LOGOS

Qual'è quell'insieme che è finito ma non limitato ?

Ciao Iano. :)
Al riguardo, secondo me, occorre previamente tenere conto della seguente differenza:
.
a) INSIEME LIMITATO
Un insieme si considera "limitato" se è contenuto tra due estremi che, appunto, lo limitano (da "limes" = "confine").
.
b) INSIEME FINITO
Un insieme si considera invece "finito", se contiene un numero finito di elementi; oppure non ne contiene nessuno.
***
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***
Per cui, credo che un insieme "finito" ma "non limitato" sia un insieme "vuoto"!
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Un cordiale saluto! :)
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Citazione di: Eutidemo il 24 Settembre 2023, 07:05:50 AMCiao Iano. :)
Al riguardo, secondo me, occorre previamente tenere conto della seguente differenza:
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a) INSIEME LIMITATO
Un insieme si considera "limitato" se è contenuto tra due estremi che, appunto, lo limitano (da "limes" = "confine").
.
b) INSIEME FINITO
Un insieme si considera invece "finito", se contiene un numero finito di elementi; oppure non ne contiene nessuno.
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Per cui, credo che un insieme "finito" ma "non limitato" sia un insieme "vuoto"!
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Un cordiale saluto! :)
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Tuttavia, Eutidemo, qui si aprono due sentieri: il sentiero della notte e quello del giorno.

Cioè se l'infinito esiste (sentiero della notte) oppure se esiste solo l'illimitato (sentiero del giorno).
L'umanità ha imboccato decisamente il sentiero della notte, convinta della esistenza dell'infinito al punto da trattarlo come una cosa (vedi Cantor).

Tuttavia il sentiero del giorno ci dice che l'infinito non esiste.

I numeri naturali sono un insieme illimitato, ma non infinito.

L' insieme infinito non lo possiamo elaborare, perché non esiste, l'illimitato sì. Ma solo in quanto finito, pur senza limiti.

Il concetto di universo comprende tutto ciò che esiste fisicamente, quindi é un insieme non limitato. Ora la questione é se l'universo sia finito o infinito. 
Se supponiamo che l'universo sia finito allora certamente risponde alla domanda di iano. 

Citazione di: iano il 24 Settembre 2023, 03:48:27 AMQual'è quell'insieme che è finito ma non limitato ?

Penso che un esempio possa essere l'insieme dei lemmi di una lingua. Buona giornata 

Citazione di: daniele22 il 24 Settembre 2023, 09:02:06 AMPenso che un esempio possa essere l'insieme dei lemmi di una lingua. Buona giornata

Ciao Daniele.
Sospetto che sia una buona risposta.
Ma è il termine ''lemma'' che mi confonde.

Citazione di: anthonyi il 24 Settembre 2023, 08:48:17 AMIl concetto di universo comprende tutto ciò che esiste fisicamente, quindi é un insieme non limitato. 

Mi sembra una frase contraddittoria, o forse solo incompleta.

Io propongo l'insieme di tutti gli insiemi finiti pensati.
Anche se mi rendo conto che sia un idea criticabile.
Più in generale vorrei spostare l'attenzione dall'esistenza problematica dell'infinito, al perchè lo pensiamo, perchè non v'è dubbio che almeno l'idea di infinito esiste.
Un motivo per cui lo pensiamo potrebbe essere che con l'idea di infinito traduciamo il non trovare un limite alle cose ideali che non sia superabile, e forse questo voleva dire Daniele coi suoi ''lemmi''
Naturalmente in tal modo usciamo dal tipo più problematico di infinito, quello attuale, considerando un finito sempre superabile, quello delle idee, cioè un finito che può crescere nel tempo, perchè nulla limita la sua possibilità di crescita.
Fra ciò che è finito e infinito attualmente, si insinua quindi ciò che cresce in modo potenzialmente indefinito, e quindi ciò che non è definibile attualmente in modo non contraddittorio, perchè nel momento stesso in cui definiamo l'insieme di tutti i pensieri pensati, ne stiamo già aggiungendo uno nuovo, che è il pensiero dell'insieme di tutti i pensieri pensati.
La definizione stessa dell'insieme contraddice l'esistenza di quell'insieme, essendo elemento di quell'insieme.
Mi chiedo allora se l'idea di infinito non sia figlia di questa ''indefinibilà del finito'', la cui definibilità è stata data forse troppo frettolosamente per scontata.
L'idea di infinito in sostanza nasce da una definizione perfettibile del finito.
Quello che Cantor ha dimostrato non è che l'infinito esiste, né aveva bisogno di dimostrare che esiste l'idea di infinito, ma dimostra che  esistono  diverse idee di infinito e che è possibile mettere ordine fra queste diverse idee a causa della loro affinità.
L'esistenza o meno dell'infinito attuale è un falso problema che diventa però indirettamente un grosso problema se ci ''limita psicologicamente'' nell'applicare le nostre idee alla realtà, come ad esempio l'idea di infinito.
Più in generale l'errore sta credere che le nostre idee possano combaciare con l'universo, pur essendone separate.
Ma se riuniamo ciò che Platone ha diviso, molti problemi, come quello dell'infinito, si ricompongono.
Questa riammissione delle idee nel mondo reale mi sembra una lunga storia non ancora conclusa,  che ci riserverà ancora molte sorprese.
Non sono neanche certo in effetti che tutti abbiano coscienza del corso di questo processo.
Io stesso l'ho acquisita proprio in questo momento....e questo è il bello della diretta. Il bello di questo forum. :))

Citazione di: iano il 24 Settembre 2023, 09:53:26 AMCiao Daniele.
Sospetto che sia una buona risposta.
Ma è il termine ''lemma'' che mi confonde.

Ciao, si potrebbe dire l'insieme dei sostantivi o dei verbi all'interno della lingua. Sempre facendo intervenire il fattore tempo come componente che limita, anche l'insieme delle cellule di un cancro in un determinato istante 

Citazione di: Eutidemo il 24 Settembre 2023, 07:05:50 AMCiao Iano. :)
Al riguardo, secondo me, occorre previamente tenere conto della seguente differenza:
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a) INSIEME LIMITATO
Un insieme si considera "limitato" se è contenuto tra due estremi che, appunto, lo limitano (da "limes" = "confine").
.
b) INSIEME FINITO
Un insieme si considera invece "finito", se contiene un numero finito di elementi; oppure non ne contiene nessuno.
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Per cui, credo che un insieme "finito" ma "non limitato" sia un insieme "vuoto"!
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Un cordiale saluto! :)
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Un cordiale saluto ate Eutidemo. :)

Come dire  che... la soluzione è che non esiste soluzione?
Mi sembra evidente che tu parli di 2 estremi perchè stai immaginando, senza dircelo, un segmento limitato dai suoi due estremi.
Ma in generale un ''limes'' è una linea chiusa su se stessa, che però definisce ad un dato istante il contenuto, più che limitarlo, a meno che non si parli di un limite invalicabile.
Se il limite è valicabile esso invece definirà un contenuto che può variare nel tempo, un limite che definisce più che limitare.
Un finito che può variare senza cambiare la sua natura di finito.
Però quest'ultima frase, dal significato apparente ovvio , nasconde un insidia.
Se io aggiungo un elemento all'insieme ottengo un insieme da considerare ex novo, più che un insieme modificato, perchè chi si trova di fronte al ''nuovo'' insieme non lo percepirà come un insieme modificato, ma come un insieme e basta.
Per poterlo considerare un insieme modificato, ad esempio aumentato, bisogna introdurre la dimensione del tempo e un device di memoria.
L'insieme di tutti i pensieri pensati che io ho proposto come soluzione presuppone l'esistenza appunto di un Device di memoria che registra tutti i pensieri, e quindi come avevo predetto è un idea criticabile.

Ma ripeto, secondo me l'infinito  è un problema solo per chi crede che le idee, seppur separate dalla realtà, e quindi presenti in un mondo a parte, possano combaciare con la realtà. Essere le une l'ombra dell'altro o viceversa, perchè alla fine non importa tanto chi faccia ombra a chi, ma che vi sia una separazione.
Se questa separazione invece non c'è ogni problema sparisce.

Citazione di: daniele22 il 24 Settembre 2023, 10:25:07 AMCiao, si potrebbe dire l'insieme dei sostantivi o dei verbi all'interno della lingua. Sempre facendo intervenire il fattore tempo come componente che limita, anche l'insieme delle cellule di un cancro in un determinato istante

Si, sostantivi e verbi da cui possiamo anche astrarre il significato, sequenze di lettere, sostituibili quindi da cifre, alle quali non a caso preferiamo associare l'idea di infinito.
Ma che siano sequenze di lettere o di cifre, sembra esserci un limite pratico, un limite di sostenibilità, se non teorico, a sfornare sempre nuove sequenze, e la sostanza non cambia anche se usassimo il trucco di usare acronimi al posto delle parole.
Ma non si può negare che non esiste un limite teorico.
Un insieme finito non è limitato, se può accrescersi, ma a patto di mantenere un identità nel suo crescere.
Noi abbiamo sempre a che fare con insiemi finiti, però in genere la nostra idea di insieme finito è statica, mentre un insieme finito reale è dinamico, mutevole, e in qualche modo che solo intuisco, parlare di infinito è un modo di dare una carta di identità a questo insieme finito ma dinamico, che resta finito pur mutando.
Il processo di contare, che usiamo per contare ''fino all'infinito'', è una procedura finita reiteratile.
Le istruzioni per contare fino all'infinito sono finite.
Quello che ci dice quel genio di Cantor è che non è vero che ci sono diversi modi, diverse istruzioni , per tendere in diversi modi allo stesso infinito, e che siano perciò fra loro equivalenti.
Ci dice che occorrere dimostrare prima questa equivalenza, e lui dimostra ch non sempre questa equivalenza c'è.
Gli infiniti quindi sono potenzialmente , salvo dimostrare il contrario, tanti quante sono le istruzioni per giungervi.
Cantor ha dimostrato che non tutte le istruzioni si equivalgono e che quindi dobbiamo parlare di diversi tipi di infinito.
Gridare al nichilismo a causa di ciò è un atteggiamento che ha fatto le ragnatele ormai, e che rischia di porre un limite alle idee, e quindi alla nostra creatività.
Le idee, esprimibili in ''lemmi'' sono in numero finito ma non definibile, perchè non limitabili.

YouMath
https://www.youmath.it › Lezioni › Algebra › Insiemi
Che vuol dire insieme finito? - chiamiamo insieme finito un qualsiasi insieme che contiene un numero finito di elementi, oppure nessuno; chiamiamo insieme infinito un qualsiasi.
------------------------------------------------------------------------
''Chiamiamo insieme finito'' è diverso da ''Un insieme finito è...''
''Chiamiamo'' significa che poniamo una premessa che vale per ciò che segue, ma che potrebbe non valere in generale.
 Non puoi estrapolare definizioni coniate per un preciso contesto, generalizzandole.
Proviamo allora a ragionare dentro a questo preciso contesto, dove ''chiamiamo insieme finito...'' etc...
Prendiamo quindi un insieme A che vogliamo dimostrare esser finito.
Come procediamo?
Dobbiamo dimostrare che possiede un numero finito di elementi, e per dimostrarlo dobbiamo trovare quel numero.
Se riusciamo a tirare una linea attorno a quell'insieme, avendolo cosi limitato, abbiamo dimostrato che è finito?
No.
Abbiamo solo dimostrato  che è limitato.
Un segmento è un insieme di punti limitato, ma non finito.
I punti sono infiniti, ma questo non ci impedisce di contarli, anche se questo conto non giungerà mai alla fine.
Possiamo contarli non perchè sono in numero finito, ma perchè  possiedono un ordine.

Citazione di: Eutidemo il 25 Settembre 2023, 06:43:14 AM

***

Ora, il quesito iniziale era: "Qual'è quell'insieme che è finito ma non limitato?".

Per cui, a mio parere, secondo l'accezione comune dei termini, l'insieme che è "finito", ma non "limitato", è  "quell'insieme che non contiene nessun elemento"; ed infatti, in questo caso, non contenendo nessun elemento, non può aver dei "limiti", perchè non c'è niente da "delimitare".

***

Sarebbe come dire che lo zero non è un numero perchè con lo zero non si conta nulla.
Che tu abbia difficoltà ad accettare lo zero come numero lo sanno anche i muri di questo forum ormai ;D, ma come ho già scritto altrove il tuo è un ripercorrere in modo indipendente la storia della matematica, dove ci sono voluti millenni per accettare lo zero come numero.

Raccolgo lo spunto interessante di Eutidemo introducendo il concetto di ordine.
Quanto è importante l'ordine presente in un insieme di elementi finito o infinito?
Quando diciamo che a contare gli infiniti elementi di un insieme non arriveremo mai alla fine ciò è vero, ma stiamo anche dando per scontato ciò che scontato non è, e cioè che potremo comunque iniziare a contarli.
Magari forse scontato non è.
Suggerisco allora che potremo contare soltanto gli elementi di un insieme che possiedono almeno un ordine.
Viceversa si può dimostrare che se riusciamo a contarli allora possiedono almeno un ordine, perchè è quello in cui li abbiamo contati.

Dato per scontato che in un insieme di elementi gli elementi siano distinti fra loro, perchè lo sono in effetti per definizione, diamo anche per scontato di solito che questa condizione sia sufficiente per contarne il numero.
In effetti per contarli secondo me occorre una condizione aggiuntiva.
Posto che possiamo nominarli in quanto distinti, possiamo contarli solo dopo averli nominati, perchè questo è l'unico modo per garantire che non conteremo più volte lo stesso elemento, e nessuno ci impedisce di dare un nome nel mentre li contiamo; un nome che vale una spunta che ci garantisce di non ricontare lo stesso elemento.
Quindi se vogliamo contare gli elementi di un insieme infinito di elementi dovremo fare qualcosa del genere.
Ma come possiamo farlo se non possediamo già in partenza un numero infinito di diversi nomi?
Come si risolve questo problema secondo voi?

la soluzione secondo me è che l'infinito della nostra intuizione, di cui nulla riusciamo a dire, ha poco a che fare con l'infinito di cui riusciamo a dire, e di cui riusciamo a dire fino al punto di dare un nome a tutti i suoi infiniti elementi, senza inventare un nome per ogni elemento al momento di contarlo, anche se nel contare potrebbe succedere di nominare un elemento per la prima volta in assoluto, perchè siamo arrivati a contare dove prima nessuno era arrivato.

Conoscevamo già quel nome mai prima pronunciato.

Non riesco a pensare a un insieme infinito di elementi dei quali conosca il nome, anche senza averlo mai pronunciato, come a un insieme non ordinato.
E' un insieme ordinato perchè il nome vale come un segnaposto.
L'infinito della nostra intuizione può anche essere caotico, ma l'infinito di cui possiamo dire non ha nulla di caotico, ed anzi è ordinato non meno di qualunque insieme finito col quale possiamo entrare in tal confidenza da dare del tu ad ogni suo elemento chiamandolo per nome.
Se riusciamo a fare lo stesso con un insieme infinito, ed in effetti ci riusciamo, allora vuol dire che con esso intratteniamo la stessa confidenza.
Chi grida al nichilismo temendo per l'introduzione del concetto di infinito in una scienza dalla quale dipendono le nostre sorti, è rimasto all'infinito della sua intuizione, unico e solo.
Chi nel caos dell'infinito ha provato mettere ordine, riuscendovi, ha constatato che non c'è un modo unico e solo di farlo, come l'intuizione di infinito ci suggeriva, ma diversi e fra loro non necessariamente equivalenti, di modo che ha ritenuto poter distinguere un infinito da un altro e di poterli perciò confrontare, e per quello che ne sò, al momento almeno il numero di tutti questi insiemi infiniti è...finito.
Almeno quello... no? :))

Citazione di: Eutidemo il 25 Settembre 2023, 06:43:14 AM

Ciao a tutti gli intervenuti. :)

Le vostre considerazioni sono tutte interessantissime, in buona parte condivisibili e degne di pregio; però, per lo più, a me sembrano non rispondere direttamente al quesito iniziale di Iano: "Qual'è quell'insieme che è finito ma non limitato?"

L'unica risposta diretta a tale quesito, a me sembra che la fornisca solo Iano, quando scrive: "Io propongo l'insieme di tutti gli insiemi finiti pensati."; però, secondo me, alla stessa stregua si potrebbe proporre anche: "l'insieme di tutti gli insiemi limitati pensati".

Non vedo gran differenza!

***

Vediamo se troviamo differenze.
L'insieme di tutti gli insiemi finiti pensati è esso stesso un elemento dell'insieme, perchè è un insieme pensato.
Quanti elementi possiede l'insieme?
Dobbiamo contare l'insieme stesso oppure no?
Di un insieme finito presumiamo, in quanto finito, di poterne ben contare il numero di elementi, ma non è così a quanto pare.
Direi che da questa discussione è venuto fuori che la difficoltà nel contare gli elementi di un insieme non è necessariamente legata all'infinità dei suoi elementi.

Ma,l'insieme di tutti gli insiemi limitati pensati, fà parte esso stesso dell'insieme come elemento?
L'insieme di tutti gli insiemi limitati pensati è limitato?
Cosa significa esattamente pensare un insieme limitato?

Al concetto di ordine che ci ha fatto vedere quello di infinito da un particolare punto di vista, affiancherei quello di generalizzazione che è il pane quotidiano della matematica, la quale appunto procede per generalizzazioni.

Se io dico che una proprietà vale per ogni numero naturale N, non posso indicare ogni numero per cui vale la proprietà essendo infiniti.
Risolvo la questione generalizzando.
Adesso per dimostrare che una proprietà vale per ogni numero naturale mi basta dimostrare che vale ''per un solo numero'' N.
Mi sono espresso in un modo massimamente rozzo.
Ma espressa in termini più corretti quella che ho rozzamente illustrato viene detta ''induzione matematica''.
La sostanza però non cambia molto, perchè nell'induzione matematica i casi in cui occorre dimostrare che la proprietà vale non è 1, ma sono 2, o forse 3, non ricordo, ma comunque in un numero finito di casi.

(induzione matematica, principio di procedimento che permette di inferire che una certa proprietà P vale per ogni numero naturale una volta che sia stato dimostrato che a) essa vale per 0 o per 1, intesi come elementi iniziali e che, b) se essa vale per n, allora vale anche per il successore di n, cioè per n + 1, qualunque sia n ∈ N.)

Ma insomma non ci sono particolari problemi , per quanto l'induzione matematica rimanga oggetto di discussione, ad operare con insiemi infiniti, sia per effettuare conteggi sui suoi elementi che per dimostrare proprietà su di essi.

Certo tutto è discutibile (per fortuna aggiungo io), ma mi sembra che ad abortire l'idea di infinito si perda tanta ricchezza di pensiero.
Liberi di accettarla o meno, ma una volta accettatala si vede che poi anche l'idea di finito non è così scontata come sembra, e non basta la condizione di finitezza per poter contare, come non è sufficiente quella di infinitezza per impedirlo.

Citazione di: iano il 25 Settembre 2023, 14:14:20 PMSarebbe come dire che lo zero non è un numero perchè con lo zero non si conta nulla.
Che tu abbia difficoltà ad accettare lo zero come numero lo sanno anche i muri di questo forum ormai ;D, ma come ho già scritto altrove il tuo è un ripercorrere in modo indipendente la storia della matematica, dove ci sono voluti millenni per accettare lo zero come numero.

Ti sbagli alla grande; ed infatti io ho sempre considerato lo zero come un numero!
Dove diamine hai trovato scritto che io non lo considero un numero? :)

Citazione di: iano il 25 Settembre 2023, 16:54:00 PMVediamo se troviamo differenze.
L'insieme di tutti gli insiemi finiti pensati è esso stesso un elemento dell'insieme, perchè è un insieme pensato.
Quanti elementi possiede l'insieme?
Dobbiamo contare l'insieme stesso oppure no?
Di un insieme finito presumiamo, in quanto finito, di poterne ben contare il numero di elementi, ma non è così a quanto pare.
Direi che da questa discussione è venuto fuori che la difficoltà nel contare gli elementi di un insieme non è necessariamente legata all'infinità dei suoi elementi.

Ma,l'insieme di tutti gli insiemi limitati pensati, fà parte esso stesso dell'insieme come elemento?
L'insieme di tutti gli insiemi limitati pensati è limitato?
Cosa significa esattamente pensare un insieme limitato?

Hai ragione! :)
Questo ci riporta, in un certo senso, al famoso paradosso di Russel!

Citazione di: iano il 25 Settembre 2023, 17:22:03 PMAl concetto di ordine che ci ha fatto vedere quello di infinito da un particolare punto di vista, affiancherei quello di generalizzazione che è il pane quotidiano della matematica, la quale appunto procede per generalizzazioni.

Se io dico che una proprietà vale per ogni numero naturale N, non posso indicare ogni numero per cui vale la proprietà essendo infiniti.
Risolvo la questione generalizzando.
Adesso per dimostrare che una proprietà vale per ogni numero naturale mi basta dimostrare che vale ''per un solo numero'' N.
Mi sono espresso in un modo massimamente rozzo.
Ma espressa in termini più corretti quella che ho rozzamente illustrato viene detta ''induzione matematica''.
La sostanza però non cambia molto, perchè nell'induzione matematica i casi in cui occorre dimostrare che la proprietà vale non è 1, ma sono 2, o forse 3, non ricordo, ma comunque in un numero finito di casi.

(induzione matematica, principio di procedimento che permette di inferire che una certa proprietà P vale per ogni numero naturale una volta che sia stato dimostrato che a) essa vale per 0 o per 1, intesi come elementi iniziali e che, b) se essa vale per n, allora vale anche per il successore di n, cioè per n + 1, qualunque sia n ∈ N.)

Ma insomma non ci sono particolari problemi , per quanto l'induzione matematica rimanga oggetto di discussione, ad operare con insiemi infiniti, sia per effettuare conteggi sui suoi elementi che per dimostrare proprietà su di essi.

Certo tutto è discutibile (per fortuna aggiungo io), ma mi sembra che ad abortire l'idea di infinito si perda tanta ricchezza di pensiero.
Liberi di accettarla o meno, ma una volta accettatala si vede che poi anche l'idea di finito non è così scontata come sembra, e non basta la condizione di finitezza per poter contare, come non è sufficiente quella di infinitezza per impedirlo.

Hai ragione!
Ma il tuo quesito riguarda gli insiemi finiti, non quelli infiniti.
Lo zero esiste senz'altro come numero; ma un "insieme finito vuoto", non ha limiti perchè non contiene alcun elemento da delimitare.
 

Citazione di: Eutidemo il 26 Settembre 2023, 07:31:53 AMHai ragione!
Ma il tuo quesito riguarda gli insiemi finiti, non quelli infiniti.
Lo zero esiste senz'altro come numero; ma un "insieme finito vuoto", non ha limiti perchè non contiene alcun elemento da delimitare.
 

Se vedi il limite come un contenitore, il contenitore esiste anche quando non ha nulla da contenere.
Il concetto non sembra molto diverso da quello dello zero.
Ad esempio nel numero 103 lo zero indica il posto dove vanno ''riposte'' le decine, come la borsa della spesa vuota indica il posto dove vanno riposte le mele.
Il paradosso di Russell nasce quando al posto di mele abbiamo contenitori.
In questo caso qualcuno dirà che il contenitore contiene se stesso, ed altri diranno che non contiene se stesso, ed hanno tutti ragione.
Possiamo fare una analogia fra un limite e un contenitore?
Avremmo allora un limite che supera se stesso.

Cioè, possiamo avere un limite che si supera  al modo di un contenitore che si contiene?   :-\
Non ho la risposta, ma seppure contenitori e limiti si somigliino molto, un contenitore non sembra però indicare una impossibilità, mentre un limite si.
Ad esempio un insieme è finito perchè l'operazione del contare i suoi elementi ad un certo punto si arresta,  e non E' POSSIBILE contare oltre, e non perchè i suoi elementi sono contenuti in qualcosa oltre cui non è possibile andare.

Citazione di: Eutidemo il 27 Settembre 2023, 06:31:11 AM

Ciao Iano. :)

A livello "fisico" un "contenitore" può esistere senz'altro anche quando non ha niente da contenere (tipo una bottiglia vuota, che, però, contiene aria); ma, a livello "concettuale", un "contenitore", cioè un "contenente", che non "contiene" niente è una contraddizione in termini!

Sempre a livello "concettuale", un "contenitore", cioè un "contenente", non è in sè un "limite"; però pone dei "limiti" all'insieme di elementi che esso  "concettualmente" contiene o limita; ma, se l'insieme è vuoto, cioè senza nessun elemento, non c'è niente nè da contenere nè da limitare.

***

Quanto al fatto che nel numero 103 lo zero indica il posto dove vanno ''riposte'' le decine, secondo me tu confondi due tipi di "insieme":

- l'insieme delle singole cifre, considerate in modo autonomo dal punto di vista "grafico";

- l'insieme delle cifre, considerate unitariamente come un numero dal punto di vista "concettuale".

***

Per cui l'insieme di 103 elementi, ha come limite inferiore (o iniziale) il primo e come limite superiore (o finale) l'ultimo.

Lo 0 non ha alcuna valenza autonoma in tale insieme!

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Un cordiale saluto! :)

***

Il punto concettuale è che un insieme di elementi è esso stesso un elemento se consideri un insieme di insiemi.
Un insieme di insiemi di elementi contiene quindi un diverso numero di elementi secondo come li raggruppi.
Quindi possiamo dire che un insieme contiene 103 elementi che sono 103 unità, oppure 13 elementi che sono 10 decine e 3 unità, oppure 4 elementi che sono un centinaio 3 unità, ma se non tieni conto delle decine, perchè in effetti nell'insieme di 4 elementi le decine non ci sono, dovresti scrivere 13 per indicare un centinaio 3 unità.
Questo in qualche modo è quello che facevano i romani con la loro numerazione, che non avevano un simbolo per indicare ''nessuna decina''.
Per loro 103 era (C)(III) e più crescevano i numeri sempre nuovi simboli dovevano inventarsi, per indicare le migliaia etc...
Quindi quantomeno si comprende l'utilità del simbolo zero che ha permesso di usare un numero limitato di simboli (cifre), o meglio di decidere a priori di limitare il numero di cifre, e scegliendo quel numero ad hoc.
Sembra starno che ci abbiano messo così tanto tempo a giungere a questa soluzione tecnica che ci permette di fare le somme in colonna già in tenera età alle elementari, mentre al tempo dei romani nera un lavoro che impegnava un adulto per tutta la vita.
La soluzione la si è trovata importando lo zero dagli arabi che lo avevano importato dagli indiani, per i quali indiani lo zero era un vero nulla, e non un espediente tecnico.
Era cioè un contenitore del nulla.
Si può dire che non c'è nulla che unisce la cultura occidentale e quella orientale, oppure, a scelta, che un nulla le abbia riunite.
Lo zero poi, essendo un nulla, ci mette anche niente a sparire con un operazione magica

10 unità= 1 decina

e lo zero non c'è più, ma al suo posto appare un scomodo insieme infinito di simboli, uno per le centinaia, uno per le migliaia etc...
Se non è zuppa è pan bagnato, se non è zero è infinito.
Dalla padella nella brace. :))
O accettiamo lo zero come elemento di un insieme finito di cifre, o accettiamo un insieme infinito di cifre che non contiene lo zero come cifra.
Quantomeno che si tratti di una grande invenzione tecnica non si può non convenire, e per i matematici occidentali questo è.
Poi ci si può fare su filosofia sbandando un pò verso oriente od occidente.