Rastislav e l'enigma della diagonale

Eutidemo · 11 Marzo 2024, 07:37:59 AM

Rastislav entra nella cella di un prigioniero, che è un geometra, e posa sul suo tavolo il seguente disegno.

Poi gli dice:

- Il quadrato che vedi è lungo 60 mt di lato, mentre, della linea retta che congiunge A a F, tu conosci soltanto la lunghezza del segmento di tale retta che va da E ad F, che è lungo 91 mt, e che finisce su un punto imprecisato F del prolungamento della base del quadrato CD; tu non puoi misurare nessuna altra lunghezza con il centimetro, nè avere altre informazioni oltre quelle che io ti ho fornito.-

***

- Ebbene?- chiede il prigioniero?-

- Ebbene, in base ai dati di cui sopra, senza poter effettuare materialmente alcuna misura, voglio che tu mi deduca:

- la lunghezza in mt del segmento AE

- la lunghezza in mt del segmento ED

- la lunghezza in mt del segmento BE

- la lunghezza in mt del segmento DF

La misurazione materiale di tali lunghezze potremo effettuarla solo a posteriori, per verificare se le tue risposte erano giuste!

Se entro mezz'ora di tempo mi darai le risposte giuste, ma spiegandomi anche le ragioni sulle quali sono fondate, ti renderò la libertà; altrimenti morirai!-

***

.

***

Cosa risponde il prigioniero?

***

bobmax · 11 Marzo 2024, 12:43:33 PM

DF = 84
ED = 35
BE = 25
AE = 65

Eutidemo · 11 Marzo 2024, 13:11:27 PM

Ciao Bobmax.

Come al solito, sei BRAVISSIMO!!!

Ed infatti le tue risposte sono assolutamente ESATTE!
Peccato, però, che Rastislav ti impiccherebbe lo stesso, perchè non gli hai spiegato le ragioni sulle quali sono fondate; come, invece, aveva espressamente e testualmente richiesto al prigioniero, se voleva salvarsi la vita ed ottenere la libertà!

***

Probabilmente tu avrai usato una qualche "equazione biquadratica"; ma il prigioniero, che (come me) non era assolutamente in grado di servirsene, ha ragionato più "terra terra", in modo "euclideo".

***

Ed infatti, poichè Rastislav gli ha detto che AF è una "linea retta", ne desume che i segmenti BE ed ED, che, sommati, sono lunghi in tutto 60 mt, devono necessariamente incontrarsi ad una "altezza esatta" ed in un "punto preciso" del lato BD laddove la linea AF interseca tale lato, senza però subire "~~piegamenti angolari"~~ nè in alto nè in basso.

Come, ad esempio:

***

Ed infatti Rastislav ha proibito al prigionierò di misurare le "lunghezze" (delle rette), ma non gli ha affatto vietato di misurare le "ampiezze" (degli angoli); per cui il prigioniero può benissimo misurare con un goniometro l'"ampiezza" dell'angolo AEF, il quale deve necessariamente essere di 180 gradi, affinchè la linea AF possa considerarsi "retta"!

***

Quindi, per il teorema di Pitagora:

1)

La lunghezza E_F di 91 mt è pari alla radice del quadrato costruito sull'ipotenusa E_F (√ 8.281); il quale quadrato è dato dalla somma dei quadrati costruiti sui suoi cateti E_D e D_F, le cui lunghezze sono date dalle relative radici quadrate.

2)

La lunghezza del lato A_B di 60 mt è pari alla radice del quadrato costruito sul cateto A_B (√ 3.600); il quale quadrato è dato dalla differenza tra il quadrato costruito sull'ipotenusa A_E meno il quadrato costruito sul cateto B_E, le cui lunghezze sono date dalle relative radici quadrate.

3)

La lunghezza del lato A_C di 60 mt è è pari alla radice del quadrato costruito sul cateto A_C (√ 3.600); il quale quadrato è dato dalla differenza tra il quadrato costruito sull'ipotenusa A_F meno il quadrato costruito sul cateto C_F, le cui lunghezze sono date dalle relative radici quadrate.

***

Ora, se noi cerchiamo di far "quadrare" i vari teoremi di Pitagora in modo tale che la linea AF non subisca "piegamenti angolari" nel punto E scopriremo che le lunghezze da attribuire ai cateti e alle ipotenuse sconosciute in questione, ricostruendole in modo tale che la linea AF sia "dritta", le lunghezze richieste da Rastislav risulteranno necessariamente ed inevitabilmente le seguenti.

***

Cioè, esattamente le stesse che, giustamente, hai calcolato tu; probabilmente nella metà del tempo che ha dovuto impiegare il prigioniero!

***

Un cordiale saluto!

***

bobmax · 11 Marzo 2024, 13:32:46 PM

Eutidemo sei tremendo...
L'equazione era alla quarta.
Detto x = DF
Abbiamo:
3600*x^2 / (x + 60)^2 + x^2 - 8281 = 0

bobmax · 11 Marzo 2024, 14:56:30 PM

Vorrei aggiungere, Eutidemo, che la tua non è una descrizione della soluzione, ma solo un chiarimento del problema...

Eutidemo · 11 Marzo 2024, 15:07:12 PM

Ciao Bobmax.

A causa della mia crassa ignoranza in materia, non sono assolutamente in grado di decifrare la tua equazione; della cui correttezza, però, non dubito neanche lontanamente.

Comunque ora Rastislav ha avuto la sua spiegazione anche da te (che lui la capisca o meno); per cui la tua risposta è ora completa, e, quindi, anche tu dovresti aver salvato la pelle!

***

Un cordiale saluto!

***

P.S.

Avendo io scritto che, probabilmente, tu saresti ricorso ad una "equazione biquadratica", non ci ho forse azzeccato?

Ed infatti io, ingenuamente, pensavo che una "equazione alla quarta" ed una "equazione biquadratica" fossero, sostanzialmente, la stessa cosa (2 + 2 = 4).

Eutidemo · 11 Marzo 2024, 15:08:16 PM

Citazione di: bobmax il 11 Marzo 2024, 14:56:30 PMVorrei aggiungere, Eutidemo, che la tua non è una descrizione della soluzione, ma solo un chiarimento del problema...

Pò esse

Però le cifre della mia soluzione coincidono con le tue; quindi, anche se per altra via, mi pare di aver risolto comunque il problema, e di non essermi limitato a soltanto chiarirlo!

bobmax · 12 Marzo 2024, 07:36:57 AM

Citazione di: Eutidemo il 11 Marzo 2024, 15:08:16 PM
Pò esse
Però le cifre della mia soluzione coincidono con le tue; quindi, anche se per altra via, mi pare di aver risolto comunque il problema, e di non essermi limitato a soltanto chiarirlo!

Ma come avevi osservato alla mia prima risposta, dove dicevo solo i risultati, anche nel tuo caso manca la spiegazione di come ci sei arrivato.
Perciò pure tu non la avresti scampata con il principe...

Non descrivi cioè come ci sei arrivato.

Ipotassicamente, io ho poi dato l'equazione con la quale si ricava la soluzione.
Mentre tu parli genericamente di Pitagora, linee dritte... Ma non dici come ci sei arrivato.
Così il principe è legittimato a sospettare che tu abbia misurato!

Eutidemo · 12 Marzo 2024, 08:52:42 AM

Ciao Bobmax.

A me, a dire il vero, sembrava di aver spiegato tutto chiaramente; ed in modo molto meno "criptico" e "sintetico" del tuo.

Ed invero:

.

1)

Come avevo chiaramente scritto, Rastislav aveva proibito al prigionierò di misurare le "lunghezze" (delle rette), ma non gli aveva affatto vietato di misurare le "ampiezze" (degli angoli) del suo disegno; senza considerare che lui stesso aveva espressamente detto che la linea che congiungeva A a F era una "retta".

.

2)

Assodata tale premessa, ne conseguiva logicamente che:

a)

Se AF era una "linea retta", i segmenti BE ed ED, che, sommati, erano lunghi in tutto 60 mt, dovevano necessariamente incontrarsi in un "punto preciso" E del lato BD laddove la linea AF intersecava tale lato, senza però subire "piegamenti angolari" nè in alto nè in basso.

b)

Per individuare tale "punto preciso" E, era necessario far "quadrare" i vari teoremi di Pitagora in modo tale che la linea AF non subisse "piegamenti angolari" nel punto E.

.

3)

In tal senso, avevo anche chiaramente spiegato che

a)

La lunghezza E_F di 91 mt è pari alla radice del quadrato costruito sull'ipotenusa E_F (√ 8.281); il quale quadrato è dato dalla somma dei quadrati costruiti sui suoi cateti E_D e D_F, le cui lunghezze sono date dalle relative radici quadrate.

b)

La lunghezza del lato A_B di 60 mt è pari alla radice del quadrato costruito sul cateto A_B (√ 3.600); il quale quadrato è dato dalla differenza tra il quadrato costruito sull'ipotenusa A_E meno il quadrato costruito sul cateto B_E, le cui lunghezze sono date dalle relative radici quadrate.

c)

La lunghezza del lato A_C di 60 mt è è pari alla radice del quadrato costruito sul cateto A_C (√ 3.600); il quale quadrato è dato dalla differenza tra il quadrato costruito sull'ipotenusa A_F meno il quadrato costruito sul cateto C_F, le cui lunghezze sono date dalle relative radici quadrate.

.

4)

A questo punto ho poi ritenuto inutile esporre numericamente tutti i vari passaggi (quadrati e radici quadrate), per il tramite dei quali sono pervenuto ad ottenere le stesse identiche lunghezze determinate da te; che , pure, hai sintetizzato il tutto in una esattissima "formula", ma non hai esplicitato nessun "calcolo" specifico che la spiegasse.

***

Ad esempio, da dove li hai tirati fuori i numeri 3600 e 8281, dal cappello del tuo cilindro di mago della matematica?

***

Io ho capito benissimo che:

- 3.600 era il quadrato costruito su uno dei lati del quadrato ABCD (che era pure il cateto di un triangolo);

- 8281 era il quadrato costruito sull'ipotenusa del triangolo EDF.

***

MA TU NON HAI ESPOSTO IL BENCHE' MINIMO CALCOLO ESPLICATIVO DI TALI CIFRE!!!

***

Io, anche se è vero che non ho esposto tutti i calcoli, almeno avevo spiegato chiaramente che:

a)

"La lunghezza del lato A_B di 60 mt è pari alla radice del quadrato costruito sul cateto A_B (√ 3.600)"

b)

"91 mt è pari alla radice del quadrato costruito sull'ipotenusa E_F (√ 8.281)"

***

Ma tu neanche questo!

***

Per cui, così come il somaro ribalta l'accusa di avere le corna al toro, io ribalto su di te l'accusa di aver fornito una esposizione carente della mia soluzione.

***

Nonostante questo, ribadisco che tu sei comunque BRAVISSIMO (comunquye molto più di me), e ti invio il mio usuale più cordiale saluto!

***

bobmax · 12 Marzo 2024, 09:11:59 AM

Eutidemo, Eutidemo...
La formula io l'ho messa, tu no.

Si risolve la equazione e si ha la soluzione.
Non ho scritto la sequenza per giungere alla equazione, per evitare una lunga pappardella. Che tanto non la verifica nessuno mi sa...
Però l'equazione l'ho messa. E descrive, sebbene ipotassicamente, come si arriva alla soluzione.

Tu invece non fai che ripetere ovvietà, senza nulla dire su come sei arrivato alla soluzione.
Con il principe io sono apposto, ma tu no...

PS
Che poi, sia come bue sia come asino mi sentirei appagato. Li apprezzo entrambi.

Eutidemo · 12 Marzo 2024, 11:35:12 AM

Ciao Bobmax.

Tu pensi di risolvere tutto con le tue criptiche "formule"; il che sarà anche vero tra matematici, ma una "formula magica" non costituisce certo la "spiegazione" della soluzione che offri, in quanto non viene chiarita la fonte da cui scaturiscono i numeri che ci ficchi dentro (3.600 e 8281).

Io l'ho spiegata, ma tu NO!

***

Un cordiale saluto!

***

bobmax · 12 Marzo 2024, 11:45:32 AM

Eutidemo, non hai spiegato proprio niente.
Se vuoi davvero spiegare allora dovresti dire il procedimento che hai seguito.
Non che il quadrato di 60 fa 3600 e quello di 91 fa 8281, e poi andate avanti voi che a me scappa da ridere...

Almeno dovresti dire il calcolo che hai eseguito.
Insomma il ragionamento concreto, non che la linea è dritta e poi si usa e di riusa il teorema di Pitagora.
Almeno di' la formula che hai utilizzato.

Se no, il principe sospetta che hai barato...

iano · 12 Marzo 2024, 13:28:46 PM

Citazione di: Eutidemo il 11 Marzo 2024, 07:37:59 AM
La misurazione materiale di tali lunghezze potremo effettuarla solo a posteriori, per verificare se le tue risposte erano giuste!
Se entro mezz'ora di tempo mi darai le risposte giuste, ma spiegandomi anche le ragioni sulle quali sono fondate, ti renderò la libertà; altrimenti morirai!-

Il principe, alter ego di Eutidemo, pretende una doppia verifica. Non gli basta infatti che misurando, le soluzioni siano verificate, ma occorre spiegare, nel caso siano verificate, come è possibile che si siano verificate, non essendo quest'ultima in effetti propriamente una verifica, ma una giustificazione del perchè si siano verificate. E il prigioniero può ritenersi fortunato se il principe si ferma qua, senza pretendere che egli, un volta che abbia dato la giusta spiegazione, non pretenda di avere una spiegazione di come sia stato possibile darla.

Il prigioniero, se non temesse le ire del principe, gli spiegherebbe invece che solo una delle due cose può essere ammessa, e non è la verifica strumentale, perchè la verità del teorema di Pitagora non si dimostra misurando, ma si deduce per via logica a partire dagli assiomi della geometria euclidea e le sole verifiche da fare sono , prima la correttezza della deduzione del teorema a monte, e poi la correttezza della sua applicazione a valle.

Il vero quesito che assilla il principe è un altro, ma no sa bene come esplicitarlo.
Il quesito potrebbe essere, avendo egli un buon intuito matematico, come sia stato possibile a un certo punto che l'intuito sia stato messo da parte metodicamente dai matematici, sostituendolo cioè con un metodo, fino al punto da far dire a Cartesio che la soluzione di ogni disputa possa essere impersonalmente calcolata.
Come dire che per avere sentenze imparziali è di trovare un giudice impersonale, cioè trovare il modo di fare a meno del giudice.
Oggi l'equivalente sarebbe affidare il giudizio all'IA artificiale, e questo rende lampante l'errore di Cartesio.
Tuttavia le speranze di Cartesio erano ben fondate, perchè un giudice che potesse rinunciare all'intuito personale, come la matematica si era avviata a conformarsi, è quantomeno un giudice nei limiti del possibile spersonalizzato.

bobmax · 12 Marzo 2024, 13:55:37 PM

ED / 60 = DF / (DF + 60)

ED = 60 * DF / (DF + 60)

ED^2 + DF^2 = 91^2

60^2 * DF^2 / (DF + 60)^2 + DF^2 = 91^2

iano · 12 Marzo 2024, 14:14:45 PM

Citazione di: Eutidemo il 11 Marzo 2024, 07:37:59 AM
La misurazione materiale di tali lunghezze potremo effettuarla solo a posteriori, per verificare se le tue risposte erano giuste!
Se entro mezz'ora di tempo mi darai le risposte giuste, ma spiegandomi anche le ragioni sulle quali sono fondate, ti renderò la libertà; altrimenti morirai!-
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Cosa risponde il prigioniero?
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Detto in altre parole, se un modo di verificare l'esattezza della maniera con cui ho ottenuto una lunghezza è misurare, essendo il misurarla a suo volta un modo di ottenerla, perchè non dovrei limitarmi ad ottenerla misurando?

Rastislav e l'enigma della diagonale

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