L'enigma della formichina

Eutidemo · 17 Febbraio 2024, 17:19:01 PM

Una formichina che si trova nel punto (spigolo) A del seguente cubo che ha 10 cm di lato, deve fare un calcolo molto semplice; deve, cioè, scoprire quale sia il tragitto più breve che essa può fare sulla superficie del cubo per raggiungere il punto (spigolo) B.

***

Tracciate con una matita (o con il PC) il percorso più breve che, secondo voi, la formichina può fare sulla superficie del cubo per raggiungere lo spigolo B dallo spigolo A.

***

Phil · 17 Febbraio 2024, 18:18:00 PM

Se la superficie del cubo è la superficie di dove è disegnato, punterei su questa:

bobmax · 17 Febbraio 2024, 22:34:00 PM

Il percorso dovrebbe essere di 10√5 cm

Eutidemo · 18 Febbraio 2024, 06:34:05 AM

Ciao Phil e Bobmax.

Innanzitutto, vi ringrazio entrambi per il vostro intervento!

Per il resto, se è vero il teorema di Pitagora, il percorso più breve che la formichina può fare sulla superficie del cubo per raggiungere lo spigolo B dallo spigolo A, è quello da me evidenziato in "verde"; sicuramente, non quello da me evidenziato in "rosso", che invece, a colpo d'occhio, sembrerebbe il più corto.

Per cui, senza che ve lo debba dire io, che non voglio erigermi ad "arbitro di gara", potete verificare da voi se la vostra soluzione sia esatta o meno!

***

Un cordiale saluto ad entrambi!

***

bobmax · 18 Febbraio 2024, 08:09:33 AM

Sì, Eutidemo.
Però non si può scrivere 11 cm (e neppure 14)

11 cm li si può magari misurare, con il righello.
Ma è solo una approssimazione.
Perché i due segmenti sono ciascuno 5√5

(Mentre l'altro percorso è di 10 + 10√2)

La distanza tra due punti è la linea retta. Dovendo stare sulla superficie del cubo, la linea retta si ottiene stendendo i lati del cubo su un piano.

iano · 18 Febbraio 2024, 10:30:30 AM

Molto bello questo enigma, se ho capito bene la soluzione.
Di fatto quindi si sviluppa (o si apre, oppure si smonta, non mi viene il termine giusto) il cubo sul piano, e si disegna la minima distanza fra i due punti, che non può che essere un segmento della retta che passa per i due punti.
Quindi si rimonta il cubo e si ha la soluzione.
Questa soluzione vale per tutte le coppie di punti quando il segmento che li unisce sta tutto dentro lo sviluppo piano del cubo.
Diventa allora interessante risolvere il caso quando il segmento sta fuori dello sviluppo..

daniele22 · 18 Febbraio 2024, 11:13:11 AM

Bello, ricorda un po' la linea ortodromica e lossodromica applicata ad un cubo anziché a una sfera

Eutidemo · 18 Febbraio 2024, 12:04:25 PM

Ciao Bobmax.

Questa volta hai compreso male ciò che ho fatto, in quanto io non ho misurato assolutamente "niente" con il righello; mi sono semplicemente limitato ad applicare il "Teorema di Pitagora".

***

Ed infatti:

1)

AC = √ di [CD alla seconda potenza (25) + AD alla seconda potenza (100)]; e, cioè AC = √125, ovvero 11.1803398875.

Io ho arrotondato ad 11 cm (che non ho affatto misurato col righello, ma ho dedotto con il teorema di Pitagora).

2)

BD = √ di [BF alla seconda potenza (100) + DF alla seconda potenza (100)]; e, cioè BD = √200, ovvero 14.1421356237

Io ho arrotondato ad 14 cm (che non ho affatto misurato col righello, ma ho dedotto con il teorema di Pitagora). .

3)

BC = √ di [EC alla seconda potenza (25) + EB alla seconda potenza (100)]; e, cioè AC = √125, ovvero 11.1803398875.

Io ho arrotondato ad 11 cm (che non ho affatto misurato col righello, ma ho dedotto con il teorema di Pitagora).

***

Pertanto, poichè 22 (AC 11 + BC 11) è inferiore a 24 (AD 10 + BD 14), se ne deduce, logicamente, matematicamente e geometricamente che il percorso ACB è più breve di due centimetri rispetto al percorso ADB.

***

La tua soluzione, quindi, e, cioè, che il percorso più breve dovrebbe essere di 10√5 cm (10 x 2,2 = 22), è GIUSTISSIMA, ma, almeno secondo me, è :

- un tantino"anapodittica";

- quantomeno, poco "esplicativa".

***

E' vero, però, che tu mi potresti obbiettare che, invece, la mia soluzione è:

- un tantino"prolissa";

- quantomeno, molto "ridondante".

E' una questione di opinioni!

***

Quello che però ho avuto modo di constatare, è che alcuni miei amici, leggendo la mia spiegazione, hanno capito subito tutti il "motivo logico geometrico" per il quale il percorso più breve, di 22 cm, è quello ACB; mentre, invece, leggendo la tua soluzione (cioè che il percorso dovrebbe essere di 10√5 cm) non hanno minimamente capito il "perchè"!

***

Ad ogni modo ciò non toglie che tu sia un ECCEZIONALE RISOLUTORE DI ENIGMI (non solo matematici); il cui unico difetto è quello di dare per scontata, nei tuoi lettori, una intelligenza ed una "capacità di comprensione" pari a quelle tue (il che, invece, sono entrambe molto rare).

***

Complimenti ed un cordiale saluto!

***

bobmax · 18 Febbraio 2024, 13:48:57 PM

Eutidemo hai ragione!
Sono ipotassico...

Però anche questa volta, perdonami, la tua non è una esplicitazione.
E chi ritiene invece che lo sia, prende lucciole per lanterne.

Come hai fatto a stabilire che CD = 5 cm?
Perché questo risultato viene dopo aver messo i due lati del cubo su un piano, tracciata la ipotenusa del triangolo rettangolo 10x20, e confrontato questo con il triangolo simile e incluso di 10x10.
Solo a questo punto puoi stabilire che CD = 5.
Non all'inizio!

Invece tu lo metti come dato iniziale, mentre è invece necessariamente finale.

Il mio scrivere 10√5 voleva essere una indicazione che, senza essere del tutto esaustiva, comunque mostrava il possibile procedimento:

10²+ 20²= 500

√500 = 10√5

iano · 18 Febbraio 2024, 14:16:42 PM

Citazione di: Eutidemo il 18 Febbraio 2024, 12:04:25 PM
E' vero, però, che tu mi potresti obbiettare che, invece, la mia soluzione è:
- un tantino"prolissa";
- quantomeno, molto "ridondante".
E' una questione di opinioni!
***
Quello che però ho avuto modo di constatare, è che alcuni miei amici, leggendo la mia spiegazione, hanno capito subito tutti il "motivo logico geometrico" per il quale il percorso più breve, di 22 cm, è quello ACB; mentre, invece, leggendo la tua soluzione (cioè che il percorso dovrebbe essere di 10√5 cm) non hanno minimamente capito il "perchè"!
***
Ad ogni modo ciò non toglie che tu sia un ECCEZIONALE RISOLUTORE DI ENIGMI (non solo matematici); il cui unico difetto è quello di dare per scontata, nei tuoi lettori, una intelligenza ed una "capacità di comprensione" pari a quelle tue (il che, invece, sono entrambe molto rare).
***
Complimenti ed un cordiale saluto!
***

In effetti metti dati non essenziali che aiutano i non matematici, ma che spiazzano i non matematici.
Non occorreva ad esempio dare la lunghezza del lato , e bastava, senza fare calcoli, una elegante soluzione visiva proprio come piace a te, oltre ad avere valenza generale, proprio come piace ai matematici, e in questo modo li avresti accontentati tutti questa volta.

In effetti l'enigma diversamente impostato e alla portata di tutti, anche dei non matematici, perchè si tratta di applicare una nozione basilare nota a tutti, cioè che il minimo percorso possibile fra due punti nel piano euclideo è il segmento di retta che li unisce.
La difficolta sta nel fatto che non ci troviamo nel piano, e la soluzione è ''spianare'' il cubo, riportandolo sul piano.
Quindi ci voleva una bella immagine di cubo spianato comprensiva del segmento fra i punti.
Quindi, ''risolidificando'' il cubo, il segmento diventa una linea spezzata, che è la soluzione.

bobmax · 19 Febbraio 2024, 09:27:17 AM

Vorrei aggiungere, per ulteriore chiarimento, che i triangoli simili hanno i lati corrispondenti in proporzione.

Perciò, detto G il vertice del cubo in basso a sinistra, una volta messi su di un unico piano i lati del cubo avremo:

Il triangolo BGA e il triangolo BEC, che sono simili.
Per cui dovrà essere:

BG/BE = GA/EC

Poiché
BG = 20
GA = 10
e
BE = 10

Abbiamo EC = 5

Eutidemo · 19 Febbraio 2024, 11:35:46 AM

Ciao Bobmax e Iano.

***

A dire il vero, Bobmax io avevo scritto chiaramente che la formichina si trovava nel punto (spigolo) A di un cubo di <<10 cm di lato>>; per cui, secondo il "Quarto Teorema di Eutidemo" , se un lato è lungo 10 cm, ne consegue, logicamente, che mezzo lato è per forza lungo <<5 cm>>.

***

Per cui, a differenza di quanto sostenuto da te, io sapevo benissimo, fin dall'inizio, che CD era uguale 5 cm; così, come si evince chiaramente dalla figura, in quanto 10 :2 = 5.

***

Sono d'accordo con te che lo stesso risultato si ottiene dopo aver messo i due lati del cubo su un piano, tracciata la ipotenusa del triangolo rettangolo 10x20, e confrontato questo con il triangolo simile e incluso di 10x10; però, in questo caso, sei tu che complichi inutilmente le cose, giacchè, se si conosce la lunghezza di un lato, si conosce "automaticamente" anche la lunghezza della sua metà!

***
.
***

Per quanto invece riguarda te, Iano, secondo me la soluzione dell'enigma non consisteva affatto nello ''spianare'' il cubo, riportandolo sul piano; per cui ci voleva una bella immagine di cubo spianato comprensiva del segmento fra i punti.

Ed infatti, mantenendo il "cubo" nelle sue naturali tre dimensioni, con tutte e sei le sue "facce piane", per calcolare il percorso più breve della formica è sufficiente determinare e confrontare tra di loro il tragitto BCA (22 cm) con il tragitto BDA (24 cm), facendo ricorso al "TEOREMA DI PITAGORA" applicato separatamente sia sulla faccia superiore che sulla faccia laterale del cubo!

***

.

***

Un cordiale saluto ad entrambi, che stimo allo stesso modo nonostante l'ordine di precedenza che, casualmente, ho attribuito alla mie repliche!

***

Eutidemo · 19 Febbraio 2024, 11:46:00 AM

Ciao Bobmax.

La tua aggiunta è "correttissima", però mi sembra inutilmente complicata; ed infatti, se il segmento CD è lungo 5 cm, in quanto pari ad una metà del lato, allora è ovvio che anche il segmento EC, cioè l'altra metà del lato, deve essere per forza lungo 5 cm.
Un cordiale saluto!

bobmax · 19 Febbraio 2024, 11:49:29 AM

Come facevi a sapere che era mezzo lato e non, che so, un terzo?
Solo una volta trovata la soluzione si può stabilire che C è in mezzo, non prima.
Qui mettiamo il carro davanti ai buoi...

Eutidemo · 19 Febbraio 2024, 12:44:29 PM

Ciao Bobmax.

Hai ragione, ma io avevo dato per sottinteso il "confronto" con il tragitto "in linea retta" (sia pur tridimensionale), ADB; per cui intendevo dimostrare che, invece, il tragitto "in linea storta" (sia pur tridimensionale) ACB, era invece più breve, essendo lungo 22 cm invece di 24.

Per cui, partendo da tale presupposto, mi sono trovato i buoi davanti al carro: 10 cm di lato un bue, e 5 cm di lato l'altro bue!

***

Tant'è vero che il mio risultato è identico al tuo, in quanto, anche tu, partendo dagli stessi miei numeri "10" e "5" (cioè 10√5 cm), sei pervenuto a stabilire un tragitto uguale al mio sulla faccia a fianco: cioè, appunto, 22 cm.

***

Però io non avevo affatto precisato la prospettiva del confronto, che davo -in effetti un po' arbitrariamente- per scontata; per cui riconosco che la tua critica è fondata (come, d'altronde, lo è quasi sempre)!

***

Un cordiale saluto!

***

L'enigma della formichina

Discussioni simili (5)