Rastislav e l'enigma della divisione

Eutidemo · 22 Novembre 2023, 17:32:24 PM

Rastislav entra nella stanza del nuovo prigioniero, e, a bruciapelo, gli chiede:

- Quanto fa, senza usare nè carta nè penna, (la calcolatrice ancora non esisteva): 111222333444555666777888999 diviso 11?

Se mi rispondi in dieci secondi ti salverò la vità e ti renderò la libertà!-

Il prigioniero, dopo una breve riflessione, risponde quasi subito; e azzecca il risultato della divisione, così come i matematici di Rastislav confermano dopo i loro calcoli.

***

Che ragionamento ha fatto?

***

Eutidemo · 24 Novembre 2023, 11:40:15 AM

- Come hai fatto?- gli chiede perplesso Rastislav.

Il prigioniero risponde: - Sono partito dalla considerazione che il numero che tu mi hai detto, cioè 111222333444555666777888999, è composto da:

- le prima 3 cifre, cioè 111;

- seguito da 24 cifre, cioè 222333444555666777888999.

***

Per cui, senza fare nessun calcolo, posso tranquillamente stabilire la seguente equivalenza:

111222333444555666777888999 =

(111 × 10 elevato alla ventiquattresima potenza) + 222333444555666777888999.

***

Quindi, scalando di tre cifre in tre cifre, potremo proseguire, con lo stesso procedimento logico-matematico automatico, che non richiede calcoli:

.

111222333444555666777888999 =

(111 × 10 elevato alla ventiquattresima potenza) + ( 222 x 10 elevato alla ventunesima potenza) + 333444555666777888999

.

111222333444555666777888999 =

(111 × 10 elevato alla ventiquattresima potenza) + (222 elevato alla ventunesima potenza) + (333 elevato alla diciottesima potenza) + 444555666777888999

°

e così via, a scalare!

***

.

Di conseguenza, logicamente, il numero 111222333444555666777888999 diviso per 11, risulterà uguale a 10 alla ventiquattresima potenza + (2 × 10 alla alla ventunesima potenza) + ( 3 x 10 alla diciottesima potenza) e così via.

***

Pertanto 111222333444555666777888999 diviso 11, sarà uguale a 1002003004005006007008009; numero che, una volta compreso il criterio di cui sopra, si ottiene senza alcun calcolo, ma soltanto sostituendo con due zeri ciascuno dei due numeri che seguono i numeri che vanno da 1 a 9 (meno l'ultimo, che non è seguito da altri 3 numeri).

***

bobmax · 24 Novembre 2023, 12:52:55 PM

Vi sono alcuni punti che non tornano, Eutidemo.

Tra gli altri, 111 diviso 11 non fa 1, come hai scritto, e neppure 10 come forse intendevi.

Eutidemo · 25 Novembre 2023, 07:02:43 AM

Ciao Bobmax.

Sono senz'altro d'accordo con te che "111" (cioè 100 + 11) diviso "11" non fa assolutamente "1"; ma io non ho mai sostenuto una cosa del genere, in quanto "111" diviso "11" fa "10,09..." (approssimato).

***

Ed invero nell'enigma di Rastislav il "111" non appare affatto come un numero in "centinaia" (cioè 100 + 11), bensì come le prime tre cifre di un numero composto da ben "27 cifre" (in progressione di tre cifre in tre cifre uguali).

***

E considerato che per rappresentare un miliardo in numeri bisogna scrivere il numero "1" e farlo seguire da "9" zeri, e che 3 x 9 fa "27", questo spiega perchè il numero 111222333444555666777888999 è composto da "27 cifre", in "triplette di tre cifre uguali"; e spiega pure perchè, dividendolo per "11", due dei numeri delle serie di tre numeri uguali seguiti da una serie di tre numeri uguali diventano "2 zeri" (meno l'ultimo, che non era seguito a sua volta da nessuna altra serie di tre numeri uguali), dandoci così un numero di "25" cifre pari a 1002003004005006007008009!

***

Un cordiale saluto!

***

P.S.

Tuttavia forse hai ragione tu, in quanto le calcolatrici scientifiche mi danno risultati diversi (anche tra di loro); però non riesco ad interpretarli bene, perchè invece dell'ultimo numero, spesso trovo una "e" !

Cioè il numero di Nepero, detto anche numero di Eulero, che vale e=2,7182818284; il quale è un numero irrazionale, dunque ha infinite cifre decimali che si susseguono senza alcuna regolarità.

Ma solo alcune calcolatrici scientifiche lo mettono.

Però nessuna dà il risultato che ho ricavato io!

bobmax · 25 Novembre 2023, 07:19:32 AM

Citazione di: Eutidemo il 24 Novembre 2023, 11:40:15 AM
Di conseguenza, logicamente, il numero 111222333444555666777888999 diviso per 11, risulterà uguale a 10 alla ventiquattresima potenza + (2 × 10 alla alla ventunesima potenza) + ( 3 x 10 alla diciottesima potenza) e così via.

Potresti allora spiegare, per esempio, da dove salta fuori il 10 alla ventiquattresima potenza?

Eutidemo · 25 Novembre 2023, 07:28:47 AM

Citazione di: bobmax il 25 Novembre 2023, 07:19:32 AMPotresti allora spiegare, per esempio, da dove salta fuori il 10 alla ventiquattresima potenza?

L'ho calcolato alla alla ventiquattresima potenza, perchè sono 24 le cifre che seguono 111; per cui, visto che 111 è il "terzetto di testa", secondo me andrebbe calcolato in miliardi corrispondenti agli zero che ci fossero se fosse il solo terzetto di numeri superiori a zero di tutte le 27 cifre complessivamente considerate (9 numeri del "miliardo" moltiplicati per tre), e poi sommato ai seguenti numeri (24 + 3 = 27).

E così a seguire gli altri numeri in terzetti, scalando ogni volta di 3 la potenza: 21, 18 ecc.

Ma, come ho scritto nel precedente P.S., probabilmente hai ragione tu, ed il mio ragionamento è viziato in uno (o più) punti!

bobmax · 25 Novembre 2023, 07:29:14 AM

Ho letto adesso il PS che hai aggiunto dopo.

I calcolatori, nel calcolo di numeri molto grandi, usano il metodo della virgola mobile. Cioè approssimano. Trattando il numero non come un intero, ma come reale.
Si perde così irrimediabilmente la precisione dell'intero.

Per ottenere l'intero corretto occorre procedere diversamente.

Eutidemo · 25 Novembre 2023, 07:42:58 AM

Citazione di: bobmax il 25 Novembre 2023, 07:29:14 AMHo letto adesso il PS che hai aggiunto dopo.

I calcolatori, nel calcolo di numeri molto grandi, usano il metodo della virgola mobile. Cioè approssimano. Trattando il numero non come un intero, ma come reale.
Si perde così irrimediabilmente la precisione dell'intero.

Per ottenere l'intero corretto occorre procedere diversamente.

Forse per questo danno risultati diversi anche tra di loro, oltre che rispetto al mio!
Non saprei cosa dirti!

A me il ragionamento per "equivalenze" sembrava ragionevole; ma mi inchino di fronte alla tua molto maggiore competenza matematica.
Non puoi risolvere il problema utilizzando delle equazioni a più incognite (io non ne sono capace), oppure un'altra procedura matematica più sofisticata della mia?

Eutidemo · 25 Novembre 2023, 07:51:51 AM

Ci deve pur essere qualche modo per calcolare l'"intero corretto" della divisione di 111222333444555666777888999 per 11; il quale, comunque, secondo me, dovrebbe esser un numero di 25 cifre.

Sono sicuro che, se ti ci impegni, tu troverai senz'altro la soluzione corretta!

Io vado a fare "jogging", che senz'altro mi è più congeniale della matematica, e mi rimetto al tuo insindacabile giudizio!

bobmax · 25 Novembre 2023, 10:10:59 AM

Eutidemo sei tremendo, fai ancora jogging...
Ho smesso di correre più di vent'anni fa. E fino allora guai se non facevo la mia corsetta di mezz'ora almeno tre volte alla settimana! Eh, le endorfine...
E poi il sangue ben ossigenato schiarisce le idee. Occorre però pure ripristinare gli zuccheri, se no il cervello si offusca.

Secondo me la cosa migliore sarebbe chiedere al principe di riformulare il numero, per renderlo più facile. Come per esempio:
110220330440550660770880990

Se no mi sa che occorra mettersi a fare la divisione passo passo.
Almeno che si noti una qual ricorrenza, dividendo per 11 il numero originale...

10111121222232333343444454

Cioè:

101111
212222
323333
434444
54...

bobmax · 25 Novembre 2023, 10:19:05 AM

Con il calcolo con virgola mobile una diversa sequenza delle operazioni può cambiare il risultato.

A + B + C <> B + C + A

Per esempio:

1 + (1000000000000 - 1000000000000) = 1

(1 + 1000000000000) - 1000000000000 = 0

Phil · 25 Novembre 2023, 12:42:14 PM

Citazione di: Eutidemo il 25 Novembre 2023, 07:51:51 AM
Ci deve pur essere qualche modo per calcolare l'"intero corretto" della divisione di 111222333444555666777888999 per 11; il quale, comunque, secondo me, dovrebbe esser un numero di 25 cifre.

Da quel che ho trovato, il risultato della divisione è 1.011.112.122.223.233.334.344.454 virgola 45 periodico.

Eutidemo · 25 Novembre 2023, 12:51:47 PM

Ciao Bobmax

In fondo ho "solo" 73 anni, per cui un po' di "jogging", marciando veloce senza correre, credo che non possa che farmi bene; a parte il freddo ed il vento gelido delle sei di mattina.

***

Quanto al numero 111222333444555666777888999 diviso 11, mi lascia perplesso il fatto che non ci sia un modo per sapere con certezza e precisione a quale numero intero corrisponda matematicamente la frazione:

111222333444555666777888999

11

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Il numero che dico io (1002003004005006007008009) sarà senz'altro sbagliato; ma allora quale caspita di numero é?

***

Se non riesci a calcolarlo tu, non ci riesce nessuno!

***

Un cordiale saluto!

***
P.S.
Ti sembra almeno giusto, come io penso, che sia composto da 25 cifre?

bobmax · 25 Novembre 2023, 13:13:13 PM

Non può essere di 25 cifre, Eutidemo, perché il numero iniziale ne ha 27 e inizia con 11, se fosse iniziato con 10 allora...

Phil ha mostrato il risultato della divisione.
Che avevo indicato pure io, ma non lo hai notato.

bobmax · 25 Novembre 2023, 14:18:31 PM

A mio parere nel risultato di Phil manca un 4 prima del 54 finale

Rastislav e l'enigma della divisione

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