La matematica è autoreferenziale. Nel senso che non si riferisce a nient'altro che a se stessa, cioè ai propri postulati.
Di modo che i calcoli matematici si reggono a prescindere da qualsiasi cosa non appartenga al sistema matematico.
La matematica poi si può applicare all'esterno di essa. Trattando magari euro, pecore, metri... qualsiasi altra cosa, che tuttavia non influenza in alcun modo il calcolo matematico.

5x0 = 0

Prescinde da quale significato possa avere il 5 o lo 0 al di fuori della matematica.
5 può corrispondere a degli euro, ma può invece essere lo 0 a riferirsi all'euro.
Comunque sia la matematica ne prescinde.

Tant'è vero che la moltiplicazione gode della proprietà commutativa.
Cioè:
5x0 = 0x5

Se ciò non avviene, non è una moltiplicazione.

Non sono affatto avvezzo alla matematica, ma per risolvere le tue perplessità credo possa giovare considerare la differenza fra 0 e 1. Se hai 5 euro e li moltiplichi per 1 (hai una volta 5 euro), resti con 5 euro. Se li moltiplichi per 0, non puoi avere lo stesso risultato; infatti hai 0 volte 5 euro, ossia non hai nessun euro.
Anche usando la formula inversa, emerge la stessa differenza: se 5 x 1 = 5, allora 5 : 1 = 5. Se 5 x 0 = 5, allora 5 : 0 = 5, ma allora 1 e 0 dovrebbero essere equivalenti (e così non è). Se ho 5 euro e li assegno ad una persona, la persona ha 5 euro; se li assegno a 0 persone, vengono di fatto assegnati 0 euro (non c'è assegnazione).

Andando nel dettaglio del tuo ragionamento:

Citazione di: Eutidemo il 25 Agosto 2024, 13:49:17 PM

Però, se fosse vero (come io sostengo) che moltiplicare un numero per un altro numero, equivale a sommare tante volte al primo numero lo stesso primo numero, quante ne indica il secondo numero meno uno (cioè, meno la volta corrispondente al  primo numero), allora qualsiasi numero moltiplicato per zero non dovrebbe essere uguale a zero, bensì a se stesso.

Ed infatti:

5 x 0 = 5 + (0 + 0) =5

Quel «meno uno» è risolutivo, ma risulta assente nella tua formula. Dovrebbe essere: 5 x 0 = 5 + ( -5) = 0, dove quel -5 rappresenta il «meno una volta» di cui parli.

Immaggina di avere un borsellino magico, da cui tu puoi prendere infinite volte cinque euro.

Se li prendi una volta, hai cinque euro.

Se li prendi due volte, hai cinque per due, dieci euro.

Se li prendi dieci volte, hai cinquanta euro.

Se li prendi nessuna volta, hai zero euro, cinque per zero.

Come tutte le volte in cui i soldi, sul conto corrente o nel salvadanaio in generale nella vita ce li hai, ma ti scordi di prenderli ed esci di casa senza. Arrivi al negozio, e se non hai neanche il bancomat, non puoi comprare e fai una bella figura del peracottaro. Se sei distratto come me ti sara' capitato, almeno una volta.

Hai zero euro. Perche' uscendo di casa, non li hai presi.

Citazione di: Eutidemo il 25 Agosto 2024, 13:49:17 PMTuttavia, considerata la mia profonda incompetenza in ambito matematico, non dubito che, quello che a me sembra un "ragionamento perfettamente logico", è, invece, un "ragionamento completamente fallace"; quindi  "corrigetemi" liberamente!

Secondo me tu vuoi stare con due piedi in un una scarpa.
Se tu pensi legittimamente che i numeri naturali siano quelle cose che tu intuisci, dovresti coerentemente intuire anche il risultato del sommarli, senza darci un esempio nero su bianco di come si fa a sommare i numeri, perchè ciò appunto equivale a metter due piedi in una scarpa sola, cioè un di più non necessario che potrebbe ''non entrarci'', come in effetti non ci entrano due piedi in una scarpa.
Anche noi in effetti siamo capaci di intuirli, ma chi ci dice che intuiamo tutti la stessa cosa?
Per verificarlo non possiamo verificare che i risultati delle tue somme siano uguali alle nostre, essendo le possibili somme infinite, mentre basterebbe una sola discordanza per verificare che intuiamo cose diverse.
Un altra strada percorribile è provare a dare una definizione di somma, ma fatto ciò dovremo abbandonare l'intuizione, perchè a partire da quel momento i numeri naturali saranno quelle cose che si sommano in tal modo e non in un altro.
Il trucco cioè sta nel trasformare qualcosa che non possiamo dimostrare di condividere, in qualcosa che possiamo condividere, se ben definita.

Uno potrebbe anche dire che la tal definizione di numero naturale non coincide bene con la propria intuizione, e darne una definizione alternativa, ma allora i numeri naturali cosi diversamente definiti potrebbero non coincidere, tu però dai per scontato che coincidano, senza però dimostralo, impresa comunque impossibile avendo trovato già Phil un esempio contrario.

Il fatto è che non solo non possiamo sapere se le nostre intuizioni di numero coincidono, ma non possiamo dimostrare neanche che la definizione che ne diamo esaurisca ciò che intuiamo, per cui a parlare contemporaneamente di una cosa e dell'altra si rischia di parlare in effetti di cose diverse, per cui per non inciampare in contraddizioni nella scarpa ci infileremo solo un piede out l'altro.

Citazione di: Eutidemo il 26 Agosto 2024, 06:51:24 AM

Dire che io "moltiplico i miei cinque euro per tre", a me sembra che significhi esattamente la stessa cosa che dire che io "moltiplico i miei cinque euro per tre volte"; il che equivale a dire, trasformando la moltiplicazione in addizione, che io  aggiungo dieci euro ai miei cinque euro iniziali.

5 x 3 = 5 + (5+5) = 15

O no?

Quello che ho cercato di dire è che se togli quel ''a me sembra che...'' io sono d'accordo sul fatto che stai dando una legittima definizione di moltiplicazione (nel precedente post avevo detto somma erroneamente) come tante altre se ne possono dare, e infatti è una altra definizione quella che i matematici danno per i numeri naturali tradizionalmente.
Tanto è vero che applicando la tua definizione di somma si ottengono dei risultati, mentre con quella che tradizionalmente danno i matematici se ne ottengono altri.
Quindi tu meglio dovresti dire:....

 

Dire che io "[moltiplico il numero  cinque  per tre",  significa dire che io "moltiplico il cinque  per tre volte"; il che equivale a dire, sformando la moltiplicazione in addizione, che io  aggiungo dieci  al cinque  iniziale.
5 x 3 = 5 + (5+5) = 15
o, altro esempio
 5 x 0 = 5 + (0+0) = 5

Questa è una definizione legittima di moltiplicazione.

Una definizione alternativa parimenti legittima è:
5X3= tre volte cinque= 5+5+5=15
5x0=  cinque volte zero = 0+0+0+0+0 = 0

Due definizione pienamente legittime, tralasciando la  ortodossia, per la forma non generale in cui le abbiamo espresse, che andrebbero perciò meglio riscritte, ma appare chiaro comunque ciò che si voleva dire.
Dove sta dunque il problema?
Ti sorprende forse il fatto che le due definizioni diano risultati diversi?
Perchè dovrebbe sorprenderti?
 Se  diverse sono le definizioni di moltiplicazione ciò che dovremo aspettaci e che diversi in generale saranno i risultati.

Ora quello che io non capisco ( meglio faccio finta di non capire) perchè tu senta il bisogno di dare una definizione di moltiplicazione fra numeri naturali se per te questi numeri sono un fatto intuitivo?
Infatti se non fossero un fatto intuitivo tu dovresti definirli per poterne parlare.
Dovresti cioè dare una definizione di numeri naturali, come in effetti fanno i matematici che pur avendo una intuizione di numero vi hanno storicamente rinunciato.
E come fanno a darla?
Dicendo che i numeri naturali sono quegli enti che si sommano in tal modo e si moltiplicano in tal altro.

Ti manca il passaggio nella storia della matematica in cui i matematici hanno rinunciato all'intuizione di numero, optando in cambio per una loro precisa definizione.
Per cui per loro i numeri naturali non sono più il prodotto della nostra intuizione, ma il risultato di una rigorosa definizione.

@Eutidemo.
Ti ho risposto per il piacere di comunicarti la mia, ma in effetti quello che c'era da dire è già ben espresso nel post n° 1 di questa discussione.

@Eutidemo

Probabilmente ti inganna il punto di partenza: tu dici «ho 5 euro» e poi procedi, ma non consideri che questi 5 euro sono coinvolti in un'operazione (x) e poi in un risultato (=). Nel momento in cui metti i 5 euro sul tavolo, hai già fatto 5 x 1 = 5, ossia «ci sono 5 euro». Invece 5 x 0 significa: «metto 5 euro sul tavolo 0 volte; quanti euro ci sono sul tavolo (=...) ?».

P.s.
Se vuoi farla più "filosofica": mentre gli altri moltiplicatori quantificano una presenza , il «x 0» indica un'assenza, seppur specificata: «0 volte qualcosa» è empiricamente uguale a «0 volte qualcos'altro», ossia un insieme vuoto; se sul tavolo metto 0 volte 5 euro oppure 0 volte 5 sterline, rimane sempre il tavolo vuoto (infatti 0 = 0).

Citazione di: iano il 26 Agosto 2024, 08:10:49 AMDire che io "[moltiplico il numero  cinque  per tre",  significa dire che io "moltiplico il cinque  per tre volte"; il che equivale a dire, sformando la moltiplicazione in addizione, che io  aggiungo dieci  al cinque  iniziale.
5 x 3 = 5 + (5+5) = 15
o, altro esempio
 5 x 0 = 5 + (0+0) = 5
Questa è una definizione legittima di moltiplicazione.
Una definizione alternativa parimenti legittima è:
5X3= tre volte cinque= 5+5+5=15
5x0=  cinque volte zero = 0+0+0+0+0 = 0
Due definizione pienamente legittime, tralasciando la  ortodossia, per la forma non generale in cui le abbiamo espresse, che andrebbero perciò meglio riscritte, ma appare chiaro comunque ciò che si voleva dire.
Dove sta dunque il problema?
Ti sorprende forse il fatto che le due definizioni diano risultati diversi?
Perchè dovrebbe sorprenderti?
 Se  diverse sono le definizioni di moltiplicazione ciò che dovremo aspettaci e che diversi in generale saranno i risultati.

La definizione alternativa non mi convince.
Ed infatti mi può stare bene 5X3= tre volte cinque= 5+5+5=15
Ma non mi convince affatto 5x0=  cinque volte zero = 0+0+0+0+0 = 0
***
Un cordiale saluto!
***

Citazione di: Phil il 26 Agosto 2024, 10:52:18 AM@Eutidemo

Probabilmente ti inganna il punto di partenza: tu dici «ho 5 euro» e poi procedi, ma non consideri che questi 5 euro sono coinvolti in un'operazione (x) e poi in un risultato (=). Nel momento in cui metti i 5 euro sul tavolo, hai già fatto 5 x 1 = 5, ossia «ci sono 5 euro». Invece 5 x 0 significa: «metto 5 euro sul tavolo 0 volte; quanti euro ci sono sul tavolo (=...) ?».

P.s.
Se vuoi farla più "filosofica": mentre gli altri moltiplicatori quantificano una presenza , il «x 0» indica un'assenza, seppur specificata: «0 volte qualcosa» è empiricamente uguale a «0 volte qualcos'altro», ossia un insieme vuoto; se sul tavolo metto 0 volte 5 euro oppure 0 volte 5 sterline, rimane sempre il tavolo vuoto (infatti 0 = 0).

Hai ragione: nel momento in cui io metto i 5 euro sul tavolo, è come se dicessi "ci sono 5 euro"!
Ma, se non ci fossero, come diamine farei a moltiplicarli?
Non si può moltiplicare qualcosa che non c'è; si può moltiplicare soltanto ciò che già è!
***
Un cordiale saluto!
***