0, 1 , 2, 3, 4,  5, 6,  7,  8,  9,10,11,....
0, 2 , 4, 6, 8,10,12,14,16,18,20,22,....
Ad ogni numero intero nella prima riga possiamo far  corrispondere uno ed un solo  numero pari nella seconda riga, dove i puntini finali in ogni riga indicano che la sequenza di numeri non ha fine, quindi la quantità di numeri pari uguaglia  la quantità di numeri naturali.
Con una operazione apparentemente corretta otteniamo un risultato paradossale.
Qualcuno potrebbe obiettare qualcosa sullo zero, ma anche se togliamo lo zero  dalla corrispondenza, nella prima e/o nella seconda riga il paradosso permane.
In questo ragionamento da qualche parte deve esserci qualcosa di sbagliato.
Dove è l'errore secondo voi.

Avrei potuto non mettere lo zero, ma lo zero mi serve per illustrare la mia soluzione, che non è la soluzione, ma la mia soluzione.
Vero è che il Matematico George Cantor ha trovato una sua soluzione condivisa dalla maggioranza dei matematici, e che perciò si potrebbe considerare la soluzione ufficiale.
Voi se credete potete farla vostra, o ignorarla del tutto perchè l'argomento della discussione non è la soluzione di Cantor, e se sia accettabile o meno.
L'argomento è... le vostre soluzioni.

 

Citazione di: iano il 10 Novembre 2023, 22:42:30 PMla quantità di numeri pari uguaglia  la quantità di numeri naturali.

Da profano, non credo si possa affermare che un elenco infinito «uguaglia» un altro elenco infinito: essendo infiniti sono entrambi "fuori misura", mentre per essere definiti come uguali quantitativamente, dovrebbero comunque avere una misura definitiva per sancire l'uguaglianza. Ragionando in modo spiccio: se non so quanto vale esattamente x, non posso paragonarlo ad y, soprattutto se non so quanto valga esattamente nemmeno y. Si può dire che sono due serie infinite (per definizione, non per misurazione), ma proprio in quanto tali dubito abbia senso paragonarle quantitativamente con uguaglianze, né con differenze (l'uguaglianza ha senso solo affianco alla possibilità della differenza, almeno concettualmente parlando).
Ribaltando l'"ontologia" del discorso, sarebbe come dire, di fronte a un foglio bianco, che l'assenza di numeri naturali «uguaglia» o è minore o maggiore dell'assenza dei numeri pari. Non credo abbia senso quantificare l'assenza: non si può essere "più" o "meno" assenti di quanto lo si sia già (se trattiamo l'assenza come presenza mancata nella realtà, ma presentificata nel pensiero che la pensa) e se due elementi sono descritti come «ugualmente assenti», non significa che stiamo quantificando l'assenza di entrambi, la paragoniamo e concludiamo che ha il medesimo valore numerico; stiamo semplicemente affermando che sia x che y sono assenti, senza coinvolgere quantificazioni (che non sarebbero nemmeno praticabili).
Credo valga lo stesso per l'incommensurabile "presenza" (virgolette d'obbligo) dell'infinito. Per me ci sarebbe paradosso solo se non fossero due serie infinite.

Citazione di: Phil il 10 Novembre 2023, 23:46:49 PMRagionando in modo spiccio: se non so quanto vale esattamente x, non posso paragonarlo ad y, soprattutto se non so quanto valga esattamente nemmeno y.

Ciao Phil.

Non mi mandare a quel paese se ti rispondo con una domanda.

Penso sarai d'accordo se dico che, se A=B e C=B allora A=C.
Questa regola può essere utile se io voglio sapere se A=C, ma non riesco a confrontarli direttamente, mentre riesco a confrontarli entrambi con B.
In questo modo riesco a stabilire in modo indiretto se A=C.
Se invece sono anche in grado di confrontare direttamente A con C, posso scegliere di usare il confronto diretto oppure indiretto, e in questo caso mi chiedo chi  e perchè dovrebbe decidere di usare il confronto indiretto, pur potendolo fare.

Se io conto quanti elementi possiede l'insieme A, e quanti ne possiede l'insieme C, e confronto i numeri risultanti per stabilire se hanno la stessa quantità di elementi, sto facendo un confronto diretto o indiretto?
In altri termini mi sto chiedendo se per caso non stia usando, a mia insaputa,  un fantomatico insieme B per effettuare un confronto indiretto fra A e C.
Qual'è l'insieme B se esiste?

Se confronti A con C fai un confronto diretto; tuttavia, anche nel caso di confronti indiretti, l'importante è che ci siano dei dati finiti, delle quantità esatte, da poter confrontare, altrimenti il confronto quantitativo non può avvenire.
Per come la vedo, nel tema iniziale il confronto non può esserci proprio poiché, come detto, manca una quantità definitiva da comparare, essendone l'infinito privo. Se dico che sia i numeri naturali che quelli pari sono infiniti, affermo una verità (formale, non sostanziale o empirica) senza paradosso, pur notando come i numeri pari, in qualunque insieme finito, siano solo una parte di quelli naturali. Nel momento in cui parlo di tutti i numeri naturali come infiniti, direi che l'infinito non può essere parte di qualcosa, nemmeno di un "altro" infinito (ma ribadisco che sto dando opinioni a braccio, non sono competente in matematica).

Citazione di: Phil il 11 Novembre 2023, 01:03:35 AMSe confronti A con C fai un confronto diretto; tuttavia, anche nel caso di confronti indiretti, l'importante è che ci siano dei dati finiti, delle quantità esatte, da poter confrontare, altrimenti il confronto quantitativo non può avvenire.
Per come la vedo, nel tema iniziale il confronto non può esserci proprio poiché, come detto, manca una quantità definitiva da comparare, essendone l'infinito privo. Se dico che sia i numeri naturali che quelli pari sono infiniti, affermo una verità (formale, non sostanziale o empirica) senza paradosso, pur notando come i numeri pari, in qualunque insieme finito, siano solo una parte di quelli naturali. Nel momento in cui parlo di tutti i numeri naturali come infiniti, direi che l'infinito non può essere parte di qualcosa, nemmeno di un "altro" infinito (ma ribadisco che sto dando opinioni a braccio, non sono competente in matematica).

Secondo me il confronto è indiretto e il fantomatico insieme B è un insieme di numeri.
Confronto l'insieme A con l'insieme di numeri B e verifico che hanno la stessa quantità di elementi, quindi allo stesso modo confronto B con C e se possiedono la stessa quantità di elementi concludo indirettamente che A e C posseggono la stessa quantità di elementi.

Ma in cosa consiste esattamente il confronto?
Nel verificare se vi è una corrispondenza uno a uno fra gli elementi dei due insiemi, di modo che ad ogni elemento di un insieme corrisponda uno ed un solo elemento dell'altro insieme, e viceversa, detta anche, in matematichese, corrispondenza biunivoca.
Lo faccio fra A e B, e poi lo faccio fra C e B, ma nessuno mi impedisce di farlo direttamente fra A e C.
Posso  verificare ''direttamente'' se due insiemi posseggono la stessa quantità di elementi, senza conoscere le quantità.
Posso invece verificare ''indirettamente'' se due insiemi posseggono la stessa quantità di elementi conoscendo le quantità.

Negli ultimi  miei due post ho evitato volutamente di parlare di infinito, Phil, ma se concordi su quanto sopra detto questa diventa la premessa per coinvolgere finalmente nel mio discorso l'infinito.

Se invece non concordi questo mi sembra un argomento interessante in sè da discutere, e può diventare il nuovo argomento della discussione.

Dopo questo esempio di confronto indiretto non strettamente necessario,  concludo per completezza, seppur non funzionale al nostro discorso, con un esempio di confronto necessariamente indiretto.
Quando voglio confrontare le lunghezze di due immobili userò la mediazione di un ''mobile'' detto metro, che può essere considerato come la realizzazione dell' esempio  di un insieme numerico.

@iano 

Credo di aver capito cosa intendi, ma il post di Eutidemo mi ha spinto a ripassare il concetto di equipotenza e anch'esso mi sembra scongiurare il rischio del "paradosso quantitativo" fra numeri pari e numeri naturali.

Citazione di: Phil il 11 Novembre 2023, 11:36:04 AM@iano

Credo di aver capito cosa intendi, ma il post di Eutidemo mi ha spinto a ripassare il concetto di equipotenza e anch'esso mi sembra scongiurare il rischio del "paradosso quantitativo" fra numeri pari e numeri naturali.

Il concetto di equipotenza è primitivo rispetto a quello di equivalenza.
Anzi, nel caso di insiemi finiti dire che sono equipotenti equivale a dire che sono quantitativamente uguali.
Possiamo dire che ciò vale anche per insiemi infiniti?
E' qui che nasce il problema, perchè gli insiemi infiniti possono essere equipotenti, ma non uguali.
Non ha senso infatti parlare di confronto quantitativo fra insiemi infiniti, come tu stesso hai sottolineato.
Sono d'accordo che possiamo considerare risolta la questione dicendo che l'insieme dei numeri naturali e l'insieme dei numeri pari sono equipotenti, e questa è la soluzione di Cantor, ma secondo me si può dire anche in un altro modo che renda la soluzione più comprensibile, notando che insiemi equipotenti condividono la stessa origine, sono cioè costruiti in modo simile.
Detto in altri termini
0, 1 , 2, 3, 4,  5, 6,  7,  8,  9,10,11,....
0, 2 , 4, 6, 8,10,12,14,16,18,20,22,....
possiamo considerare l'origine della seconda sequenza come tratta dalla prima, ma possiamo considerarla anche avere una origine autonoma.
Cioè le due sequenze sono la stessa sequenza a meno della scelta dei simboli usati , laddove possiamo considerare una coincidenza aver scelto simboli che appaiono in entrambe le sequenze.
Cioè la seconda sequenza esiste ''direttamente'' in quanto la sua costruzione non dipende dall'esistenza della prima sequenza, oppure ''indirettamente'' se la facciamo derivare dalla prima sequenza.
Sono i modi diversi di costruire in modo autonomo le due serie, usando magari accidentalmente gli stessi nove simboli in modo diverso, perchè comunque non è proibito, che devono essere posti a confronto.
Sono due modi diversi di fare la stessa cosa, oppure sono modi diversi che conducono a risultati diversi, al netto dei simboli usati?
Questa è la mia soluzione, ovviamente criticabile.
Possiamo considerare l'insieme dei numeri pari come parte dei numeri naturali, ma anche no, e nel secondo caso non sorgono paradossi.
Detto in modo più rozzo, nessuno ci impedisce di cambiare  nome ai termini della prima sequenza, senza perciò modificare la natura, e la seconda sequenza equivale alla prima a meno dei nomi usati.
La seconda è il modo in cui cambiamo i nomi alla prima.
Detta in questo modo la soluzione di Cantor mi sembra più facile da digerire, vito che non tutti la digeriscono.

Detto in altri termini:
le due sequenze si caratterizzano per avere ogni termine all'interno della stessa sequenza un nome diverso che lo distingue da ogni altro.
Questo ci consente di dire se due quantità sono diverse o uguali senza confrontare le quantità, ma confrontando i nomi.
Siamo liberi invece di dare nomi uguali a termini che appaiono in sequenze diverse, ma ciò creerà paradossi se  consideriamo poi le due sequenze come fossero una, perchè avremo termini diversi con lo stesso nome.
E' lecito usare i nomi dei termini della prima sequenza per nominare i termini della seconda sequenza, saltandone ad esempio ogni volta uno, ma non è lecito considerare le due distinte sequenze come una sola, perchè ci ritroveremmo con dei termini distinti ma con nome uguale, quindi di fatto indistinguibili.