Caro mago di oz...ti restituisco pan per focaccia iniziando con una noiosa precisazione.
Quella che tu chiami matematica è aritmetica, cioè una sua parte, per quanto storicamente importante,  che inoltre non è da contrapporre alla geometria, in quanto sua parte anche quella.
Detto ciò, condivido con te molte ingenuità che rendono però la matematica saporita.
Che la matematica sia di fondamentale importanza è un fatto, e quindi ogni curiosità che ravvivi il nostro interesse per una materia che è in sè molto arida, è la benvenuta.
Anch'io dunque, nella mia ingenuità, mi chiedo come abbia potuto l'operazione di moltiplicazione acquisire tanta importanza in aritmetica , fino ad essere considerata una delle sue quattro operazioni fondamentali, essendo in sostanza il simbolo della moltiplicazione una abbreviazione che sta ad indicare una particolare somma, laddove gli addendi si equivalgono tutti.
Così se devo sommare 127 volte l'uno, invece di scrivere
1+1+1+....fino a 127 volte l'uno, scriverò in modo abbreviato
127x1.

Fatto ciò ci troviamo però con oggetti strani del tipo
1x1
Che significato dobbiamo dargli?
Esso in effetti non indica alcuna somma, perchè ci dice di considerare una volta l'uno, e scrivere 1x1 al posto di 1 non sembra una abbreviazione, ma una complicazione.
Quindi il tuo quesito del perchè
1x1x1x....x1 faccia 1 possiamo meglio trasformarlo nel, perchè dovremmo scrivere 1 come 1x1x1x.....1?
Avendo trasposto in tal modo la domanda iniziale adesso hai una chance in più per trovare una risposta che ti risulti più umanamente accettabile.
Poi magari altre questioni simili con una apparenza ancora più complicata non riusciremo a trasporle in modo simile, ma adesso sappiamo che sarà sempre possibile banalizzare formule dall'apparenza intrigante e misteriosa, anche se  per via della nostra pochezza non riusciremo a farlo.

Morale paradossale della favola.
Attenti a introdurre semplificazioni che rendano più agevoli le nostre operazioni, perchè ciò mette alla nostra portata la capacità di complicarle ulteriormente, introducendo abbreviazioni di abbreviazioni che rischiano di assumere un significato indipendente da quello iniziale, per cui diventa impossibile ripercorrere il processo all'inverso al fine di comprenderne l'origine, ma è per via di questo paradosso , laddove la semplificazione complica, che si evolve la matematica e il linguaggio in generale introducendo per tale via nuovi significati.

Citazione di: Eutidemo il 13 Settembre 2023, 06:26:01 AM

Ciao Iano.

Hai ragione!

Ed infatti:

- la MATEMATICA consiste nello studio delle misure e delle proprietà delle quantità, usando numeri e simboli.

- L'ARITMETICA, invece, è una branca della matematica che si occupa delle proprietà dei numeri.

***

Oggi dire che la matematica si occupa di quantità è come dire che il linguaggio si occupa di raccontare la favola di Biancaneve.
La favola di Biancaneve è un esempio di cosa si può fare con il linguaggio, la favola di Biancaneve è cioè una applicazione del linguaggio.
Se però il linguaggio fosse inizialmente nato propriamente al fine di  raccontare la favola di Biancaneve sarebbe comprensibile il confondere il linguaggio con la favola di Biancaneve, e per questo ci viene naturale pensare al numero come quantità.
La quantità, le misure, sono però solo applicazioni dei numeri, così come le tavole di legno sono una applicazione della sega.
La sega potrebbe anche essere nata per ricavare tavole di legno, ma poi il suo significato si è svincolato dalle tavole di legno.
Uno strumento và sempre oltre lo scopo per cui è nato.

La notizia cattiva è che il numero è cosa del tutto astratta, che non corrisponde a nulla .
La notizia buona è che non corrispondendo a nulla,  si può far corrispondere a qualunque cosa.

Se due mele+ due mele fà quattro mele, non è necessario pensare alle mele mentre le sommi, e potrebbe essere propriamente utile non pensarci.
Questo è il motivo per cui possiamo delegare le somme ai computer,  i quali non sanno cosa siano le mele né le quantità.
Allo stesso modo noi potremmo fare matematica senza neanche possedere il concetto di quantità.

Citazione di: Eutidemo il 13 Settembre 2023, 06:54:50 AM

Ciao Iano

Visto che tu mi hai chiamato il "Mago di Oz" perchè sono riuscito a fare "1 x 1 = 4" con i "segmenti",  per dartene ulteriore conferma, ho fatto "1 x 1 = 4" anche con le "monete"; il che è molto più redditizio.

Come si vede nel seguente videoclip:

https://uploadnow.io/f/kPxLtXp

***

Un cordiale saluto!

***

P.S.

E' un gioco di prestigio per "bambini"; per cui, visto quanto è semplice ed elementare, credo che non valga neanche la pena di stare a spiegarti qual'è il trucco. Ma, se serve e ti interessa, te lo spiego lo stesso, così potrai farlo ai tuoi nipotini!

Un trucco semplice , che illustra un concetto molto profondo.
Lasciamo che ognuno possa rifletterci su per conto suo.

Occorre, secondo me, prestare attenzione al fatto che la matematica non è la realtà fisica.
Non vi è niente di reale nella matematica. Se non come concetti mentali, i quali non sussistono da sé medesimi.
Vi è sempre dietro a questi concetti un riferimento a qualcosa di reale dato per implicito. Magari neppure abbozzato, che rimane indistinto, ma qualcosa vi deve sempre necessariamente essere.

Prova ne è che tutta la matematica si fonda... sul contare.
E si contano sempre e solo dei qualcosa.

Ora, il qualcosa non è mai davvero posseduto, fatto nostro una volta per tutte, ma ha sempre un che di indefinito, di inafferrabile.
È il pensiero razionale, e perciò la matematica che ne è la regina, a volerlo credere definito una volta per tutte. Necessita di questa forzatura per poter operare.

Tuttavia si tratta sempre di una astrazione.

Ed è su questa astrazione che opera la matematica.
Contando...

E ciò che conta è, in fin dei conti, oggetto metafisico.

Lo possiamo vedere quando la matematica valuta le relazioni tra oggetti di diversa natura. Lo fa tramite dei giudizi sintetici a priori.

E non è più solo una conta.

La relazione tra segmento e quadrato, per esempio, avviene tramite la moltiplicazione.
Che non è però semplicemente una serie di somme.
In quanto introduce un giudizio sintetico a priori. Perché il quadrato non è implicito nel segmento.

2x2=4
significa sempre sommare due volte il due, senza eccezioni
cioè
2+2 che è uguale a 1+1+1+1 ( forma lineare)
che si può scrivere anche come
1+1+
1+1   ( forma quadrata)
Se al posto dell'uno mettiamo un pallino la cosa appare più chiara.


Non sò cosa siano i ''cosi'' a priori, ma qui di certo non c'entrano nulla.

Il problema come ho già detto sta nel non riuscire a pensare ai numeri se non in termini di una loro applicazione.
Ciò non è necessario, ma può essere d'aiuto perchè ci consente di usare l'intuito saltando i passaggi matematici necessari., ma c'è sempre il pericolo che l'intuito generi scarti indesiderati, che vanno perciò eliminati, evitando di farne cabala.

Citazione di: Eutidemo il 12 Settembre 2023, 12:28:46 PM

Il titolo di questo "post" è, ovviamente, un po' "provocatorio", perchè, in "matematica", 1 x 1 è "uguale" a 1; però, in "geometria", le cose sono un po' diverse.

***

Si dirà che non è lecito confondere la "matematica" con la  "geometria"; ma allora perchè in "matematica" si dice che "1 x 1" è "1 al quadrato" e  che "1 x 1 x 1" è "1 al cubo")?

Mi pare che la "commistione" già ci sia nello stesso linguaggio dei matematici!

***

D'altronde, l'"1", a differenza del dio Proteo, può assumere "nature diverse", pur mantenendo la "stessa forma".

***

Ed infatti, l'"uno":

- oltre ad avere una natura "matematica", laddove viene chiamato "numero";

- ha un'altrettanto riconosciuta  natura "grammaticale", laddove viene invece chiamato "articolo".

***

Però "uno scoiattolo" grammaticale rimane pur sempre "1" di numero.

***

Gli altri "numeri", invece, pur essendo usati allo stesso modo per identificare la quantità delle entità fisiche in considerazione, non diventano mai grammaticalmente degli "articoli".

***

Bizzarrie delle convenzioni e della semantica umana!

***

Ma, per tornare alla "matematica" ed alla "geometria", possiamo tranquillamente dire che "un lato", nel caso di un poligono come il "quadrato",  non è altro che "un segmento" che congiunge due vertici consecutivi mantenendo sempre la stessa lunghezza; però sempre  "un segmento" rimane, e non per questo cambia certo natura.

***

Cioè:

- così come una "donna" che si sposa, in rapporto al marito viene denominata "moglie", e, anche se assume il cognome del marito rimane, sempre la stessa donna di prima;

- allo stesso modo un "segmento" che "si sposa" ad angolo retto ad altri tre "segmenti" della stessa lunghezza, in rapporto al "quadrato" così formatosi, viene denominato "lato", ma rimane sempre lo stesso "segmento" che era prima.

***

Tutto questo ozioso e noioso sproloquio, mi è servito per giungere a spiegare il titolo paradossale di questo "post"; e, cioè,  che se in "matematica", 1 x 1 è sempre "uguale" a 1, però, in "geometria", le cose sono un po' diverse, in quanto, almeno "in un certo senso", 1 x 1 è "uguale" a 4.

***

Ed infatti moltiplicando "un segmento" per sè stesso (1 x 1), non otteniamo un altro singolo "segmento", bensì 4 segmenti che si incontrano a 90 gradi:

***

Al che si potrebbe obbiettare che, a rigore, io non moltiplico affatto "un segmento per sè stesso", bensì "un lato per un altro lato" (sebbene identici per lunghezza);  e, comunque, noi otteniamo lo stesso il numero "1": cioè "UN quadrato" (o meglio, la sua area)!

Il che è verissimo, ma, secondo me, è un modo diverso per dire la stessa cosa; ed infatti, se io dico di moltiplicare "un metro per se stesso", ovvero dico di moltiplicare "un metro per un altro metro", il risultato non cambia (è sempre il risultato di 1 x 1)!

E "UN quadrato" ha comunque un perimetro costituito da "4 diversi segmenti", chiamati, per convenzione, "lati"; quindi "il quadrato" è diverso  (≠) dal "segmento" da cui è partita l'esposizione a potenza (1 x 1 ≠ 1), anche sotto il profilo della mera definizione geometrica.

***

                                                CONCLUSIONE

Con il presente post, non ho inteso dimostrare assolutamente "niente"; trattandosi solo dei "pensieri oziosi di un ozioso" (ed anche un po' rimbambito, a dire il vero).

Ho solo voluto mettere in evidenza come, da un "mix" di "matematica", di "geometria" e di "grammatica", possano scaturire singolari oziose riflessioni di carattere "semantico".

Tutto qui!

***

È emblematico del tuo ragionamento il fatto che tu vorresti sostenere che in fin dei conti un quadrato è fatto di quattro segmenti e solo teoricamente di quattro lati. In realtà è vero il contrario: dire di segmenti non è una descrizione ma una astrazione. Nella realtà il quadrato ha un perimetro (non quattro segmenti accostati) e un'area interna e il perimetro ha quattro lati che non sono segmenti perché il perimetro è continuo... Quattro segmenti messi a forma di quadrato propriamente non sono un vero quadrato. Se tu consideri ogni lato un segmento, la tua vale come considerazione non come descrizione del quadrato. 

Mauro Pastore 

Citazione di: Eutidemo il 20 Settembre 2023, 13:02:04 PM

Ciao PhyroSphera.

Io non "presumo" affatto, bensì mi limito semplicemente a "constatare" che, in fin dei conti, un "quadrato" è costituito da quattro "segmenti"; i quali vengono da noi denominati "lati" solo per il fatto che sono disposti in un certo modo.

Ma sempre "segmenti" sono!

***

Al posto di ''quadrato'' scriverei ''perimetro del quadrato'', come in effetti poi più in là precisi:
''Ed invero, il "perimetro" è composto da "quattro lati", i quali non sono altro che dei "segmenti" le cui estremità si toccano a 90 gradi; niente di più, e niente di meno!''
Ma ancora poi scrivi:
''
Quattro "segmenti" messi a forma di "quadrato" costituiscono senz'altro un vero "quadrato"; ed infatti, se io mettessi al posto di ogni "lato" una "semiretta" invece di un "segmento", non otterrei nulla che possa essere descritto come un "quadrato".''

Potremmo dire che 4 rette possono delimitare una zona di piano che al verificarsi di precise condizioni diremo ''quadrato''.
Il quadrato quindi non sono 4 lati messi a ''quadrato'', né tantomeno ovviamente messi in croce .
Ma smentendomi direi che potrebbero anche esserlo.
Qualunque cosa potremo dire essere un quadrato in effetti, se ne diamo una precisa definizione.
Se invece ci affidiamo al solo intuito che abbiamo di ''quadrato'' rischiamo di dare lo stesso nome a cose diverse, e ciò inevitabilmente sarà fonte di apparenti paradossi.

Citazione di: iano il 21 Settembre 2023, 01:32:16 AMAl posto di ''quadrato'' scriverei ''perimetro del quadrato'', come in effetti poi più in là precisi:
''Ed invero, il "perimetro" è composto da "quattro lati", i quali non sono altro che dei "segmenti" le cui estremità si toccano a 90 gradi; niente di più, e niente di meno!''
Ma ancora poi scrivi:
''
Quattro "segmenti" messi a forma di "quadrato" costituiscono senz'altro un vero "quadrato"; ed infatti, se io mettessi al posto di ogni "lato" una "semiretta" invece di un "segmento", non otterrei nulla che possa essere descritto come un "quadrato".''

Potremmo dire che 4 rette possono delimitare una zona di piano che al verificarsi di precise condizioni diremo ''quadrato''.
Il quadrato quindi non sono 4 lati messi a ''quadrato'', né tantomeno ovviamente messi in croce .
Ma smentendomi direi che potrebbero anche esserlo.
Qualunque cosa potremo dire essere un quadrato in effetti, se ne diamo una precisa definizione.
Se invece ci affidiamo al solo intuito che abbiamo di ''quadrato'' rischiamo di dare lo stesso nome a cose diverse, e ciò inevitabilmente sarà fonte di apparenti paradossi.

Non bisogna confondere il metodo di formare un quadrato mediante l'accostamento di quattro segmenti, col quadrato ottenuto, nel quale i segmenti non ci sono più tranne che uno voglia estrapolarli, ma allora ci sarebbe un quadrato più quattro estrapolazioni, cioè delle figure sovrapposte... Né bisogna confondere il metodo di ottenere quattro segmenti da un quadrato con una analisi del quadrato. In geometria dire lato non significa dire segmento.

Mauro Pastore