero per il terzo principio di Newton (che si potrebbe denominare "principio di relatività dell' accelerazione"; e contro il principio di Mach!), poiché ogni azione su di un sistema cui fosse applicata una forza é inevitabilmente accompagnata da un' azione  uguale e contraria (le rispettive accelerazioni essendo inversamente proporzionali alle  masse dei rispettivi sistemi nei quali accadrebbero, fra i quali fosse applicata la forza), perfino nel caso di moto accelerato non sarebbe possibile stabilire quale dei due sistemi fra i quali agisse la forza sarebbe d considerare in quiete (fermo) rispetto al "resto dell' universo".
Anzi, nessuno dei due potrebbe esserlo, in quanto entrambi sarebbero accelerati: nemmeno quello più grande che per il secondo principio subirebbe l' accelerazione minore (per grande che esso fosse e dunque per piccola -ma comunque =/= zero- che fosse la sua accelerazione).

E anche se si volesse fare una verifica empirica, affinché si potesse stabilire sensatamente quale dei due sistemi si rimpicciolisse rispetto all' altro occorrerebbe un terzo sistema, "neutro" e assunto arbitrariamente come di grandezza costante, come riferimento: quello che mutasse estensione rispetto a quest' ultimo sarebbe assunto come effettivamente cambiato. Ma quale potrebbe essere questo "terzo sistema"? Il resto dell' universo = l' universo - (A + B)?

Tornando al principio di Mach, credo che non valga l' asserzione di quest' ultimo secondo la quale nel caso del moto rotatorio di un secchio pieno d' acqua sarebbe possibile discernere se è il secchio stesso a muoversi (girare), qualora l' acqua tendesse a salire lungo la sua parete per la forza centrifuga, o tutto il resto dell' universo a muoversi (a ruotare in senso opposto), qualora la superficie dell' acqua restasse orizzontale.
Mach dimentica che, perché ci sia rotazione (quindi accelerazione angolare), deve agire una forza, e che questa forza agisce in senso opposto fra due sistemi: il secchio e la terra (nella quale si trova il secchio, magari su di un tavolo, in un edificio ancorato appunto al pianeta). Se sul secchio l' accelerazione è immediatamente, palesemente sensibile, e quindi lo è anche la sua immediata conseguenza sulla disposizione dell' acqua che contiene, tuttavia anche la terra, per quanto impercettibilmente a causa della sua massa enormemente maggiore, subisce un' accelerazione in senso opposto: (contro Mach) non è quindi possibile,  a considerare le cose con il dovuto rigore, stabilire se è il secchio a girare, con l' acqua che risale lungo le sue pareti, oppure se è la terra a girare in senso opposto, per quanto con effetti inerziali difficilmente percettibili in quanto nel suo caso la stessa intensità della forza che fra i due sistemi agisce in senso opposto si applica ad (va divisa per) una massa enormemente maggiore.
Se l' acqua risale lungo le pareti del secchio, allora necessariamente anche sulla terra si verificheranno effetti inerziali: per quanto impercettibilmente, le fronde degli alberi saranno spostate per inerzia, così come l' aria dell' atmosfera e l' acqua dei mari (sempre per distanze difficilmente percettibili -ma reali!- a causa della esiguità dell' accelerazione esercitata dalla medesima forza ma su di una massa enormemente maggiore); per non parlare dell' eventuale tavolo sul quale fosse posto il secchio!. Nessuno potrebbe pertanto in alcun modo stabilire se è il secchio che gira rispetto alla terra oppure se è la terra che gira rispetto al secchio: la loro accelerazione angolare è quindi del tutto, irriducibilmente relativa (ciascuno dei due sistemi -resto della terra da una parte e secchio dall' altra- accelera relativamente all' altro)!

Citazione

Devo correggermi su quanto affermato alla fine del precedente intervento.
Questo non é propriamente un "esperimento mentale puro", dal momento che esistono probabilmente impedimenti fisici alla realizzazione delle ferrovia e del treno di cui parla, e dunque é esagerata la mia pretesa che se non fosse risolto il paradosso la teoria della relatività dovrebbe essere profondamente corretta o abbandonata: la soluzione  del pradosso potrebbe probabilmente benissimo stare semplicemente nella dimostrazione dell' irrealizzabilità di simili marchingegni.

Riapro questa vecchia discussione per evidenziare che:

1) Se si ammette valida la RS (relativita' ristretta) la circonferenza composta dall'ipotetico treno, vista da un osservatore solidale con il centro, sarebbe contratta. Invece il raggio rimane costante (non soggetto a fenomeni relativistici) in quanto il raggio e' sempre perpendicolare al moto di uno qualsiasi dei vagoni. Pertanto la circonferenza non e' pari a 2*pi*R e la geometria euclidea non e' piu' valida.

2) Nel dominio della RS lo spazio-tempo e' "piatto" pertanto questo paradosso non puo' essere risolto semplicemente ricorrendo alla cinematica relativistica, ma e' necessario utilizzare geometrie non euclidee e passare alla relativita' generale (RG) per includere gli effetti delle forze centripeta e centrifuga.

3) La forza centripeta che vincola il treno nel suo moto circolare e' una forza centrale che, vista con gli occhi della RG, e' equivalente ad un campo gravitazionale non rotante. Scegliendo nella RG una metrica dello spazio-tempo curvo che tenga conto della forza centripeta e centrifuga si puo' dimostrare che, rispetto ad un osservatore fisso al centro, la circonferenza e' soggetta ad un contrazione (di Lorentz) e nello tesso tempo ad una dilatazione (legata alla geometria) di pari entita', e l'effetto complessivo netto e' nullo.

Per una dimostrazione analitica si puo' consultare il seguente lavoro: https://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers-Relativity%20Theory/Download/1498

Citazione di: Eretiko il 18 Gennaio 2017, 17:51:09 PM
Riapro questa vecchia discussione per evidenziare che:

1) Se si ammette valida la RS (relativita' ristretta) la circonferenza composta dall'ipotetico treno, vista da un osservatore solidale con il centro, sarebbe contratta. Invece il raggio rimane costante (non soggetto a fenomeni relativistici) in quanto il raggio e' sempre perpendicolare al moto di uno qualsiasi dei vagoni. Pertanto la circonferenza non e' pari a 2*pi*R e la geometria euclidea non e' piu' valida.

2) Nel dominio della RS lo spazio-tempo e' "piatto" pertanto questo paradosso non puo' essere risolto semplicemente ricorrendo alla cinematica relativistica, ma e' necessario utilizzare geometrie non euclidee e passare alla relativita' generale (RG) per includere gli effetti delle forze centripeta e centrifuga.

3) La forza centripeta che vincola il treno nel suo moto circolare e' una forza centrale che, vista con gli occhi della RG, e' equivalente ad un campo gravitazionale non rotante. Scegliendo nella RG una metrica dello spazio-tempo curvo che tenga conto della forza centripeta e centrifuga si puo' dimostrare che, rispetto ad un osservatore fisso al centro, la circonferenza e' soggetta ad un contrazione (di Lorentz) e nello tesso tempo ad una dilatazione (legata alla geometria) di pari entita', e l'effetto complessivo netto e' nullo.

Per una dimostrazione analitica si puo' consultare il seguente lavoro: https://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers-Relativity%20Theory/Download/1498

Mi sono accorto solo ora di questa risposta, grazie del contributo, Eretiko.

Ho letto l'abstract dell'articolo, e mi ha subito colpito il fatto che l'autore parli di una "possibile soluzione"... il che la dice lunga...
Ci dice chiaramente che a più di cento anni dalla sua formulazione, stiamo facendo ancora delle ipotesi su possibili soluzioni del paradosso.
In altre parole, è chiaro che NON sappiamo ancora come si risolva il paradosso.

In particolare, non mi convince il tuo punto 3.
Perché dovrei introdurre un'altra metrica? L'unica metrica che mi serve è quella solidale con me e il binario, e questa è "ferma".
Non c'è bisogno di spazi-tempi curvi per descrivere le forze centripete e centrifughe, mi pare; tanto più che nel mio esempio la forza è pari a 'g', dunque abbastanza modesta.
Devo introdurre un'altra metrica solo perché c'è un treno che si muove un po' troppo velocemente?
E se volessi descrivere il volo di un uccello che sfiora il treno mentre gira sul suo binario, non posso farlo con la stessa metrica, ma devo usare due metriche differenti, una per il treno e una per l'uccello?
No, non mi convince...

Buongiorno a tutti. Sono un nuovo iscritto e lasciatemi dire è raro trovare forum di discussione su argomenti di questo tipo. Vorrei dire la mia sul paradosso di Eherenfest. Ho letto l'articolo riportato nell'ultimo post e lo trovo convincente. Ci sono due questioni separate da considerare:
1) l'effetto di contrazione delle lunghezze dovuto allo stato di moto relativo (Relatività Speciale) dovuto alle trasformazioni di Lorentz nello spazio di Minkowsky
2) gli effetti di curvatura dello spazio originati dalla rotazione nel riferimento di quiete, dovuti alla Relatività Generale. 

Effetto 1) seguendo Einstein (! se fosse possibile ....), dividiamo la circonferenza in N tanti piccoli segmenti lineari ad essa tangenti tali che C = N*L e mettiamo su ciascuno un orologio, che saranno tutti in quiete e sincronizzati nel riferimento proprio. Allora, a ciascun segmento applichiamo la relatività speciale.  Visto dal riferimento in moto relativo (non rotante) ogni segmento subirà la contrazione di Lorentz. Saremmo portati a pensare che la circonferenza C' =2*pi*R > n*L'. Qui c'è l'errore. La relazione tra circonferenza e raggio è valida in uno spazio euclideo. E questo ci porta all'effetto 2)

Effetto 2) in virtù del principio di equivalenza, la forza centrifuga equivale ad un campo gravitazionale. Pertanto, l'osservatore rotante è in caduta libera e sperimenta la situazione di forza nulla, nel senso della relatività generale. Riguardo agli orologi posti sulle sbarrette, essi restano sincronizzati anche nello spazio curvo, poichè sperimentano lo stesso "potenziale" (la curvatura rallenta il tempo in RG). Nell'equazione del moto (geodetica) le forze inerziali appaiono come curvatura dello spazio nè più nè meno di un campo gravitazionale. Quindi, nel riferimento di quiete appare un tensore metrico non euclideo con componente spaziale e temporale non nulla, dipendente dal "potenziale" che altro non è che il "potenziale centrifugo". Questo accade anche se si utilizzano coordinate rotanti: la metrica espressa in coordinate rotanti acquista componenti non unitarie e diventa non euclidea. Ma questa è proprio la sostanza della Relatività Generale: campi gravitazionali, rotazioni e forze centrifughe sono equivalenti e generano spazi curvi. La formula della metrica riportata nell'articolo dice proprio questo: è una metrica tipo  Schwarzschild non euclidea.  Pertanto, lo spazio è curvo  e di conseguenza C' non è uguale a 2*pi*R.
Lo "stretching" dello spazio, dovuto alla curvatura, produce una riduzione della lunghezza nel sistema di quite. Nel caso specifico, poichè la curvatura e la contrazione sono dovute alla stessa causa (rotazione) i due effetti sono opposti ed uguali.  Pertanto la circonferenza vista dall'osservatore non rotante è invariata. Il discorso potrebbe applicarsi alle singole sbarrette dell'esperimento mentale di Einstein. A me sembra tornare.

Se ci pensiamo bene, anche lo spazio di Minkowsky non è proprio euclideo: il prodotto scalare che definisce la distanza è diverso da quello dello spazio euclideo: ds²=(cdt)²-(dx²+dy²+dz²) evidentemente diverso dal "teorema di pitagora": ds²=(dx²+dy²+dz²) !! 

Scusate, piccolo errore

Lo "stretching" dello spazio, dovuto alla curvatura, produce una DILATAZIONE della lunghezza nel sistema di quite. Nel caso specifico, poichè la curvatura e la contrazione sono dovute alla stessa causa (rotazione) i due effetti sono opposti ed uguali.  Pertanto la circonferenza vista dall'osservatore non rotante è invariata. Il discorso potrebbe applicarsi alle singole sbarrette dell'esperimento mentale di Einstein. A me sembra tornare.