Rastislav e l'enigma delle due torri

Eutidemo · 01 Ottobre 2023, 12:28:16 PM

Nel regno di Rastislav, a non molta distanza dal castello di Devin, ci sono due torri perfettamente circolari, vuote e identiche, con l'unica differenza che la torre Alpha ha un raggio notevolmente maggiore della torre Beta.

***

All'interno di ciascuna delle due torri, completamente vuote di mobili, tramezzi murari o qualsiasi altro ostacolo, ci sono due porte sempre aperte che danno sull'esterno:

- A e B nella torre Alpha, che, in linea d'aria, distano tra di loro esattamente 15 metri l'una dall'altra

- A e B nella torre Beta, che, in linea d'aria, anche esse distano tra di loro esattamente 15 metri l'una dall'altra.

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***

Nelle carceri di Rastislav sono rinchiusi due prigionieri, Pinco e Panco, ai quali il principe fa congiuntamente il seguente discorso:

"Ognuno di voi verrà messo in una delle due torri, con una catena lunga mezzo metro che lega le sue caviglie; alla squilla di tromba del mio scudiero, ognuno di voi dovrà uscire dalla porta A o dalla porta B, scelte in precedenza, e poi, costeggiando a passo normale le mura della sua torre, dovrà rientrarvi dentro attraverso l'altra porta.

Abbiamo già constatato che avete la stessa identica velocità di passo, e, per ulteriore scrupolo, ce ne siamo assicurati con una catena lunga mezzo metro che lega le vostre caviglie; però degli appositi arbitri controlleranno che nessuno dei due cercherà di affrettare il proprio passo per superare la velocità dell'altro (nel qual caso verrà squalificato e soppresso).

Ciò premesso, chi rientrerà dall'altra porta della sua torre per primo, avrà salva la vita e verrà liberato; l'altro, invece, verrà impiccato!-

- E se rientrassimo contemporaneamente?- chiese Pinco.

- In tal caso verrete impiccati entrambi!-

- Allora io scelgo la torre Beta e la porta B!- dice Pinco.

- Va bene!- consente Rastislav - Allora Panco viene assegnato alla torre Alpha e a alla porta A!-
- Quindi io non posso scegliere!- si lamenta Panco!
- Ormai non più!-

***

Chi dei due, "ceteris paribus", riesce a rientrare per primo nella sua torre, e, così, a salvarsi la vita?

***

bobmax · 01 Ottobre 2023, 22:45:36 PM

Panco

Eutidemo · 02 Ottobre 2023, 05:51:21 AM

Citazione di: bobmax il 01 Ottobre 2023, 22:45:36 PMPanco

Bravissimo, come al solito!

Però avresti anche dovuto spiegare il perchè

Eutidemo · 02 Ottobre 2023, 05:52:19 AM

SOLUZIONE

E' Panco che riesce a rientrare per primo nella sua torre; e, così, a salvarsi la vita.

Ed infatti più la circonferenza che va da A a B rimpicciolisce (raggio minore), maggiore diventa la distanza da percorrere per andare da A e B seguendo tale circonferenza; il che vale a dire che una distanza maggiore è legata a un raggio minore, in quanto la curvatura di una circonferenza è uguale all'inverso del suo raggio.

Per cui la distanza minima da percorrere costeggiando le mura, corrisponde quella della torre Alpha, che ha una circonferenza con un raggio più grande.

bobmax · 02 Ottobre 2023, 14:16:28 PM

Hai ragione Eutidemo, avrei dovuto dimostrarlo. Solo che volevo tirar fuori una formula per la dimostrazione, senza limitarmi a notare visivamente. Come tu giustamente hai comunque fatto.
Ma sono ormai arrugginito.

La formula dovrebbe comunque essere:

Arco = 2 • Raggio • arcoseno(15/(2 • Raggio))

http://

Eutidemo · 03 Ottobre 2023, 05:48:59 AM

Citazione di: bobmax il 02 Ottobre 2023, 14:16:28 PMHai ragione Eutidemo, avrei dovuto dimostrarlo. Solo che volevo tirar fuori una formula per la dimostrazione, senza limitarmi a notare visivamente. Come tu giustamente hai comunque fatto.
Ma sono ormai arrugginito.

La formula dovrebbe comunque essere:

Arco = 2 • Raggio • arcoseno(15/(2 • Raggio))

http://

Grazie per la formula!

Io non sarei mai stato in grado di scriverla (e neanche di capirla).

bobmax · 03 Ottobre 2023, 07:24:01 AM

La formula descrive la relazione tra la lunghezza dell'arco e il raggio dei cerchi aventi la medesima corda di 15 m.

Al variare del raggio, la lunghezza dell' arco va da un massimo di 7,5π m con raggio 7,5m, a un minimo di 15m con raggio all'infinito.

Detto omega l'angolo al centro che incide sulla Corda AB, abbiamo:

Corda AB = 2 • Raggio • seno(omega/2)

Mentre:

Arco AB = 2 π • Raggio • omega / 360

Poiché l'arcoseno è l'inverso del seno e dà l'angolo in radianti del seno corrispondente, abbiamo:

Arco_AB = 2 • Raggio • arcoseno(Corda_AB / (2 • Raggio))

Eutidemo · 04 Ottobre 2023, 05:27:56 AM

Citazione di: bobmax il 03 Ottobre 2023, 07:24:01 AMLa formula descrive la relazione tra la lunghezza dell'arco e il raggio dei cerchi aventi la medesima corda di 15 m.

Al variare del raggio, la lunghezza dell' arco va da un massimo di 7,5π m con raggio 7,5m, a un minimo di 15m con raggio all'infinito.

Detto omega l'angolo al centro che incide sulla Corda AB, abbiamo:

Corda AB = 2 • Raggio • seno(omega/2)

Mentre:

Arco AB = 2 π • Raggio • omega / 360

Poiché l'arcoseno è l'inverso del seno e dà l'angolo in radianti del seno corrispondente, abbiamo:

Arco_AB = 2 • Raggio • arcoseno(Corda_AB / (2 • Raggio))

Grazie per le ulteriori precisazioni

Rastislav e l'enigma delle due torri

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