Qual'è quell'insieme che è finito ma non limitato ?

Ciao Iano.
Al riguardo, secondo me, occorre previamente tenere conto della seguente differenza:
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a) INSIEME LIMITATO
Un insieme si considera "limitato" se è contenuto tra due estremi che, appunto, lo limitano (da "limes" = "confine").
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b) INSIEME FINITO
Un insieme si considera invece "finito", se contiene un numero finito di elementi; oppure non ne contiene nessuno.
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Per cui, credo che un insieme "finito" ma "non limitato" sia un insieme "vuoto"!
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Un cordiale saluto!
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Citazione di: Eutidemo il 24 Settembre 2023, 07:05:50 AMCiao Iano.
Al riguardo, secondo me, occorre previamente tenere conto della seguente differenza:
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a) INSIEME LIMITATO
Un insieme si considera "limitato" se è contenuto tra due estremi che, appunto, lo limitano (da "limes" = "confine").
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b) INSIEME FINITO
Un insieme si considera invece "finito", se contiene un numero finito di elementi; oppure non ne contiene nessuno.
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Per cui, credo che un insieme "finito" ma "non limitato" sia un insieme "vuoto"!
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Un cordiale saluto!
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Tuttavia, Eutidemo, qui si aprono due sentieri: il sentiero della notte e quello del giorno.

Cioè se l'infinito esiste (sentiero della notte) oppure se esiste solo l'illimitato (sentiero del giorno).
L'umanità ha imboccato decisamente il sentiero della notte, convinta della esistenza dell'infinito al punto da trattarlo come una cosa (vedi Cantor).

Tuttavia il sentiero del giorno ci dice che l'infinito non esiste.

I numeri naturali sono un insieme illimitato, ma non infinito.

L' insieme infinito non lo possiamo elaborare, perché non esiste, l'illimitato sì. Ma solo in quanto finito, pur senza limiti.

Il concetto di universo comprende tutto ciò che esiste fisicamente, quindi é un insieme non limitato. Ora la questione é se l'universo sia finito o infinito. 
Se supponiamo che l'universo sia finito allora certamente risponde alla domanda di iano. 

Citazione di: iano il 24 Settembre 2023, 03:48:27 AMQual'è quell'insieme che è finito ma non limitato ?

Penso che un esempio possa essere l'insieme dei lemmi di una lingua. Buona giornata 

Citazione di: daniele22 il 24 Settembre 2023, 09:02:06 AMPenso che un esempio possa essere l'insieme dei lemmi di una lingua. Buona giornata

Ciao Daniele.
Sospetto che sia una buona risposta.
Ma è il termine ''lemma'' che mi confonde.

Citazione di: anthonyi il 24 Settembre 2023, 08:48:17 AMIl concetto di universo comprende tutto ciò che esiste fisicamente, quindi é un insieme non limitato. 

Mi sembra una frase contraddittoria, o forse solo incompleta.

Io propongo l'insieme di tutti gli insiemi finiti pensati.
Anche se mi rendo conto che sia un idea criticabile.
Più in generale vorrei spostare l'attenzione dall'esistenza problematica dell'infinito, al perchè lo pensiamo, perchè non v'è dubbio che almeno l'idea di infinito esiste.
Un motivo per cui lo pensiamo potrebbe essere che con l'idea di infinito traduciamo il non trovare un limite alle cose ideali che non sia superabile, e forse questo voleva dire Daniele coi suoi ''lemmi''
Naturalmente in tal modo usciamo dal tipo più problematico di infinito, quello attuale, considerando un finito sempre superabile, quello delle idee, cioè un finito che può crescere nel tempo, perchè nulla limita la sua possibilità di crescita.
Fra ciò che è finito e infinito attualmente, si insinua quindi ciò che cresce in modo potenzialmente indefinito, e quindi ciò che non è definibile attualmente in modo non contraddittorio, perchè nel momento stesso in cui definiamo l'insieme di tutti i pensieri pensati, ne stiamo già aggiungendo uno nuovo, che è il pensiero dell'insieme di tutti i pensieri pensati.
La definizione stessa dell'insieme contraddice l'esistenza di quell'insieme, essendo elemento di quell'insieme.
Mi chiedo allora se l'idea di infinito non sia figlia di questa ''indefinibilà del finito'', la cui definibilità è stata data forse troppo frettolosamente per scontata.
L'idea di infinito in sostanza nasce da una definizione perfettibile del finito.
Quello che Cantor ha dimostrato non è che l'infinito esiste, né aveva bisogno di dimostrare che esiste l'idea di infinito, ma dimostra che  esistono  diverse idee di infinito e che è possibile mettere ordine fra queste diverse idee a causa della loro affinità.
L'esistenza o meno dell'infinito attuale è un falso problema che diventa però indirettamente un grosso problema se ci ''limita psicologicamente'' nell'applicare le nostre idee alla realtà, come ad esempio l'idea di infinito.
Più in generale l'errore sta credere che le nostre idee possano combaciare con l'universo, pur essendone separate.
Ma se riuniamo ciò che Platone ha diviso, molti problemi, come quello dell'infinito, si ricompongono.
Questa riammissione delle idee nel mondo reale mi sembra una lunga storia non ancora conclusa,  che ci riserverà ancora molte sorprese.
Non sono neanche certo in effetti che tutti abbiano coscienza del corso di questo processo.
Io stesso l'ho acquisita proprio in questo momento....e questo è il bello della diretta. Il bello di questo forum.

Citazione di: iano il 24 Settembre 2023, 09:53:26 AMCiao Daniele.
Sospetto che sia una buona risposta.
Ma è il termine ''lemma'' che mi confonde.

Ciao, si potrebbe dire l'insieme dei sostantivi o dei verbi all'interno della lingua. Sempre facendo intervenire il fattore tempo come componente che limita, anche l'insieme delle cellule di un cancro in un determinato istante 

Citazione di: Eutidemo il 24 Settembre 2023, 07:05:50 AMCiao Iano.
Al riguardo, secondo me, occorre previamente tenere conto della seguente differenza:
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a) INSIEME LIMITATO
Un insieme si considera "limitato" se è contenuto tra due estremi che, appunto, lo limitano (da "limes" = "confine").
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b) INSIEME FINITO
Un insieme si considera invece "finito", se contiene un numero finito di elementi; oppure non ne contiene nessuno.
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Per cui, credo che un insieme "finito" ma "non limitato" sia un insieme "vuoto"!
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Un cordiale saluto!
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Un cordiale saluto ate Eutidemo.

Come dire  che... la soluzione è che non esiste soluzione?
Mi sembra evidente che tu parli di 2 estremi perchè stai immaginando, senza dircelo, un segmento limitato dai suoi due estremi.
Ma in generale un ''limes'' è una linea chiusa su se stessa, che però definisce ad un dato istante il contenuto, più che limitarlo, a meno che non si parli di un limite invalicabile.
Se il limite è valicabile esso invece definirà un contenuto che può variare nel tempo, un limite che definisce più che limitare.
Un finito che può variare senza cambiare la sua natura di finito.
Però quest'ultima frase, dal significato apparente ovvio , nasconde un insidia.
Se io aggiungo un elemento all'insieme ottengo un insieme da considerare ex novo, più che un insieme modificato, perchè chi si trova di fronte al ''nuovo'' insieme non lo percepirà come un insieme modificato, ma come un insieme e basta.
Per poterlo considerare un insieme modificato, ad esempio aumentato, bisogna introdurre la dimensione del tempo e un device di memoria.
L'insieme di tutti i pensieri pensati che io ho proposto come soluzione presuppone l'esistenza appunto di un Device di memoria che registra tutti i pensieri, e quindi come avevo predetto è un idea criticabile.

Ma ripeto, secondo me l'infinito  è un problema solo per chi crede che le idee, seppur separate dalla realtà, e quindi presenti in un mondo a parte, possano combaciare con la realtà. Essere le une l'ombra dell'altro o viceversa, perchè alla fine non importa tanto chi faccia ombra a chi, ma che vi sia una separazione.
Se questa separazione invece non c'è ogni problema sparisce.

Citazione di: daniele22 il 24 Settembre 2023, 10:25:07 AMCiao, si potrebbe dire l'insieme dei sostantivi o dei verbi all'interno della lingua. Sempre facendo intervenire il fattore tempo come componente che limita, anche l'insieme delle cellule di un cancro in un determinato istante

Si, sostantivi e verbi da cui possiamo anche astrarre il significato, sequenze di lettere, sostituibili quindi da cifre, alle quali non a caso preferiamo associare l'idea di infinito.
Ma che siano sequenze di lettere o di cifre, sembra esserci un limite pratico, un limite di sostenibilità, se non teorico, a sfornare sempre nuove sequenze, e la sostanza non cambia anche se usassimo il trucco di usare acronimi al posto delle parole.
Ma non si può negare che non esiste un limite teorico.
Un insieme finito non è limitato, se può accrescersi, ma a patto di mantenere un identità nel suo crescere.
Noi abbiamo sempre a che fare con insiemi finiti, però in genere la nostra idea di insieme finito è statica, mentre un insieme finito reale è dinamico, mutevole, e in qualche modo che solo intuisco, parlare di infinito è un modo di dare una carta di identità a questo insieme finito ma dinamico, che resta finito pur mutando.
Il processo di contare, che usiamo per contare ''fino all'infinito'', è una procedura finita reiteratile.
Le istruzioni per contare fino all'infinito sono finite.
Quello che ci dice quel genio di Cantor è che non è vero che ci sono diversi modi, diverse istruzioni , per tendere in diversi modi allo stesso infinito, e che siano perciò fra loro equivalenti.
Ci dice che occorrere dimostrare prima questa equivalenza, e lui dimostra ch non sempre questa equivalenza c'è.
Gli infiniti quindi sono potenzialmente , salvo dimostrare il contrario, tanti quante sono le istruzioni per giungervi.
Cantor ha dimostrato che non tutte le istruzioni si equivalgono e che quindi dobbiamo parlare di diversi tipi di infinito.
Gridare al nichilismo a causa di ciò è un atteggiamento che ha fatto le ragnatele ormai, e che rischia di porre un limite alle idee, e quindi alla nostra creatività.
Le idee, esprimibili in ''lemmi'' sono in numero finito ma non definibile, perchè non limitabili.

YouMath
https://www.youmath.it › Lezioni › Algebra › Insiemi
Che vuol dire insieme finito? - chiamiamo insieme finito un qualsiasi insieme che contiene un numero finito di elementi, oppure nessuno; chiamiamo insieme infinito un qualsiasi.
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''Chiamiamo insieme finito'' è diverso da ''Un insieme finito è...''
''Chiamiamo'' significa che poniamo una premessa che vale per ciò che segue, ma che potrebbe non valere in generale.
 Non puoi estrapolare definizioni coniate per un preciso contesto, generalizzandole.
Proviamo allora a ragionare dentro a questo preciso contesto, dove ''chiamiamo insieme finito...'' etc...
Prendiamo quindi un insieme A che vogliamo dimostrare esser finito.
Come procediamo?
Dobbiamo dimostrare che possiede un numero finito di elementi, e per dimostrarlo dobbiamo trovare quel numero.
Se riusciamo a tirare una linea attorno a quell'insieme, avendolo cosi limitato, abbiamo dimostrato che è finito?
No.
Abbiamo solo dimostrato  che è limitato.
Un segmento è un insieme di punti limitato, ma non finito.
I punti sono infiniti, ma questo non ci impedisce di contarli, anche se questo conto non giungerà mai alla fine.
Possiamo contarli non perchè sono in numero finito, ma perchè  possiedono un ordine.

Citazione di: Eutidemo il 25 Settembre 2023, 06:43:14 AM

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Ora, il quesito iniziale era: "Qual'è quell'insieme che è finito ma non limitato?".

Per cui, a mio parere, secondo l'accezione comune dei termini, l'insieme che è "finito", ma non "limitato", è  "quell'insieme che non contiene nessun elemento"; ed infatti, in questo caso, non contenendo nessun elemento, non può aver dei "limiti", perchè non c'è niente da "delimitare".

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Sarebbe come dire che lo zero non è un numero perchè con lo zero non si conta nulla.
Che tu abbia difficoltà ad accettare lo zero come numero lo sanno anche i muri di questo forum ormai , ma come ho già scritto altrove il tuo è un ripercorrere in modo indipendente la storia della matematica, dove ci sono voluti millenni per accettare lo zero come numero.

Raccolgo lo spunto interessante di Eutidemo introducendo il concetto di ordine.
Quanto è importante l'ordine presente in un insieme di elementi finito o infinito?
Quando diciamo che a contare gli infiniti elementi di un insieme non arriveremo mai alla fine ciò è vero, ma stiamo anche dando per scontato ciò che scontato non è, e cioè che potremo comunque iniziare a contarli.
Magari forse scontato non è.
Suggerisco allora che potremo contare soltanto gli elementi di un insieme che possiedono almeno un ordine.
Viceversa si può dimostrare che se riusciamo a contarli allora possiedono almeno un ordine, perchè è quello in cui li abbiamo contati.