Rastislav ed il nuovo enigma del numero "diciotto"

Eutidemo · 28 Agosto 2023, 12:18:37 PM

Scottato da come i due precedenti professori di matematica prigionieri lo avessero "giocato" nel precedente enigma del numero "diciotto" (con lo stratagemma dell'"anello nuziale"), Rastislav propone al successivo professore di matematica, finito nelle sue prigioni, un nuovo enigma del numero "diciotto"; ma, questa volta, esclusivamente su base matematica, e senza nessun oggetto da trasmettere.

***

Per cui entra nella cella di prigioniero con un bussolotto e tre dadi da gioco, uno bianco, uno verde ed uno rosso, e gli dice:

- Ti garantisco:

- che i dadi non sono truccati;

- che il bussolotto non è truccato;

- che io non userò altri trucchi di sorta.

***

Ovviamente usciranno tre numeri, i quali, tutti e tre insieme formerano le cifre di un numero che tu dovrai considerare quello "base"; ad esempio, se esce un 4, un 5 e un 2, il tuo "numero base" sarà 452 (4 bianco per le centinaia, 5 verde per le decine e 2 rosso per le unità).

***

Al riguardo, infatti, tieni presente che:

- le centinaia sono quelle che risulteranno dal numero bianco;

- le decine sono quelle che risulteranno dal numero verde;

- le unità sono quelle che risulteranno dal numero rosso.

Tutto chiaro fin qui?-

- Certo!- annuisce il prigioniero.

***

- Bene!

Non appena uscito tale numero, immediatamente, tu dovrai e potrai sommare e/o sottrarre ad esso quanti altri numeri vuoi, però diversi da quello di "base", e quante volte desideri; purchè, però il risultato delle tue operazioni di addizione e/o di sottrazione sia costituito da un numero le cui cifre, sommate tra di loro, diano sempre il numero 18 (ad es. 666, 981, 792 ecc.)-

***

- Maestà, per me va benissimo! Ma, ad essere sincero, non mi sembra affatto un problema matematico degno di un professore di matematica; e neanche di uno scolaretto delle elementari!-

- E perchè mai?- chiede Rastislav.

- Be', perchè, ad esempio, nel caso di 452, mi sarebbe sufficiente fare la differenza con un numero qualsiasi, inferiore o superiore, le cui cifre, sommate tra di loro, diano il numero 18: e poi sottrarlo o sommarlo a 452.-

***

E, preso un foglio di carta e una penna, gli fece un esempio:

- In base ai numeri che hai detto tu, io potrei facilmente sottrarre:

666 -

452=

214

Poi, per adempiere alla tua richiesta, potrei facilmente addizionare:

452+

214=

666

E così otterrei facilmente un numero le cui cifre, sommate tra di loro, darebbero il numero 18 (6+6+6), come da te richiesto.-

***

- Apprezzo la tua onestà!- esclamò Ratislav -Ma quanto ci metteresti a fare tali calcoli a mente?-

- Be', a seconda dei numeri di tre cifre da sommare e/o sottrarre, direi non più di quindici/venti secondi ma non meno di cinque/dieci secondi circa!-

***

-Allora cercherò di renderti le cose un po' più difficili.- ammiccò Rastislav.

- Come?-

- In questo modo:

a)

Non appena uscito tale numero di tre cifre, tu dovrai e potrai sommare e/o sottrarre ad esso quanti altri numeri vuoi, diversi da quello di "base", e quante volte desideri; purchè, però il risultato finale delle tue operazioni di addizione e/o di sottrazione sia costituito da un numero le cui cifre sommate tra di loro, diano il numero 18 .

c)

Non sono ammessi altri tipi di operazioni matematiche (moltiplicazioni, divisioni, potenze, radici quadrate o cubiche ecc.ecc.)

d)

Ma la cosa per te più ardua, sarà che dovrai dirmi "immediatamente" tale numero, le cui cifre sommate tra di loro, diano il numero 18 ; cioè, al massimo entro uno o due secondi da quando i dadi sono stati gettati sul tavolo.

Poi mi spiegherai con calma le operazioni di addizione e/o sottrazione per il tramite delle quali dal punteggio sul tavolo sei pervenuto a tale numero; sempre che tu sia ancora vivo-

***

- Come sarebbe a dire "sempre che io sia ancora vivo"?-

- Ora te lo spiego!- e Rastislav, chiamò il suo boia personale, con tanto di scure, il quale, dopo aver ammanettato il prigioniero dietro la schiena, lo fece inginocchiare con la testa posata su un "ceppo".

- Se non rispondi "immediatamente" dopo il tiro dei dadi, la prima cosa a rotolare in terra dopo i dadi sarà la tua testa!-

- E se io rispondo subito, ma, per errore, sbaglio il numero?-

- Allora ti decapiteremo dopo aver verificato l'erroneità del numero che ci avevi detto in base ai tuoi calcoli sbagliati!-

- Sigh!- sospirò il prigioniero, con la testa reclinata sul ceppo, mentre Rastislav agitava il bussolotto, e il boia, prudentemente, già alzava la scure.

***

I dadi rotolarono in terra, e, non appena si fermarono con un numero qualsiasi di tre cifre, il prigioniero disse "immediatamente" il numero, derivato da quello per mezzo di addizioni e/o sottrazioni, le cui cifre sommate tra di loro, davano il numero 18.

***

Esterrefatto, Rastislav ci volle riprovare.

***

Quindi i dadi rotolarono ancora in terra, e, non appena si fermarono con un numero qualsiasi di tre cifre, diverso da quello precedentemente uscito, il prigioniero disse "immediatamente" un altro numero, derivato da quello per mezzo di addizioni e/o sottrazioni, le cui cifre sommate tra di loro, davano il numero 18; anche esso, però, era diverso dal numero derivato, per mezzo di addizioni e/o sottrazioni, dalla precedente giocata (cioè, le cifre che sommate tra di loro davano il numero 18, non erano le stesse di prima).

***

Cocciutamente, Rastislav ci volle riprovare di nuovo.

***

Per cui i dadi rotolarono ancora in terra, e, non appena si fermarono con un numero qualsiasi di tre cifre, diverso da quelli precedentemente usciti, il prigioniero disse "immediatamente" un altro numero, derivato da quello per mezzo di addizioni e/o sottrazioni, le cui cifre sommate tra di loro, davano il numero 18; anche esso, però, era diverso dai numeri derivati, per mezzo di addizioni e/o sottrazioni, dalle due precedenti giocate (cioè, le cifre che sommate tra di loro davano il numero 18, non erano le stesse delle due volte precedenti).

***

Come fece il prigioniero a rispondere "immediatamente" (e nel modo corretto)?

E poi, con carta e penna, come fece a dimostrare che tali numeri erano stati correttamente ottenuti secondo le regole prescritte.?

***

P.S.

L'"enigma", se così si può denominare il seguente "indovinello", non consiste tanto e solo nella procedura matematica con la quale il prigioniero ottiene i vari risultati, ma nella rapidità con cui riesce ad ottenerli.

bobmax · 28 Agosto 2023, 13:13:08 PM

Prima dava un numero a caso, in cui la somma delle cifre era 18 ( es. 99, 468, 558)
E dopo scriveva quale numero aveva aggiunto o sottratto, calcolandolo solo allora.

Eutidemo · 28 Agosto 2023, 16:05:32 PM

Ciao Bobmax.

La tua soluzione è "impeccabile" (come sempre, d'altronde).

COMPLIMENTI.

Ora dimmi cosa ne pensi della mia, che avevo già scritto precedentemente; la quale è un po' più "narrativa", "articolata", "costruita" e "ridondante"; però, in fondo, ha una "conclusione" abbastanza simile alla tua, sebbene con un diverso/i meccanismo/i.

Un cordiale saluto

Eutidemo · 28 Agosto 2023, 16:25:52 PM

SOLUZIONE

Il primo lancio di dadi risultò essere 643:

https://uploadnow.io/f/SvGh1lG

E il prigioniero disse immediatamente 1089 (1+8+9 =18)

***

.

***

Il secondo lancio di dadi risultò essere 645:

https://uploadnow.io/f/Mw6qyXj

E il prigioniero disse immediatamente 99 (9+9 =18).

***

.

***

Il terzo lancio di dadi risultò essere 515:

https://uploadnow.io/f/dT7MzdK

E il prigioniero disse immediatamente 666 (6+6+6 =18).

***

.

***

In realtà, però, il prigioniero "bluffava", in quanto il calcolo che aveva fatto come esempio a Rastislav aveva l'unico scopo di indurlo a credere che lui avrebbe dovuto impiegare qualche tempo per fare dei conteggi mentali (per quanto semplici) "dopo" il lancio dei dadi.

Ma le cose non stavano affatto così, perchè lui i "calcoli automatici" e i relativi "risultati" li conosceva benissimo già "prima" del lancio dei dadi!

***

Ed infatti:

.

a)

In generale, nel caso di un numero di tre cifre diverse tra di loro, come nel caso di 643, se gli si sottrae il suo inverso (o, se viene sottratto dal suo inverso, se questo è superiore), e poi si somma alla differenza l'inverso della differenza, si ottiene "sempre" e "comunque" il numero 1089 (1+8+9 =18)

Per cui tale numero veniva indovinato subito dal prigioniero sulla sola base del punteggio che vedeva uscito sotto i suoi occhi, senza alcun bisogno che lui dovesse rifare mentalmente il calcolo ogni volta che uscivano i dadi: lo conosceva da prima.

Cioè:

643 -

346 =

297 +

792 =

1.089 (1+8+9 =18)

.

b)

Se, però, la cifra delle centinaia e quella delle unità sono sequenziali, come nel caso di 645, basta soltanto la prima operazione di sottrazione per ottenere "sempre" e "comunque" il numero 99, e, quindi, ottenere il "18".

Per cui tale numero veniva indovinato subito dal prigioniero sulla sola base del punteggio che vedeva uscito sotto i suoi occhi, senza alcun bisogno che lui dovesse rifare mentalmente il calcolo ogni che uscivano i dadi.

Cioè:

645 -

546 =

99 (9+9 =18)

.

c)

Infine, se la cifra delle centinaia è uguale a quella delle unità, come in 515, l'inverso non può essere sottratto, perchè Rastislav aveva sancito che, non appena uscito il numero di "base", il prigioniero poteva sommare e/o sottrarre ad esso quanti altri numeri volesse, purchè diversi da quello di "base"; per cui non poteva fare 515 - 515, e poi sommare un qualsiasi numero la somma delle cui cifre desse 18, come, ad esempio, 666 (nel qual caso avrebbe fatto 0 + 666).

Per cui tale numero veniva indovinato subito dal prigioniero sulla sola base del punteggio che vedeva uscito sotto i suoi occhi, sottraendo 1 dall'inverso, senza alcun bisogno che lui dovesse rifare mentalmente il calcolo ogni che uscivano i dadi.

Cioè:

515 -

514 =

1 +

665=

666

.

CONCLUSIONE

In effetti, secondo me, il prigioniero avrebbe potuto usare in tutti i casi sempre e comunque quest'ultimo stratagemma per trarsi fuori dai guai; ma il prigioniero era un professore di matematica, e, quindi, è del tutto legittimo che volesse fare un po' di scena!

bobmax · 28 Agosto 2023, 18:16:48 PM

La tua soluzione è intrigante, Eutidemo...
Ho idea che tu abbia presenti i numeri ben più di quanto li abbia io.

Tuttavia ritengo che la tua soluzione non assicuri la certezza al prigioniero di salvarsi.

Definito il numero uscito dai dadi come:

ABC

Abbiamo:

100A + 10B + C

Detratto l'inverso:
100C + 10B + A

Si ottiene:
99A - 99C

Che può essere espresso come:

100(A - C) + C - A

------

Nel caso di A > C abbiamo:

(A - C -1) (9) (10 - A + C)

Il cui inverso è:

(10 - A + C) (9) (A - C - 1)

La somma è perciò:

1089

-------

Se però è A < C abbiamo:

(10 + A - C) (0) (C - A)

Che sommato al suo inverso da:

1010

Eutidemo · 29 Agosto 2023, 07:07:04 AM

Ciao Bobmax.

Devi perdonare la mia ignoranza matematica, ma non sono stato assolutamente in grado di comprendere le tue formule

.
Quindi, per cortesia, puoi farmi un esempio con i numeri da cui, partendo dai miei presupposti, scaturisca il numero 1010?

***

A quanto mi risulta, infatti, in base alle prove "numeriche" che ho eseguito: .

a)

In genere, nel caso di un numero di tre cifre diverse tra di loro (di cui la prima e l'ultima non siano nè uguali nè sequenziali) , come nel caso di 643, se gli si sottrae il suo inverso (o, se viene sottratto dal suo inverso, se questo è superiore), e poi si somma alla differenza l'inverso della differenza, si ottiene "sempre" e "comunque il numero 1089 (1+8+9 =18), e mai, come dici tu, 1010.
.

b)

Se, però, la cifra delle centinaia e quella delle unità sono sequenziali, come nel caso di 645, basta soltanto la prima operazione per ottenere "sempre" e "comunque" il numero 99, e mai, come dici tu, 1010.
.

c)

Infine, se la cifra delle centinaia è uguale a quella delle unità, come in 515:

- se si sottrae l'inverso, si ha sempre 0 (zero), al quale puoi sommare un qualsiasi numero le cui cifre sommate diano 18;

- se, invece, l'inverso non può essere sottratto, perchè Rastislav aveva sancito che, non appena uscito il numero di "base", il prigioniero poteva sommare e/o sottrarre ad esso quanti altri numeri volesse, purchè diversi da quello di "base", basta sottrarre 1 dall'inverso per avere due numeri diversi, ottenere una differenza uguale ad 1 (uno), al quale poi sommare un qualsiasi numero le cui cifre sommate siano uguali a 18 meno 1.

***

Il che, secondo me, si potrebbe fare sempre, anche nei casi a) e b), con il numero uscito dai dadi (senza invertirlo).

123 -

122=

1 +

98=

99

***

.

***

TUA FORMULA (che, penso, si riferisca al caso a))

Tu, invece, scrivi:

1)

Nel caso di A > C abbiamo:

(A - C -1) (9) (10 - A + C)

Il cui inverso è:

(10 - A + C) (9) (A - C - 1)

La somma è perciò:

1089

2)

Se però è A < C abbiamo:

(10 + A - C) (0) (C - A)

Che sommato al suo inverso da:

1010

----------

***

Non ho capito assolutamente niente; che vergogna!!!

***

.

***

Io non sono in grado nè di capire nè di esprimermi in formule!

***

Però, se dovessi tentare di esprimerne una relativa al caso di un numero di tre cifre diverse tra di loro (di cui la prima e l'ultima non siano nè uguali nè sequenziali), minore del suo inverso, come nel caso di 346, la formulerei come segue.

LEGENDA

A : numero formato dalle cifre dei tre dadi usciti (346)

i : inverso

B : differenza di iA - A

C: risultato di quattro cifre, la cui somma è uguale a 18.

FORMULA

iA - A = B + iB = C

Cioè

643 - 346 = 297 + 792 = 1.089

***

Non riesco proprio a capire come possa venirti fuori 1.010.

***

.

***

Se invece ti riferivi al caso b), viene sempre 99 con la sola sottrazione, mentre, se ti riferivi al caso c), in pratica sei tu che scegli il numero le cui cifre sommate siano uguali a 18.

***

.

***

Un cordiale saluto!

***

bobmax · 29 Agosto 2023, 07:31:07 AM

Hai ragione Eutidemo, non avevo presente la tua condizione tra parentesi, dove si sommava nel caso l'inverso fosse superiore.
Quando vedo una parentesi nel testo, chissà come tendo a saltarla... Eccesso di sintesi mannaggia!
Per cui avevo ritenuto che andasse considerato solo il valore assoluto di ogni numero.
Seguendo invece le tue prescrizioni tutto torna .
Scusami

Eutidemo · 29 Agosto 2023, 10:34:37 AM

Citazione di: bobmax il 29 Agosto 2023, 07:31:07 AMHai ragione Eutidemo, non avevo presente la tua condizione tra parentesi, dove si sommava nel caso l'inverso fosse superiore.
Quando vedo una parentesi nel testo, chissà come tendo a saltarla... Eccesso di sintesi mannaggia!
Per cui avevo ritenuto che andasse considerato solo il valore assoluto di ogni numero.
Seguendo invece le tue prescrizioni tutto torna .
Scusami

Scusami tu per essere così deficitario nel comprendere le formule matematiche; è vero che ho fatto il liceo classico e non quello scientifico, ma questo non mi giustifica minimamente (ed infatti dei miei ex compagni di scuola sono diventati ingegneri).

bobmax · 29 Agosto 2023, 12:56:06 PM

Citazione di: Eutidemo il 29 Agosto 2023, 10:34:37 AM
Scusami tu per essere così deficitario nel comprendere le formule matematiche; è vero che ho fatto il liceo classico e non quello scientifico, ma questo non mi giustifica minimamente (ed infatti dei miei ex compagni di scuola sono diventati ingegneri).

Al primo anno di ingegneria, quelli che venivano dal classico erano solitamente più in difficoltà, rispetto a quelli che, come me, provenivano dallo scientifico.
Se però riuscivano a passare i primi esami, poi andavano meglio degli altri.
Ritengo dipenda dalla miglior impostazione allo studio.
Occorre però anche una qual predisposizione naturale alla matematica...

Sto ora riscontrando, in tanti che conosco ormai anzianotti e che hanno fatto il classico, una qual diffusa mestizia di fondo.
Insomma mi sa che questo liceo classico fornisca basi migliori per apprendere, ma, diciamo così, faccia pure accrescere il vuoto esistenziale...

Eutidemo · 30 Agosto 2023, 07:01:19 AM

Citazione di: bobmax il 29 Agosto 2023, 12:56:06 PMAl primo anno di ingegneria, quelli che venivano dal classico erano solitamente più in difficoltà, rispetto a quelli che, come me, provenivano dallo scientifico.
Se però riuscivano a passare i primi esami, poi andavano meglio degli altri.
Ritengo dipenda dalla miglior impostazione allo studio.
Occorre però anche una qual predisposizione naturale alla matematica...

Sto ora riscontrando, in tanti che conosco ormai anzianotti e che hanno fatto il classico, una qual diffusa mestizia di fondo.
Insomma mi sa che questo liceo classico fornisca basi migliori per apprendere, ma, diciamo così, faccia pure accrescere il vuoto esistenziale...

Forse dipende anche dalle dosi massicce di Leopardi che ci somministravano al Liceo; e che tutt'ora (insieme a Catullo) è il mio poeta preferito.

Però nella Bibbia è scritto: "E' preferibile la mestizia al riso; perché sotto un triste aspetto il cuore è felice!" (Qoelet 7 - 3).

Rastislav ed il nuovo enigma del numero "diciotto"

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