Citazione di: iano il 17 Ottobre 2024, 12:50:21 PMIl fatto di poter fare affermazioni vere sui numeri primi, non comporta che i numeri primi siano ''veri''.
Posso fare affermazioni vere su qualsiasi possibile cosa, ma ciò non comporta che qualsiasi possibile cosa sia ''vera''.

nessuno si aspetta o teme che possano caderci in testa dei numeri, l'esistenza dei numeri è astratta non fisica. Per veri si intende verità matematiche dimostrabili . Certo poi arriva Godel  che dimostrò un teorema fondamentale della matematica e secondo cui esistevano enunciati matematici di cui nessuna procedura sistematica poteva determinarne la verità o la falsità. Ma questo è un altro discorso.

Citazione di: Alberto Knox il 17 Ottobre 2024, 12:52:19 PMok, quante definizioni diverse conosci riguardanti i numeri primi?

Mi è più agevole trarre un esempio dall' articolo di Oddifredi sul numero de ''Le Scienze'' di questo mese, che ovviamente non riporto letteralmente.

Diamo due diverse definizioni di triangolo rettangolo.
1. Un triangolo con un angolo di 90°..
2. Un triangolo per il quale vale che l'area costruita su lato più lungo equivale alla somma delle aree costruite sui restanti lati.

Che le due definizioni siano equivalenti non è evidente, ma si può dimostrare che lo siano.

L'equivalenza di queste diverse definizioni è una verità assoluta, se non eterna, perchè questa verità non esiste se non diamo prima le definizioni, e ''dare una definizione'' non è una verità.
E' vero che storicamente noi diamo una definizione di triangolo tentando di descrivere la percezione che del triangolo possediamo ''a priori''.
Però non possiamo dimostrare che la nostra definizione descrittiva coincide con la nostra percezione, perchè l'atto del percepire e l'atto del descrivere/definire non si equivalgono.
Questo vuol dire che una volta data la definizione di triangolo, il triangolo inizia di a vivere di vita propria, una volta reso indipendente dalla nostra percezione.

Possiamo adottare anche un altro punto di vista, che definendo un triangolo noi trascendiamo la nostra percezione di triangolo.
Grazie a ciò adesso possiamo visualizzare un triangolo rettangolo in modi alternativi, come un triangolo che ha un angolo di 90°, o come un triangolo che ha l'area del quadrato costruita...., etc...
Se la percezione produce visualizzazioni, noi in tal modo abbiamo svincolato la visualizzazione dalla percezione, generalizzandone l'uso.

Applicando lo stesso meccanismo possiamo trascendere la stessa visualizzazione, ed è quello che ci propone la scienza dei nostri giorni, cercando di visualizzare la quale giungiamo a chimere come la particella/onda, che però a differenza di un grifone o di un centauro non sapremmo  disegnare.
Si tratta di fatto di una rivoluzione copernicana, laddove si afferma che non è vero che la realtà gira attorno alla nostra percezione.
Perchè in effetti aver detto che non è il sole a girare attorno alla terra, è un modo indiretto di dire che il sole non gira attorno all'osservatore, osservatore che occasionalmente si trovava  sulla terra al tempo di quella affermazione.
E trascendendo trascendendo le cose si possono ancor più complicare, precisando nuove definizione.
Potrebbe essere utile anche definire cosa intendiamo con ''girare attorno'' trascendendo ancora la percezione che abbiamo che le cose ci girino''effettivamente'' attorno.
''Colui al quale le cose gli girano attorno'' la userei come definizione di osservatore, ad esempio.

Citazione di: Alberto Knox il 17 Ottobre 2024, 12:48:35 PMche legame vi è,  dunque, fra matematica e realtà fisica? è indubbio che il semplice calcolo aritmetico ebbe origine da concrete esigenze quotidiane , come amministrare il bestiame e tenere la contabilità . Ma le operazioni elementari dell addizione , della sottrazione e della moltiplicazione innescarono una crescita esplosiva di idee matematiche che alla fine divenne così complessa da far perdere di vista le umili ragioni pratiche della sua origine . In altre parole la matematica cominciò a condurre un esistenza propia. Chi prosegue gli studi fino alla matematica avanzata imaprano altri tipi di numeri, a sostituire i numeri con x e y al posto di numeri specifici o ad esempio il calcolo dei numeri complessi e di operazioni quali la moltiplicazione di matrici che obbediscono a regole strane le quali non corrispondono in modo ovvio ad alcunchè di familiare nel mondo reale. Tuttavia, allo stesso modo di una lingua, lo studente può imparare a manipolare questi simboli astratti senza preoccuparsi del loro significato, ammesso che ne abbiano. Tuttavia ritengo che la matematica sia qualcosa di diverso che da un semplice linguaggio che noi abbiamo inventato. L'eseguibilità dei calcoli dipende fondamentalmente dalla natura del mondo fisico. Che senso avrebbe contare se non eseistessero oggetti fisici discreti come le monete e le pecore? non è notevole il fatto oggettivo che 6 pecore più 7 pecore facciano 13 pecore? e non è degno di nota che l'universo sia costruito in modo tale da rendere possibile una semplice astrazione come il numero?  il mondo fisico riflette le propietà computazionali dell aritmetica. E questo non può essere in alcun modo un dettaglio banale. Anzi, ha una profonda conseguenza ; significa che, in un certo senso, il mondo fisico è un computer .

Apprezzo molto il tuo pragmatismo, proprio in senso filosofico, e mi piace ancor di più il fatto che stiamo commentando "un qualcosa" da ottiche diverse, la qual cosa mi arricchisce.
Come avevo scritto, ma solo esprimendo il mio punto di vista senza alcuna pretesa che venisse accettato, la Matematica è potente a tal punto che, come giustamente affermi, a volte sembra vivere di vita propria e svilupparsi in direzioni non cercate dalla mente umana. Penso ad esempio, dato che citi le matrici, all'algebra lineare: al tempo che fu ne utilizzai un'applicazione (l'analisi delle componenti principali) per dimostrare matematicamente come un fenomeno osservato apparentemente indipendente, magari ascritto al caso, possa invece avere a monte dei fattori (e non delle variabili indipendenti) che ne spiegano meglio l'osservazione. L'algebra lineare nacque per caso grazie a Henrik Abel (conosco una versione diversa rispetto a quella riportata da Wikipedia riguardo la sua morte: pare abbia buttato giù di getto la sua teoria la notte prima di morire).
Quando Abel la "inventò" non aveva la più pallida idea di come avesse potuto tornare utile mentre oggi trova molte applicazioni.
Quando affermi che L'eseguibilità dei calcoli dipende fondamentalmente dalla natura del mondo fisico diciamo che non mi trovi pienamente in linea con il tuo pensiero: con le regole che mi sono dato posso benissimo calcolare il determinante di una matrice senza poi avere la più pallida idea di cosa sia ed a cosa si riferisca nel mondo fisico. Oppure a dire "solo" che una matrice è degenere o meno e dunque il sistema lineare è composto da equazioni tra loro indipendenti. Dipende.
Se è vero come affermi che il mondo fisico riflette le propietà computazionali dell aritmetica, affermazione che, consentimi, definirei quasi pitagorica, come si spiega che ogni forma di vita prima o poi smette di crescere? Riterrei maggiormente valido il paradigma secondo il quale da un certo punto in poi la crescita ulteriore andrebbe a penalizzare l'adattamento della forma di vita all'ambiente circostante, paradigma che però non si basa sulla matematica bensì sullo studio del DNA.
Grazie per le tue osservazioni. Lo dico con la massima sincerità dato che parafrasando Popper, più cerco di falsificare le mie convinzioni più in realtà le rafforzo. In realtà non so se è un bene o un male.
Un caro saluto

tutti OT, ma non sono un moderatore, quindi scrivete pure quello che volete .

per come la vedo io cerco di rimettere la discussione sotto una stella piu vicina all'argomento. 

Il vuoto è un concetto piu vicino alla matematica. Ma ben inteso, io non ho mai creduto che la matematica sia piu vicina alle cose reali. Anzi è quella che sta più lontana. La piu vicina è la fisica, non di meno in filosofia nemmeno le cose fisiche sarebbero le cose reali. Ciò che ci appare è comunque sempre una rappresentazione della cosa in se.
Il vuoto sarebbe la cosa in se che non vediamo, che una costruzione matematica ci dice che esiste per davvero. 
Pazzesco, ma credo sia piu o meno cosi.

Fino a qua penso di non aver detto cose troppo astruse. 

Il nulla cos'è? E' un concetto soltanto filosofico. Se trovate il "nulla" in una costruzione matematica portatemela perchè mi incuriosirebbe. Ma sono quasi certo che non c'è. 

Citazione di: iano il 17 Ottobre 2024, 15:04:15 PMPotrebbe essere utile anche definire cosa intendiamo con ''girare attorno'' trascendendo ancora la percezione che abbiamo che le cose ci girino''effettivamente'' attorno.
''Colui al quale le cose gli girano attorno'' la userei come definizione di osservatore, ad esempio.

Sì capisco il tuo invito a riflettere su ciò che noi diamo per scontato come taluni definizioni. Si tratta di un problema che forse rientra nella filosofia del linguaggio . Come nasce una definizione? e in più perchè vi sono cose la cui definizione non è solo una ma diverse?. Io credo che fin quanto si tratta di definire cose semplici e pratiche la nostra idea di definizione è univoca; Per definire che cos'è una casa non ci metteremmo troppo a discutere , ci capiremmo subito. Ma quando si tratta di definire cose sfuggenti , astratte e/o metafisiche come la natura della matematica, la coscienza, Dio, , anima, mondo , nulla, tempo. Ecc le persone smettono di capirsi e cominciano a dare definizioni diverse. Lo stesso termine "osservatore" non sfugge a questa critica. La soluzione per come la vedo io è quella di accordarci su una definizione e ragionare in base a quella definizione , poi se mai si può ragionare usando per base un altra definizione e così via.

Citazione di: Bruno P il 17 Ottobre 2024, 17:36:48 PMQuando affermi che L'eseguibilità dei calcoli dipende fondamentalmente dalla natura del mondo fisico diciamo che non mi trovi pienamente in linea con il tuo pensiero: con le regole che mi sono dato posso benissimo calcolare il determinante di una matrice senza poi avere la più pallida idea di cosa sia ed a cosa si riferisca nel mondo fisico.

Questo lo avevo detto anch'io quando ho detto che lo studente potrà imaparare a manipolare i simboli astratti seguendo determiate regole senza badare al loro significato , cioè senza badare se riflettono cose del mondo reale o meno. Quindi sono d'accordo che nella matematica avanzata ci sono strutture matematiche che non hanno niente a che fare con la realtà fisica, pensiamo ad es. agli spazi di Hilbert.
La mia opinione secondo cui " L'eseguibilità dei calcoli dipende fondamentalmente dalla natura del mondo fisico " si basa sulla natura delle leggi della fisica . c'è evidentemente una concordanza fra le leggi della fisica da una parte e , dall altra, la computabilità delle funzioni matematiche che descrivono queste stesse leggi. Questo non è affatto ovvio e scontato. La natura delle leggi della fisica consente che certe operazioni matematiche come l addizione e la moltiplicazione , siano computabili . Fra queste operazioni computabili ve ne sono alcune che descrivono (almeno fino a un certo livello di accuratezza) le leggi della fisica.
Questa coerenza circolare è solo una coincidenza, oppure ha una sua necessità? Rinvia forse a qualche più profonda armonia fra matematica e realtà?

Citazione di: Il_Dubbio il 17 Ottobre 2024, 20:37:17 PMIl vuoto è un concetto piu vicino alla matematica

perchè dici questo? se uno spazio è privo di elementi , quello spazio non consente operazioni elementari quali l addizzione o la sottrazione.  Ma questo esempio è buono per illustrare quanto ho detto in precendenza ,ricalcando il tuo esempio  possiamo immaginare un mondo il cui le leggi della fisica siano molto diverse .  in questo mondo alcune delle operazioni che sono computabili nel nostro non sarebbero tali e viceversa. L'equivalente delle macchine di Turing potrebbero esistere in questo mondo  , ma la loro struttura e il loro funzionamento sarebbero così diversi che risulterebbe loro impossibile eseguire ad es. le operazioni aritmetiche elementari , mentre potrebbero essere in grado di eseguire calcoli inacessibili ai computer del nostro mondo. I computer di questi due mondi  (questi calcolatori), fanno quello che fanno solo perchè le leggi della fisica glielo permettono.

p.s.
mi rendo conto ora che forse intendevi lo spazio vuoto non privo di elementi, come ad esempio lo pazio vuoto intergalattico. Eravamo però arrivati a ipotizzare uno spazio privo di elementi costitutivi , questa è la causa del mio fraintendimento.

Citazione di: Alberto Knox il 17 Ottobre 2024, 23:06:53 PMSì capisco il tuo invito a riflettere su ciò che noi diamo per scontato come taluni definizioni. Si tratta di un problema che forse rientra nella filosofia del linguaggio . Come nasce una definizione? e in più perchè vi sono cose la cui definizione non è solo una ma diverse?. Io credo che fin quanto si tratta di definire cose semplici e pratiche la nostra idea di definizione è univoca; Per definire che cos'è una casa non ci metteremmo troppo a discutere , ci capiremmo subito. Ma quando si tratta di definire cose sfuggenti , astratte e/o metafisiche come la natura della matematica, la coscienza, Dio, , anima, mondo , nulla, tempo. Ecc le persone smettono di capirsi e cominciano a dare definizioni diverse. Lo stesso termine "osservatore" non sfugge a questa critica. La soluzione per come la vedo io è quella di accordarci su una definizione e ragionare in base a quella definizione , poi se mai si può ragionare usando per base un altra definizione e così via.

Mi ha frainteso. Mi dispiace. Io ho solo provato a rispondere alla domanda sulla tua affermazione sui numeri primi, e non su come si fa a mettersi d'accordo su una definizione che possa meglio corrispondere alla nostra percezione.
Parlavo di affermazioni matematiche vere.
Vere oggi come domani e per tutti, perchè dimostrabili-
L'intersoggettività equivale a condivisione, non a verità.
Partendo da una definizione, della quale al momento non ci importa se condivisa o meno, arriviamo per via logica a conclusioni conseguenti, che valgono la stessa definizione , ma in diversa forma.

Citazione di: iano il 18 Ottobre 2024, 00:04:53 AMMi ha frainteso. Mi dispiace. io ho provato a rispondere alla domanda sulla tua affermazione sui numeri primi, e non su come si fa a mettersi d'accordo su una definizione.

ma è propio nel tuo tentativo di rispondere a tale domanda che hai esposto il problema delle definizioni, io ti ho chiesto semplicemente quante definizione riguardo ai numeri primi conosci. Tu hai cominciato con un escaletion di interpretazioni e di definizioni sui triangoli dicendo che

Citazione di: iano il 17 Ottobre 2024, 14:44:38 PML'equivalenza di queste diverse definizioni è una verità assoluta, se non eterna, perchè questa verità non esiste se non diamo prima le definizioni, e ''dare una definizione'' non è una verità.
E' vero che storicamente noi diamo una definizione di triangolo tentando di descrivere la percezione che del triangolo possediamo ''a priori''.
Però non possiamo dimostrare che la nostra definizione descrittiva coincide con la nostra percezione, perchè l'atto del percepire e l'atto del descrivere/definire non si equivalgono.

Citazione di: iano il 17 Ottobre 2024, 15:04:15 PMPerchè in effetti aver detto che non è il sole a girare attorno alla terra, è un modo indiretto di dire che il sole non gira attorno all'osservatore, osservatore che occasionalmente si trovava  sulla terra al tempo di quella affermazione.
E trascendendo trascendendo le cose si possono ancor più complicare, precisando nuove definizione.
Potrebbe essere utile anche definire cosa intendiamo con ''girare attorno'' trascendendo ancora la percezione che abbiamo che le cose ci girino''effettivamente'' attorno.
''Colui al quale le cose gli girano attorno'' la userei come definizione di osservatore, ad esempio.

e qui perchè ti sei fermato? non è forse ragionevole chiedersi chi è che osserva ciò che gli  gira intorno e quindi approfondire la definzione di osservatore?  è l'io , è la coscienza ? è la propia anima? e una volta risposto non è forse ragionevole continuare?  è bene interrogarsi sull origine delle definizioni ma poi una definizione bisogna darla e se questa definizione può essere condivisa allora si può cominciare a ragionare.

Citazione di: Alberto Knox il 18 Ottobre 2024, 00:16:21 AMe qui perchè ti sei fermato?

Dopo aver fatto quattro post uno di seguito all'altro mi chiedi perchè mi sono fermato?
 Inoltre siamo pure OT da un bel pò.
Perchè non apri dunque tu un altra discussione dove riprendere l'argomento da dove lo abbiamo  lasciato?

Citazione di: Alberto Knox il 18 Ottobre 2024, 00:16:21 AMma è propio nel tuo tentativo di rispondere a tale domanda che hai esposto il problema delle definizioni, io ti ho chiesto semplicemente quante definizione riguardo ai numeri primi conosci. Tu hai cominciato con un escaletion di interpretazioni e di definizioni sui triangoli dicendo che

Ma quella sui  numeri primi era un esempio di affermazione matematica, o l'argomento della discussione?
Se era un esempio di affermazione matematica, perchè allora io non potevo cambiarlo con altro, approfittando di una articolo di Oddifredi sulla geometria euclidea presente su '' Le Scienze'' che meglio risponde di me al tuo quesito, e che io ho solo cercato di riportare con parole mie?
Non mi resta che consigliartene la lettura.
Se ne comprendi il contenuto dovresti per analogia darti da solo una risposta sul quesito sui numeri primi, se un esempio di affermazione matematica vale l'altro.

Citazione di: Alberto Knox il 17 Ottobre 2024, 23:58:25 PMperchè dici questo? se uno spazio è privo di elementi , quello spazio non consente operazioni elementari quali l addizzione o la sottrazione.  Ma questo esempio è buono per illustrare quanto ho detto in precendenza ,ricalcando il tuo esempio  possiamo immaginare un mondo il cui le leggi della fisica siano molto diverse .  in questo mondo alcune delle operazioni che sono computabili nel nostro non sarebbero tali e viceversa. L'equivalente delle macchine di Turing potrebbero esistere in questo mondo  , ma la loro struttura e il loro funzionamento sarebbero così diversi che risulterebbe loro impossibile eseguire ad es. le operazioni aritmetiche elementari , mentre potrebbero essere in grado di eseguire calcoli inacessibili ai computer del nostro mondo. I computer di questi due mondi  (questi calcolatori), fanno quello che fanno solo perchè le leggi della fisica glielo permettono.

p.s.
mi rendo conto ora che forse intendevi lo spazio vuoto non privo di elementi, come ad esempio lo pazio vuoto intergalattico. Eravamo però arrivati a ipotizzare uno spazio privo di elementi costitutivi , questa è la causa del mio fraintendimento.

Tengo a precisare cosa intendo io per spazio vuoto in senso matematico (o per lo meno ciò che ho capito io).

Prendi ad esempio una stanza ben sigillata e togli tutto da dentro. Ok, quello è il primo spazio vuoto a cui noi pensiamo. Però dentro c'è aria. Ok togliamo anche quella. 

Tieni presente quello spazio vuoto, ora prendi in esame cosa ci dice la fisica quantistica per quanto riguarda la posizione per esempio di un elettrone. Prendiamo ad esempio un elettrone che sta dentro la tua testa (uno qualsiasi).
Si potrebbe dire (o cosi direbbero i fisici) che la probabilità che quel elettrone stia nella tua testa è molto alta, ma esiste una probabilità diversa da zero che quello stesso elettrone sia ovunque nell'universo. 
Quindi in quella stanza vuota dove pensi di aver tolto tutto, anche l'aria, gira il "tuo" elettrone. 

Quello per me è il vuoto.